3.2.1.1 单调性与最大(小)值——函数的单调性(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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以下为本文档部分文字说明:

3.2.1.1单调性与最大(小)值函数的单调性3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值1.从图象直观、定性描述和定量分析三个方面,认识函数的单调性,理解函数单调性的定义,会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性,会求一些具体函数的单调区间.2.理解函数最大(小)值的概念,会利用

函数单调性求某些简单函数的最大(小)值.3.通过用符号形式表达单调性定义提升学生数学抽象的核心素养.在函数单调性的应用过程中,发展学生逻辑推理和数学运算的核心素养.通过图象经历函数最值的抽象过程,发展学生数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养.第一课时函数的单调

性(一)教材梳理填空1.增函数和减函数增函数减函数一般地,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)定义那么就称函数f(x)在区间D上________.区间D称为函数f(x)的_____________那么就

称函数f(x)在区间D上________.区间D称为函数f(x)的_______________单调递增单调递增区间单调递减单调递减区间增函数减函数图象特征函数f(x)在区间D上的图象是_____的函数f(x)在区间D上

的图象是_____的图示上升下降更多资料请添加QQ群:1027251618获取2.单调性与单调区间如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做y=f(x

)的_________.单调区间[思考]若函数f(x)是其定义域上的增函数且f(a)>f(b),则a,b满足什么关系,如果函数f(x)是减函数呢?提示:若函数f(x)是其定义域上的增函数,那么当f(a)>f(b)时,a>b;若函数f(x)是其定义

域上的减函数,那么当f(a)>f(b)时,a<b.(二)基本知能小试1.判断正误(1)所有函数在定义域上都具有单调性.()(2)因为f(-1)<f(2),所以函数f(x)在[-1,2]上单调递增.()(3)若f(x)是R上的减函数,则f(-3)>f(2).()(4)若函数f(x)在区间(1,

2]和(2,3)上均单调递增,则函数f(x)在区间(1,3)上也单调递增.()答案:(1)×(2)×(3)√(4)×2.函数y=f(x)的图象如图所示,其增区间是()A.[-4,4]B.[-4,-3]∪[1,4]

C.[-3,1]D.[-3,4]解析:由图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为[-3,1],选C.答案:C3.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是()A.y=-1xB.y=xC.y=x2D.y=1-x解析:选项A、B、C中的函数在(0,+∞)上都

是增函数,选项D满足条件.答案:D4.函数f(x)=-x2-2x的单调递增区间是________.答案:(-∞,-1]5.若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则k的取值范围为________,b的取值范围为________.答案:-∞,12R题型

一判断(证明)函数的单调性[学透用活]用定义法判断函数的单调性的关键是变形,常用的变形技巧有:①因式分解:当原来的函数是多项式函数时,通常作差后进行因式分解;②通分:当原来的函数是分式函数时,作差后往往进行通分,然后对分子、分母进行因式分解;③配方:当原来的函数是二次函数时,作差

后可以考虑配方,便于判断符号;④分母有理化:当原来的函数是根式函数时,作差后往往考虑分母有理化.[典例1]已知函数f(x)=1x2-1.(1)求f(x)的定义域;(2)判断函数f(x)在(1,+∞)上的单调性,并加以证明.[解](1)由x2-1≠0得x≠±1,故函数f(x)=1

x2-1的定义域为{x|x≠±1}.(2)函数f(x)在(1,+∞)上为减函数,理由如下:∀x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1x21-1-1x22-1=(x22-1)-(x21-1)(x21-1)(x22-1)=(x2-x1)(x2+x1)(x21-1)(x2

2-1).因为x21-1>0,x22-1>0,x2+x1>0,x2-x1>0,所以f(x1)>f(x2),故函数f(x)在(1,+∞)上为减函数.[方法技巧]利用定义证明函数单调性的4个步骤[变式训练]1.[函

数单调性的判断]下列四个函数在(-∞,0)上为增函数的是()①y=|x|+1;②y=|x|x;③y=-x2|x|;④y=x+x|x|.A.①②B.②③C.③④D.①④解析:①y=|x|+1=-x+1(x<

0)在(-∞,0)上为减函数;②y=|x|x=-1(x<0)在(-∞,0)上既不是增函数也不是减函数;③y=-x2|x|=x(x<0)在(-∞,0)上是增函数;④y=x+x|x|=x-1(x<0)在(-∞,0)上也是增函数.答案:C2.[函数单调性的证明]证明

函数f(x)=x+4x在区间(2,+∞)上单调递增.证明:任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2,有f(x1)-f(x2)=x1+4x1-x2-4x2=(x1-x2)+4(x2-x1)x1x2=(x1-x2)(x1x2-4)x1x

2.由x1,x2∈(2,+∞),得x1>2,x2>2.所以x1x2>4,x1x2-4>0,又由x1<x2,得x1-x2<0.于是(x1-x2)(x1x2-4)x1x2<0,即f(x1)<f(x2).所以函数f(x)=x+4x在(2,+∞)上单调递增.题型二求函数的

单调区间[学透用活](1)如果函数f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,则两个区间用“,”或“和”连接,不能用“∪”连接.(2)书写单调区间时,若函数在区间的端点处有定义,则写成闭区间、开区间均可,但若函数在区间的端点处无定义,则必须写成

开区间.[典例2]画出函数y=-x2+2|x|+3的图象,并指出函数的单调区间.[解]y=-x2+2|x|+3=-(x-1)2+4,x≥0,-(x+1)2+4,x<0.函数图象如图所示.函数在(-∞,-1],[0,1]上

是增函数,函数在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.所以函数的单调递增区间是(-∞,-1]和[0,1],单调递减区间是(-1,0)和(1,+∞).[方法技巧]1.图象法求函数单调区间的步骤(1)作图:作出函数的图象.(2)结论:上升图象对应单调递增区间,下降图象对应单调递减

区间.[方法技巧]2.常见函数的单调区间(1)y=ax+b,a>0时,单调递增区间为(-∞,+∞);a<0时,单调递减区间为(-∞,+∞).(2)y=ax,a>0时,单调递减区间为(-∞,0)和(0,+∞);a

<0时,单调递增区间为(-∞,0)和(0,+∞).(3)y=a(x-m)2+n,a>0时,单调递减区间为(-∞,m],单调递增区间为(m,+∞);a<0时,单调递增区间为(-∞,m],单调递减区间为(m,+∞).[对点练清]1.[由图象判断函数的单调区间]将本例中“y=-x2

+2|x|+3”改为“y=|-x2+2x+3|”,如何求解?解:函数y=|-x2+2x+3|的图象如图所示.由图象可知其单调递增区间为[-1,1],[3,+∞);单调递减区间为(-∞,-1),(1,3).2.[定义法求函

数的单调区间]求函数f(x)=1x-1的单调递减区间.解:函数f(x)=1x-1的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞),设∀x1,x2∈(-∞,1),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=1x1-1-1x2-

1=x2-x1(x1-1)(x2-1).因为x1<x2<1,所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0,所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递减.同理:函数f(x)在(1,+∞)上单调递减.综上,函数f(x)的单调递减

区间是(-∞,1),(1,+∞).题型三函数单调性的应用[探究发现](1)已知f(x)的定义域为[a,b]且为增函数,若f(m)>f(n),则m,n满足什么关系?提示:a≤m≤b,a≤n≤b,m>n⇔f(m)>f(n).(2)影响二次函数y=ax2+bx+c(

a≠0)的单调性的因素有哪些?提示:a的正负及-b2a的大小.[学透用活][典例3](1)已知函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3.①若函数f(x)在区间(-∞,3]上是增函数,则实数a的取值范围是________;②若函数f(x)的单调递增区间是(-∞,3],

则实数a的值为________.(2)若函数f(x)=x2+ax+b在区间[1,2]上不单调,则实数a的取值范围为________.(3)已知函数y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且f(1-a)<f(

2a-1),则实数a的取值范围为________.[解析](1)f(x)=-x2-2(a+1)x+3=-(x+a+1)2+(a+1)2+3.因此函数的单调递增区间为(-∞,-a-1].①由f(x)在(-∞,3]上是增函数知3≤-a-1,解得a≤-4,即实数a的取

值范围为(-∞,-4].②由题意得-a-1=3,a=-4.(2)函数f(x)的对称轴方程为x=-a2,要使函数f(x)在区间[1,2]上不单调,则1<-a2<2,解得-4<a<-2.(3)由题知-1<1-a<1,-1<2a-1<1,1-a>2a-1,解得0<a<23,即所求a

的取值范围是0,23.[答案](1)①(-∞,-4]②-4(2)(-4,-2)(3)0,23[方法技巧](1)区间D是函数f(x)的定义域的子集,x1,x2是区间D中的任意两个自变量,且x1<x2,①f(x)在区间D上单调递增,则x1<x2⇔f(x1)<f(x2).②f

(x)在区间D上单调递减,则x1<x2⇔f(x1)>f(x2).[方法技巧](2)有关函数单调性应用的题目,其通用的方法是利用转化思想解题,其思维流程如下:[变式训练]1.[函数值大小的比较]函数f(x)是R上的增函数且f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b),则()A.a>b>0B.a

-b>0C.a+b>0D.a>0,b>0解析:当a+b>0时,a>-b,b>-a.∵函数f(x)是R上的增函数,∴f(a)>f(-b),f(b)>f(-a),∴f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b).故选C.答案:C2.[由函数的单调性求参数的取值范围]已知函数f(x)=a

x2-x+a+1在(-∞,2)上单调递减,则a的取值范围是()A.0,14B.0,14C.[2,+∞)D.[0,4]解析:当a=0时f(x)=-x+1满足条件,当a≠0时,由题可知a>0且-b2a=12a≥2得0<a≤14,综上

所述,a∈0,14,故选B.答案:B3.[利用单调性解不等式]已知函数f(x)=x2+ax+b在区间(-∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,且f(m+2)<f(2),则实数m的取值范围是________.解析:∵f(x)在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增,∴-

a2=1,∴a=-2.如图.∵f(m+2)<f(2),f(0)=f(2),∴0<m+2<2,∴-2<m<0,则实数m的取值范围为(-2,0).答案:(-2,0)[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1.已知f(x)=xx-a(x≠a).(1)若a

=-2,试证f(x)在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)内单调递减,求a的取值范围.解:(1)证明:当a=-2时,f(x)=xx+2.任取x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,则f

(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2=2(x1-x2)(x1+2)(x2+2).因为x1,x2∈(-∞,-2),且x1<x2,所以(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(-∞,-2)内单调递

增.(2)任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1x1-a-x2x2-a=a(x2-x1)(x1-a)(x2-a).因为a>0,x2-x1>0,又由题意知f(x1)-

f(x2)>0,所以(x1-a)(x2-a)>0恒成立,所以a≤1,即0<a≤1,所以a的取值范围为(0,1].二、应用性——强调学以致用2.向一个圆台形的容器(如图所示)中倒水,且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等,记

容器内水面的高度y随时间t变化的函数为y=f(t),则以下函数图象中,可能是y=f(t)的图象是()解析:向圆台形容器(下底比上底直径小)注水,由题意知是匀速注水,容器内水面的高度y随时间t的增加而增加,但越往上直径越大,故高

度升高的越来越慢.故选D.答案:D三、创新性——强调创新意识和创新思维3.是否存在函数f(x),其在定义域上既不是增函数,也不是减函数?如果不存在,说明理由;如果存在,举出实例.提示:存在,如:f(x)=c(c为常数),f(x)=x2在定义域R上既不是增函数,也不是减函数.(答

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