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第5讲农业生产函数与边际分析12022/11/15第6讲生产函数与边际分析农业技术经济学研究生产领域，与国际接轨的研究方法就是基于农业生产函数（AgriculturalProductionFunction）和边际分析方法(Marginalanalysis)。进行农业技术经济研究，生产函数分析是

基础，对农业物质生产（agriculturalphysicalproduction）引入价格之后进行农业价值生产（agriculturalvalueproduction）研究（以后讲述，涉及到收益和利润最大化问题）。

本章全面学习基于边际理论的单变量农业物质生产函数，为农业技术经济学定量分析和建立计量分析模型奠定重要的理论与方法论基础。包括：生产函数基础边际分析与生产函数三阶段生产弹性与生产函数三阶段第5讲农业生产函数与边际分析22022/11/151农业生产函数基础第5讲农

业生产函数与边际分析32022/11/15生产函数定义生产函数（productionfunction）描述把投入转化成产出（output）的技术关系，数学家把“函数”定义为一组变量的每个值（函数的定义域）都对应另一组变量的唯一值（函数的范围）的规则

。生产函数的一般形式通常写成：Y=f(x)式中y为产出，x为投入。函数定义域是x为大于或等于零的所有值。上式是一般形式，对于只有1个可变投入的生产函数具体形式可以有很多，如：y=2x,y=x1/2对于具体的生产函数都可以有许多对应的投入产

出关系。如粮食生产函数中，在试验条件下，可以有很规则的化肥用量（x）与粮食产量关系（y），在现实经济中，根据统计资料可以得到每年的化肥用量与粮食产量关系数据。第5讲农业生产函数与边际分析42022/11/1

5农业生产函数的集合与边界阴影部分为生产集(productionset),生产集的边界(boundary)称为生产函数(productionfunction)对于这一概念的理解需要把握两点：第一，农业生产函数

是建立在技术水平不变的基础上，如果技术进步，同样的要素投入会有较多的产出，函数曲线会相应地向上移动；第二，农业生产函数所描述的是要素投入与最大产出之间的关系。生产集农业生产要素投入量农产品产出量生产函数O第5讲农业生产函数与边际分析52022/11/1

5生产函数的投入与时间长度可变与固定上述假定生产过程可以通过只使用一项生产投入因素生产一种产出的函数是不存在的，大多数农业商品生产需要多项投入。一个生产函数有几项投入，假定投入除一项外，其他保持在某个固定水平上不变，

生产函数就有：Y=(x1|x2,x3,…,xn)仍以y为粮食产出，x1为化肥用量，是“可变的”投入，其他的x假定在某个固定水平保护不变或给定水平下的“固定”投入，而“可变投入”往往是农业生产主体可以控制或可以改变使用水平的投入，可以有充分的时间来调整投入量，如化肥。而在一定时期，生产

主体的土地面积等自然资源量，耕作制度、农作品种、农场管理等可作为固定投入。但这种“可变的”与“固定的”投入界限是模糊的，若有充分时间和资本等条件，许多可以作为“可变的投入”对待，这涉及时间问题。时间长度在生产函数研究中，对时间的设定是重要的。经济学家往往把“长期”定

义为充分长的时间，从而使生产函数的所有投入都可作为“可变投入”。也可以是“短期”时间，那么只有少数投入为“可变投入”，但多数仍是“固定投入”。而“中期”的限定则有所松动。有些投入后不能再对以后的生产产生作用，如种子一经播种就发挥了全部作用，而如

农药、杀虫剂、除草剂等还有“沉淀投入”，对农业生产还有“后续”作用。表示方法。有多种，如列表法，图示法和数学表达式法。第5讲农业生产函数与边际分析62022/11/15农业生产函数研究的3种关系狭义的农业生产函数研究农业生产中的三种数量关系：1、研究农业生产要素与农

产品之间的数量关系，或称为投入-产出关系2、研究生产一定数量的农产品时，生产要素与生产要素之间的配置关系，即要素-要素关系3、研究利用一定数量的某种生产要素来生产多种农产品时，各种农产品之间的数量关系，即产品-产品关系广义的农业生产函数研究的内容则更为广泛，如研

究农业生产的规模经济效益，分析各种生产因素（不仅限于生产要素）对农业生产发展的影响程度，确定科学技术进步对生产的促进作用，研究农业生产和各种社会技术因素的变动趋势及其规律性等。第5讲农业生产函数与边际分析72022/11/15农业生产函数的6个主要特点1．农业生产函数反映农业

生产的周期性。农业生产要素的利用和农产品的产出必须和一定的时间相联系，一个简单的生产周期，反映一个完整的生产周期内要素投入量与产品产出量之间的数量关系。2．生产函数表明的投入-产出关系是一种统计相关关系。只有掌握了大量的统计或试验数据后建立的生产函数，才有可能揭示出农业生产中投入产出之间

的规律性联系。3．农业生产函数反映的是既定的农业生产技术条件下的投入-产出关系。由于生产的技术水平不同，使用同样数量的生产要素会得到不同的农产品产量，也就是说会有不同的生产函数。4．农业生产函数是对农业生产过程高度简

化的数学模型。影响生产的因素有可控制的生产因素和不可控制因素，通常只把那些可以控制且数量有限的生产因素中的一个或几个作为生产函数中的自变量。5．农业生产函数中变量的纯质性。即投入的变动要素不仅质量规格相同，而且施用的条件和方法也相同，产

出的产品质量完全相同，并且具有共约的同一性。6．农业生产函数通常应该采用连续可导的函数，以便使用边际分析方法。第5讲农业生产函数与边际分析82022/11/152边际分析与农业生产函数三个阶段第5讲农业生产函数与边际分析9202

2/11/15边际分析基础边际分析(Marginalanalysis)是以增量的概念来研究农业生产中的投入产出问题。增量也就是指变化量，是在原有基础上增加的数量。当投入的生产要素增加某一数量时，产品产出量也会随之改变。用这种增量比率的方法研究农业生产中的投入产出变化规

律，便是边际分析。通常用数学式表示为△x（平均变化率）或dy／dx（精确变化率）。当要素投入量x0增加到(x0＋△x)时，则产量y相应的改变量为:△y=f(x0+△x)-f(x0)其变化率为右一,表示生产要素投入量在x0→(x0＋△x)这

一区间内变化时总产量的平均变化量。若生产要素投入量△x→0，其变化率写成右二：表明精确变化率其几何意义是曲线上某点切线的斜率。)(lim)()(0000xfdxdyxyxx－fxxf＝xyxx第5讲农业生产函数与边际分析102022/11/15边际报酬递减律报酬

递减律也叫变动比例规律（LawofVariableProportions），指某些生产因素的数量固定不变，一个生产因素用量不断增加时，总产量（TotalPhysicalProduct,TPP）在不断增加并达到某一限

度后，每次增加单位因素而使TPP逐渐减少，说明变动因素增加所引起TPP增加的变化关系，说明了边际产量（MarginalPhysicalProduct,MPP）或边际生产力（marginalproductivity）的变化规律，因此，也叫边际生产（报酬）递

减律（TheLawofDiminishingMarginalProductivity,LDMP）。在实际应用中，LDMP指生产函数斜率变化的速率，也叫“曲率”。三种生产函数。根据生产函数曲率的变化，有3种类型：固定边际报酬、边际报酬递增和边际报酬递减。以y=bx为例。y0

12345xA:Y=2xY=bx012345xB:Y=x2Y=axb012345xC：y=x1/2Y=axb在3个图形中，真正意义上的边际报酬递减只在图C中成立。A图中，X每增加1单位使Y固定增加2单位，可变投入X为固定报酬；b=a>1B图中，

X每增加1单位使Y增加越来越大（XX），属报酬递增；a>0,0<b>1C图中的后半部分，X每增加1单位使Y增加越来越少，每单位X的生产力越来越小，属报酬递减。a>0,0<b<1第5讲农业生产函数与边际分析112022/11/15农业技术经济与边际报酬递减律在理解该规律时应注意：第一，

边际报酬递减规律在某点之前是不适用的，只有要素投入达到某点之后才会出现；第二，边际报酬递减规律具有严格的限制条件，即技术水平不变、其它生产要素的投入数量不变；第三，技术进步会推迟报酬递减的出现，但不会消灭报酬递减规律。在农业生产中，由于存在着生

产要素投入报酬变动规律，使得生产的经济效益随着要素投入量不同而发生变化。因此，有必要研究农业生产要素投入最适度，也即通过研究要素投入与产出之间的变化关系，寻求要素利用的最佳状态，从而提高农业生产的经济效益。第5讲农业生产函数与边际分析122022/11/15总产量、平均产量与边际产量总产

量TPP(TP)，一般用Y表示平均物质产量（AveragePhysicalProduct，APP,或AP）指产出与投入的比率，即APP=y/x，APP代表单位xi的平均产量。APP表示y/x，或f(x)/x边际物质产量MPP(MP)表示伴随投入要素用量变化而引起产出变化,投入使用的

增加通常取1单位，因此MPP是伴随投入1单位增加的产出变化，投入xi的MPP可以写为MPPxi，可以为正，也可为负。对于Y=f(X),MPP也可表示为“∆y/∆x”，表示y对于x的变化的变化；当生产函数以确定的函数式表示时，可以计算精确的边际产量”dy/dx”边际产量是总产量对变动要素

投入量的导数。从几何意义上讲，边际产量是总产量曲线上某变动要素投入量所对应的点的切线的斜率。如果有函数Y=f(X),即总物质产量(TPP)，MPP代表生产函数的速率，表示TPP函数变化的速率的函数。如果绘出TPP函数的斜率曲线，得到的就是

MPP函数，代表可变投入x使用的变化，是TPP函数的变化速率。如y=2x，表示x使用增加1单位，y递增增加2单位，所以MPP=2，表明边际产量函数等于常数2。第5讲农业生产函数与边际分析132022/11/15关于精确的Mpp对于没有常斜率的MPP函数，∆y

/∆x只能在一给定点接近函数斜率，如果选择一个很大的∆x值作为x的增量斜率，其近似值可能很不准确，随着∆x选取得越来越小，这个近似值得到改善，因此数量经济学中，对于特定点求生产函数的精确斜率MPP，要求∆x的量必须变得无穷小，使∆x趋于零。对于图而言，

设要求点D的精确MPP，则过D作直线与生产函数相切，点D的精确MPP就等于这条直线的斜率。作图费时图力，较好的方法是求生产函数的一阶导数。随着∆x变得越来越小，∆y/∆x变得越来越接近于函数的真正斜率，即∂y/∂x代表特定点生产函数的精确斜率。第5讲农业生

产函数与边际分析142022/11/15MPP与APP实例见p69例表4-2,又如下表：饲料投入与牲畜增重关系表处理编号饲料投入x牲畜增重y(TPP)边际产量(MPP)平均产量(APP)0123456705101520253035019.3754573.125100121.875135

135.6253.8755.1255.6255.3754.3752.6250.1253.8754.54.87554.8754.53.875根据前几列数据可以计算MP和AP。若计算精确边际产量，首先应对x和y进行回归计算，得到生产函数，利用生产函数方程求得。该例的生产

函数为：y＝3x＋0.2x2－0.005x3y表示牲畜重量，x表示饲料投入量MP方程为：MP＝yx＇＝3＋0.4x－0.015x2AP方程为：AP=TP/x=3+0.2x-0.005x2也见p70根据上面的计算式，每确定一个x的投入量，即

可计算出相应的精确边际产量值。比如，当x＝25时，精确的边际产量MP＝3.625第5讲农业生产函数与边际分析152022/11/15新古典三阶段生产函数长期以来，新古典生产函数已经普遍用于描述农业生产关系。如下图，随着投入x1使用的增加，

起初投入的生产力也增加，函数以递增速率上升至“拐点”，然后函数由递增速率增长转为递减速率增长。即函数在拐点之前凸向横轴，拐点之后凹向横轴。拐点标志着递增边际报酬的结束和递减边际报酬的开始。在函数达到最

大值后开始下降。过最大点后，可变投入x1用量的增加导致总产量TPP下降。MPP或APPOx10x1APPMPPTPPABC最大MPP最大APP零MPPx10x1*x1拐点最大TPP斜率=APP3条直线斜率=MPP=最大APP=Z1新古典三阶段生产函数Z1Z2Z3第1阶段第2阶段第3阶段第5讲农业

生产函数与边际分析172022/11/15MPP函数的变化MPP函数随投入x1使用的增加而变化。起初，随着投入x1生产力的增加，其边际产量也增加，相应的MPP函数必然上升。“拐点”标志着最高边际产量。在拐点，投入x1单位增量的生产力最大。拐点之后，x1的边际产量下降，MPP函数必然也下降，

x1的边际产量在产出最大点为零，在更高水平下为负。所以，MPP函数在产出最大点为零，随后为负。第5讲农业生产函数与边际分析182022/11/15APP的变化APP决不可能为负，但平均物质产量也随x1使用

的增加而变化，即y/x1，也为斜率，由可变曲线组成。如投入为x1*，在TPP曲线上就有（x1*,y），对于APP则有y/x1*。APP的形状是在拐点之后、产出最大点之前达到一极大值，在Z3、Z2、Z1等多条直线中，Z1与TPP曲线相切，斜率最大，即这时有最大的A

PP，也正是这一点，边际产量=平均产量，即APP=MPP，即y/x=dy/dx，把这一点称为x10。在小于x10的任何点，生产函数的斜率大于从原点向该点所作的直线的斜率，所以在这点之前，APP<MPP。随着x1使用的增加，直到x10，APP增加，从原点所作直线的

斜率也增加，在x10之后，生产函数的斜率小于从原点向该点所作直线的斜率下降，所以x10以后APP必然下降，那条直线的斜率决不为负，所以APP决不会为负值。然而，与生产函数相切的一条直线代表MPP，所以在产出最大点以外将有现负斜率。APP永远为正

，但MPP在产出最大点以外为负。第5讲农业生产函数与边际分析192022/11/15APP与MPP的关系APP与MPP的关系可用复合函数的微分规则来证实。Y=(y/x)x，即TPP=APPx，对x求一阶导数得：dy/dx=y/x+[d(y

/x)/dx]x，即MPP=APP+(APP的斜率)x这说明APP递增，并因而斜率为正，则MPP必定大于APP。如果APP的斜率为零，如当它达到极大值时，MPP和APP必定相等。第5讲农业生产函数与边际分析202022/11/15TPP、APP&MPP关系yOx

A（拐点）yBCTPAPMPOx0x1x2x图4-3TP、AP、MP之间的关系总产量与边际产量之间的数学关系：是导数与积分的关系，总产量曲线上任何一点的斜率值就是边际产量。二者的关系具体表现为：a．当MPP>0时，总产量上升。当边际产量处于

上升阶段时，总产量以递增的速度上升；当边际产量处于下降阶段时，总产量以递减的速度上升。b．当MPP=0时，总产量达到最大。c．当MPP<0时，总产量下降平均产量与边际产量之间的关系当MP＞AP时，AP上升；当MP＜AP时，A

P下降；当MP=AP时，AP达最大。总产量、平均产量和边际产量之间的关系可以从图中得到更直观的示意。第5讲农业生产函数与边际分析212022/11/15进一步：符号、斜率与曲率MPP的1-3阶导数：对生产函数y=f(x)反复微分，可以精确地确定相应MPP函数的形状：一阶导数代表相应的

MPP函数：dy/dx=f’(x)=f1=MPP二阶导数为MPP函数一阶导数，即MPP函数的斜率，也是对生产函数（TPP）再次微分得到的：d2y/dx2=f’’(x)=f2=d(MPP)/dx三阶导数为MP

P函数的二阶导数，是MPP的曲率，是原生产函数（TPP函数）的三阶导数：d3y/dx3=f’’’(x)=f3=d2(MPP)/dx2APP的1-3阶导数与MPP的反复微分过程类似，如：一阶APP：APP的斜率为：d(y/x)/dx=f’(y/x

)=d(APP)/dx二阶APP：APP的曲率为：d2（y/x）/dx2=f’’(y/x)=f2=d2(APP)/dx2三阶APP：APP的三阶导数代表APP曲率的变化速率。对于TPP函数，根据其1-3阶导数情况可知：TPP一阶导

数的符号表明生产函数的斜率以及MPP在横轴的位置（上或下），TPP的二阶导数的符号确定TPP函数位于极大值还是极小值，TPP的三阶导数的符号表明MPP或APP在某一特定点的变化速率。TPP与MPP在1-3阶导数情况下的图形，如例2：5.093.

550xy第5讲农业生产函数与边际分析222022/11/15生产函数分析：例2Y=水稻（公斤/亩），x=氮肥量（公斤/亩）f1(x)=MPP=2.965x-0.5>0，表示MPP对于任何正投入使用水平永远为正，说明生产函数未达

到极大值；f2(x)=f’’(x)=-1.48x-1.5<0，表示MPP向下倾斜，增施的每一公斤氮肥将生产越来越少的附加水稻产量。因此，这一生产函数在其整个范围内（边际）报酬递减律成立。F3(x)=f’’’(x)=2.22x-2.5>0，表示MPP函数正以递减速率下降，越来越接近横轴，但决不会

达到水平轴或与之相交，说明继续增施氮肥总是能多生产水稻。从APP来看：APP=y/x=(50+5.93x0.5)/x,APP>0上式表明，每公斤氮肥生产的水稻将永远为正。d(APP)/dx=d(y/x)/dx=-50x-2-2.97x-1.5

<0如果x为正，则APP向下倾斜，说明随着氮肥使用的增加，单位氮肥的平均产量下降，但是以递减的速率下降。第5讲农业生产函数与边际分析232022/11/153生产弹性(Ep)生产弹性(Elasticityofproduction,Ep)，也称产出弹性(Elasticityofo

utputs，简称Eo),是衡量生产要素转化效率的重要指标。它是产量变化率与生产要素投入量变化率的比率，反映产品产量变化对生产要素投入量变化的敏感程度，与边际的产投增量比率不同，是产投变化率的比率。具体测

算时是以要素投入量增加百分之一，由它引起的产品产量增加百分之几来计算，其计算公式如下：变换后也可用MP与AP来表示。利用本讲例1数据，可以计算不同投入水平下的产出弹性。自练p72生产弹性的计算数据APM

PxxyyEp//第5讲农业生产函数与边际分析242022/11/15Ep(产出弹性)的计算例3表4-3：从表中可以看出，当饲料投入量从20增加到25时，产出弹性为0.897，表示在这5单位中，饲料

每增加1%，牲畜重量可增加0.897%。若以精确的边际产量来计算产出弹性，则有：Ep=MP/AP根据MP和AP之间的大小关系，有：（1）当MP＞AP时，Ep＞1，表明产出增加的比例大于生产要素投入量增加的比例；（2）当0＜MP＜AP时,0＜Ep＜1,

表明产出增加比例小于生产要素投入量增加比例。饲料投入x牲畜增重y(TP)边际产量MP平均产量AP产出弹性Ep05101520253035019.3754573.125100121.875135135.6253.8755.1255.6255.37

54.3752.6250.1253.8754.54.87554.8754.53.87511.1391.1541.0750.8970.5830.032第5讲农业生产函数与边际分析252022/11/15对Ep的更多理解弹

性，在经济学中可以反映2个变量之间的关系，是代表2个百分数比率的数，是纯数，没有单位。生产弹性EP，当投入使用水平改变时，产出改变的百分数除与投入改变的百分数之比。设x’代表产生y’单位产出的某一原始投入使用水平，当x用量增加到某个新量时称为x’’，它必然又产生y’’单位产出，生

产弹性（Ep）定义如下：右一x和y指新老2个投入产出水平间的中值。对于投入与产出变量的变化用∆x=x’-x’’和∆y=y’-y’’表示，有右二与MPP和APP结合，Ep公式则有右三；因为右四：所以有右五：E

p=MPP/APPEp是衡量生产函数对投入使用改变的反应程度的一种方法，表明：较大的弹性，如Ep>1，说明产出对投入使用的增加反应强烈；中等的弹性，如0<Ep<1，说明使用x的结果是产出将增加，但弹性越小，产出增

加的反应就越不明显；负弹性，Ep<0，表示随着投入使用水平的增加，产出实际上将下降而不是增加。2/)(2/)(，,/)(/)(yyyxxxxxxyyyEp其中xxyyEp//x

yxyEp//APPxyMPPxy//第5讲农业生产函数与边际分析262022/11/15按Ep判断生产函数三阶段根据生产弹性（Ep）可以将生产函数分为三个阶段如下图：Ep>1的要素投入区域为生产函数第一阶段，即从原点起到平均产量最高

点止；Ep>0但<1的要素投入区域为生产函数的第二阶段，即从平均产量最高点起到总产量最大止；Ep<0的要素投入区域为生产函数第三阶段，即总产量下降区域。第5讲农业生产函数与边际分析272022/11/15生产函数三阶段的

APP与MPP及EpMPP或APPxAPPMPPABC最大MPP最大APPEp>10<Ep<1Ep<0第5讲农业生产函数与边际分析282022/11/15依据Ep判断：生产函数的合理阶段由以上分析可知，变动要素投入量不论在第一阶段还是在第三阶段都属于不合理的

生产行为。第一阶段没有充分发挥固定要素的潜力，第三阶段造成了变动要素的浪费。只有第二阶段才是生产行为较合理的阶段。因此，要讲究要素利用的经济效益，就应把变动要素投入在生产的第二阶段。至于在生产的第二阶段，变动要素的最佳投

入量在哪一点，这一问题在下一节将进行深入分析。MPCA（拐点）BTP第三阶段第二阶段第一阶段OyxyAPOx0x1x2x第5讲农业生产函数与边际分析292022/11/15新古典生产函数Ep的6个特点根据上图，对新古典生产函数而言，由于MPP和APP之间的关系，可以进一

步概括为6种独特的生产弹性或新古典生产函数的生产弹性特点：（1）Ep>1，直至达到MPP=APP，即直到A点，生产弹性增加。（2）Ep最大。当MPP与APP比率最大时，生产弹性最大。对于新古典生产函数，通常

发生在生产函数的拐点，当MPP达极大值时，即B点。（3）Ep<1，超过MPP=APP，即在A点之后，生产弹性小于1。（4）Ep=0，当MPP=0时，Ep=0，即点C，但APP却永远为正。（5）Ep<0，当MPP为负时，生产弹性为负，产出下降

，即点C以后。生产函数开始下降，MPP和TPP均为负，同样APP>0.（6）新古典生产函数独特的特征是，随着投入使用水平的增加，MPP和APP之间的关系不断改变，因此，MPP和APP的比率必定也改变，这也是新古典生产函数与其他一些生产函数的不同

之处。第5讲农业生产函数与边际分析302022/11/15思考题1、如何从6个特点理解农业生产函数重要特性？2、从公式、表与图解释TPP、MPP和APP的关系（以MPP为基础把握生产函数三个阶段）3、区别MPP和Ep异同，依据Ep判断生产函数三个阶段，能

在函数图中准确标出关键点及名称(Ep与MPP、APP和TPP的关系)第5讲农业生产函数与边际分析312022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析322022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析332022/11/15？第5讲农业生产函数与边际分析342022/11/15第5讲农

业生产函数与边际分析352022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析362022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析372022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析382022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析392022/11/15第5讲农业

生产函数与边际分析402022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析412022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析422022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析432022/11/15第5讲农

业生产函数与边际分析442022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析452022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析462022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析472022/11/15第5讲农业

生产函数与边际分析482022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析492022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析502022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析512022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析522022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析532

022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析542022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析552022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析562022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析572022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析5820

22/11/15第5讲农业生产函数与边际分析592022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析602022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析612022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析622022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析632022/11/15第5讲农业生

产函数与边际分析642022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析652022/11/15第5讲农业生产函数与边际分析662022/11/15