【文档说明】3.1.2.1 函数的表示法——函数的表示法（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(39)页，784.464 KB，由飞向未来上传

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3.1.2.1函数的表示法3．1.2函数的表示法1．在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数，理解函数图象的作用．2．通过具体的实例，理解分段函数的概念，会描绘出分段函数的大致图象，能正确地求出分段函数在某点的函数值．3．通过经历函数三种表示法的抽象过

程，体会三种表示法的作用，发展学生数学抽象的核心素养．通过对分段函数概念的理解及应用，提升学生逻辑推理、数学运算的核心素养．第一课时函数的表示法(一)教材梳理填空解析法用___________表示两个变量之间的对应

关系列表法列出_____来表示两个变量之间的对应关系图象法用_____表示两个变量之间的对应关系数学表达式表格图象[思考]函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等，那么判断一个图形是不是函数图象的依据是什么？提示：要检验一个图形是否为

函数的图象，其方法为：在定义域内任取一个x值作垂直于x轴的直线，若此直线与图形有唯一交点，则图形为函数图象；若无交点或多于1个交点，则不是函数图象．(二)基本知能小试1．判断正误(1)任何一个函数都可以用列表法表示．()(2)任何一个函数都可以用解析法表示．()(3)函数的图

象一定是其定义区间上的一条连续不断的曲线．()答案：(1)×(2)×(3)×2．函数f(x)＝3x－1，x∈[1,5]的图象是()A．直线B．射线C．线段D．离散的点解析：∵f(x)＝3x－1为一次函数，图象为一条直线，而x∈[1,5]，则此时图象为线段．故选C.答案：C3．y与x成反

比，且当x＝2时，y＝1，则y关于x的函数关系式为()A．y＝1xB．y＝－1xC．y＝2xD．y＝－2x答案：C4．已知函数f(x)的图象如图所示，其中点A，B的坐标分别为(0,3)，(3,0)，则f(f(0))＝________.解析：结合题图可得f(0)＝3，则f(f(0

))＝f(3)＝0.答案：05．已知下列表格表示的是函数w＝g(u)，则g(－1)＝________，g(0)＝________，g(2)＝________.并判断2________(填“是”或“不是

”)为这个函数值域中的元素．u－2－1012w34567答案：457不是题型一函数表示法[学透用活]三种表示方法的优缺点[典例1]已知完成某项任务的时间t与参加完成此项任务的人数x之间的函数关系式为t＝ax＋bx.当x＝2时，t＝100；当x＝14时，t＝28，且参加此项任务的人数不能超过20人

．(1)写出函数t的解析式；(2)用列表法表示此函数；(3)画出函数t的图象．[解](1)由题设条件知，当x＝2时，t＝100，当x＝14时，t＝28，列出方程组2a＋b2＝100，14a＋b14＝28.解得

a＝1，b＝196.所以t＝x＋196x.又因为x≤20，x为正整数，所以函数的定义域是{x|0＜x≤20，x∈N*}．(2)x＝1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20，共取20个值，列表如下：x12345678910t19710068

.35344.238.73532.530.829.6x11121314151617181920t28.828.328.12828.128.2528.528.929.329.8注：表中的部分数据是近似值．(3)函数t的图象是由20个点组成的一个点列，如图所示．[方法技巧

]函数的三种表示法的选择和应用的注意点解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少．在用三种方

法表示函数时要注意：(1)解析法必须注明函数的定义域；(2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系；(3)图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”．[变式训练]1．某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则

较符合该学生走法的是()解析：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大，最后距离为0.答案：D2．将一条长为10cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形．试用多种方

法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系．解：这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N*}．①解析法：S＝x42＋10－x42.将上式整理得S＝18x2－54x＋254，x∈{x|1≤x<10，x∈N*}．（转下页）②列表法：一段铁丝长x/cm123456789

两个正方形的面积之和S/cm2418174298134258134298174418③图象法：题型二函数图象的作法及应用[学透用活][典例2]作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y＝2x＋1，x∈[0,2]；

(2)y＝2x，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]．[解](1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]．(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比

例函数y＝2x的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]．(3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分．由图可得函数的值域是[－1,8]．[方法技巧]描点法作函数图象的三个关注点(1)画函数图象时首先关注

函数的定义域，即在定义域内作图．(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．[提醒]函数图象既可以是连续的曲线，也

可以是直线、折线、离散的点等．[变式训练]1.已知函数f(x)的图象如图所示，则此函数的定义域是________，值域是________．解析：结合图象，知函数f(x)的定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]．

答案：[－3,3][－2,2]2．画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1或x＜－1)．解：(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图①.(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1或x＜－1)是抛物线y＝x2－2x去掉－1≤x≤1之间的部分

后剩余曲线．如图②.题型三函数解析式的求法[探究发现](1)什么是函数解析式？(2)一次函数、二次函数、反比例函数的解析式各是什么？提示：(1)用数学表达式表示两个变量x、y之间的对应关系．(2)一次函数的解析式是y＝kx＋b、二次函数解析式是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)、反

比例函数的解析式是y＝kx(k≠0)．[学透用活][典例3]求下列函数的解析式：(1)若f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝

2x＋17，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，求f(x)的解析式．[解](1)法一：换元法设t＝x＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)．∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1，∴f(x)＝x2－1

(x≥1)．法二：配凑法∵x＋2x＝(x)2＋2x＋1－1＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1(x＋1≥1)，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)(待定系数法)因为f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)

，所以有3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17，即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，因此应有a＝2，5a＋b＝17，解得a＝2，b＝7.故f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.(3)(解方程组法)因为2f(x)＋f1x＝3x，①将x用1x替换，得2

f1x＋f(x)＝3x，②由①②解得f(x)＝2x－1x(x≠0)，即f(x)的解析式是f(x)＝2x－1x(x≠0)．[方法技巧]求函数解析式的4种常用求法配凑法由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(

x)的表达式待定系数法若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法换元法已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围解方程组法已知关于f(x)与f1x或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程

组，通过解方程组求出f(x)[对点练清]1．[配凑法或换元法]已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)．解：法一(配凑法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(

x＋1)＋6，∴f(x)＝x2－5x＋6.法二(换元法)：令t＝x＋1，则x＝t－1，∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6，即f(x)＝x2－5x＋6.2．[待定系数法]已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋6，求f(x)．解：设f(x)＝ax

＋b(a≠0)，则f(f(x))＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋6.于是有a2＝4，ab＋b＝6，解得a＝2，b＝2或a＝－2，b＝－6.所以f(x)＝2x＋2或f(

x)＝－2x－6.3．[解方程组法]已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)．解：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②∴由①②得3f(x)＝x2－6x，∴f(x)＝13x2－2x.[课堂

思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．已知函数f(x)对任意实数a，b，都有f(ab)＝f(a)＋f(b)成立．(1)求f(0)与f(1)的值；(2)求证：f1x＝－f(x)；(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q均为常数)，求f(36)的值．解：(1)令a＝b＝0

，得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；令a＝1，b＝0,得f(0)＝f(1)＋f(0)，解得f(1)＝0.(2)证明：令a＝1x，b＝x，得f(1)＝f1x＋f(x)＝0，∴f1x＝－f(x)．(3)令a＝

b＝2，得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p，令a＝b＝3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q.令a＝4，b＝9，得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.二、应用性——强调学以致用2．一个弹簧不挂物体时长12cm，挂上物体后会

伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比．如果挂上3kg物体后弹簧总长是13.5cm，则弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)之间的函数解析式为________________；当物体的质量为10kg时，y＝________cm.解析：设所求函数解析式为y＝k

x＋12(k≠0)，把x＝3，y＝13.5代入，得13.5＝3k＋12，解得k＝12，所以所求的函数解析式为y＝12x＋12(x≥0)，当x＝10时，y＝17.答案：y＝12x＋12(x≥0)17三、创新性—

—强调创新意识和创新思维3．[好题共享——选自苏教版新教材]已知一个函数的解析式为y＝x2，它的值域为[1,4]，这样的函数有多少个？试写出其中的两个函数．解：由题意知1≤x2≤4，则－2≤x≤－1或1≤x≤2.∴函数的定义域为[－2，

－1]∪[1,2]．画出函数的图象可知有无数个这样的函数．如：y＝x2，x∈[－2，－1]或y＝x2，x∈[－2，－1]∪[1,2]．谢谢观看