《圆中三大切线定理》(著名机构整理)-2020年中考数学专题复习

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【文档说明】《圆中三大切线定理》(著名机构整理)-2020年中考数学专题复习.doc,共(14)页,2.608 MB,由小喜鸽上传

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以下为本文档部分文字说明:

1题目中已知圆的切线,可以“连半径,标直角”,然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。【例1】如图,在△ABC中,BCAB,以AC为直径的⊙0与BC边交于点D,过点D作⊙O的切线DE,交AB于点E,若DE⊥

AB.求证:BEAE3.知识互联网思路导航典题精练题型一:切线的性质定理暑期班第六讲秋季班第六讲秋季班第八讲圆中三大切线定理EODCBA2【解析】连接OD、AD,由切线的性质定理可得ABOD,又∵DE⊥AB,∴ABOD∥则OD为ABC的中位线,D为B

C中点,又∵90ADC,则AD为BC的垂直平分线,∴BCACAB,ABC为等边三角形,∴60ADEB,∴BEDEAE33.判定切线共有三种方法:定义法、距离法和定理法,其中常用的是距离法和定理法,

可以总结为六字口诀,定理法是“连半径,证垂直”,距离法是“作垂直,证半径”,定理法的使用频率最高,必须熟练掌握。【例2】如图,C是以AB为直径的⊙O上一点,过O作OE⊥AC于点E,过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F

,连结CF并延长交BA的延长线于点P.⑴求证:PC是⊙O的切线.⑵若AB=4,21::PCAP,求CF的长.【解析】⑴证明:连结OC.∵OE⊥AC,∴AE=CE.∴FA=FC.∴∠FAC=∠FCA.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∴∠OAC+∠FA

C=∠OCA+∠FCA.即∠FAO=∠FCO.∵FA与⊙O相切,且AB是⊙O的直径,∴FA⊥AB.∴∠FCO=∠FAO=90°.∴PC是⊙O的切线.⑵∵∠PCO=90°,即∠ACO+∠ACP=90°.思路导航典题精练题型二:

切线的判定定理EODCBA3又∵∠BCO+∠ACO=90°,∴∠ACP=∠BCO.∵BO=CO,∴∠BCO=∠B,∴∠ACP=∠B.∵∠P公共角,∴△PCA∽△PBC.∴BCACPCPAPBPC.∵21::PCAP,∴21BCAC.∵∠AEO=∠ACB=9

0°,∴OF∥BC.∴ABCAOF.∴21tantanABCAOF.∴21tanAOAFAOF.∵AB=4,∴AO=2.∴AF=1.∴CF=1.【例3】如图,已知RtABC△中,90ACB,BD平分ABC,以D为圆心、CD长为半径作D⊙,与AC的另一个交点为E.⑴求证

:AB与D⊙相切;⑵若43ACBC,,求AE的长.【解析】⑴证明:过点D作DHAB于H.∵BD平分ABC,90ACB,DHAB,∴DCDH.∵DC是D⊙的半径,∴AB与D⊙相切.⑵解:设D⊙的半径为r.

在RtABC△中,90ACB,43ACBC,,∴5AB.由⑴可知BC切D⊙于C,BH切D⊙于H,∴3BHBC,∴532AHABBH.又4ADACCDr,∴在RtADH△中,90AHD,∴222AHDHAD,即22224rr

,解得32r.∴421AEACCEr.另:该问还可以用AHDACB△∽△求得AE的长.还可以用ADB△面积的求法,3(4)5rr.【例4】已知:如图,AB是O⊙的直径,C是O⊙上一点,ODBC⊥于点D,过点C作O⊙的切线,交OD的延长线于点E,连结BE.⑴求证:BE与

O⊙相切;⑵连结AD并延长交BE于点F,9OB,2sin3ABC,求BF的长.【解析】⑴证明:连结OC.EC与⊙O相切,C为切点.FECBMAODEDCBAHABCDE490....ECOOBOCOCBOBCODDCDBDC,直线OE是线段B

C的垂直平分线....90.EBECECBEBCECOEBOEBOAB是⊙O的直径.BE与⊙O相切.⑵解:过点D作DMAB于点M,则DM∥FB.在RtODB中,2909sin3sin6.ODBOBABCODOBABC,

,,由勾股定理得2235.BDOBOD在RtDMB中,同理得22sin25.5.DMBDABCBMBDDMO是AB的中点,18.13.ABAMABBMDM∥FB,..365.13AMDABFMDAMBFABMDABBFAM

切线长和切线长定理:⑴在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.思路导航题型三切线长定理5OPEDCBA⑵从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.【引例】已知:如

图,PAPB、分别与O⊙相切于AB、两点.求证:⑴APOBPO;⑵PAPB;⑶OP垂直平分线段AB.【解析】连结OAOB,∵PAPB,分别与O⊙相切,∴PAOAPBOB,,∵OAOB,OP=OP∴AOPBOP△≌△∴APOBPO

.∴PAPB,由等腰三角形“三线合一”可知:OPAB且ACBC,∴OP垂直平分线段AB.【例5】⑴如图,PAPBDE、、分别切O⊙于ABC、、,若10PO,PDE△周长为16,求O⊙的半径.⑵梯形ABCD中,ABCD∥,O是AB上一点,以O为圆

心的半圆与ADCDBC、、都相切.已知6AD,4BC,求AB的长.【解析】⑴连结OA∵PAPBDE、、都与O⊙相切,∴PAPBDCDAECEB,,,∴PDE△周长PDDEPEPDDCCEPE16PDDAEBPEPAPB

∴8PA∴226OAPOPA,即O⊙的半径为6.⑵连接ODOC、,∵ADCDBC、、都是半圆O的切线,由切线长定理得OD平分ADC,OC平分BCD,∵ABCD∥,∴6AOAD,4BOBC

,∴6410ABAOBO.【例6】⑴如右图所示,ABC△的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F.13cmAB,14cmBC,11cmCA,求AD、BE、CF的长.例题精讲典题精练COBAPPABOCFEDC

BAODCBAABCDO6CBADO⑵如图,在ABCRt中,90C,6AC,8BC,圆O为ABC的内切圆,点D是斜边AB的中点,则ODAtan.(2012启东市模拟)【解析】⑴∵AB、BC、CA与O⊙相切,∴ADAF,BDBE,CECF设A

Dx,BDy,CEz,131411xyyzzx,解得586xyz,即AD、BE、CF的长分别为5cm、8cm和6cm.⑵2.7DOBAMC图6EFHBDOAMC图4KGEF【例7】已知:AB是半圆O的直径

,点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合),以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D,DCB的平分线与半圆M交于点E.(1)求证:CD是半圆O的切线(图1);(2)作EFAB于点F(图2),猜想EF与已有的哪条线段的一半相等,并加以证明.【解析】

⑴连结OD,则OD为半圆O的半径.∵OC为半圆M的直径,∴90CDO.∴CD是半圆O的切线.⑵猜想:12EFOA.证法一:如图4,连结ODOE,,延长OE交CD于点K,作EGCD于点G,则EGOD∥.∵CE平分DCB,∴OCEKCE.∵EFAB,∴EGEF.∵OC是

半圆M的直径,E为半圆M上的一点,∴90CEOCEK.∵CE为公共边,∴COECKE△≌△.∴OEKE.∵EGOD∥,∴DGGK.∴1122EFEGODOA.证法二:如图5,以OC为直径作M,延长EF交M于点P,连结OD.∵EFCO,∴12EFPFEP,EOPO.∵CE平

分DCB,∴DCEECO.∴DEOE.∴ODEP.DCAMFOE图2BDEOBAMC图18DOBAMC图5EFP∴ODEP.∴1122EFODOA.证法三:如图6,连结ODME、,ODME、相交于点H.∵CE平分

DCB,∴DEOE.∴12MEODOHOD,.∵EFCO,∴90MFEMHO.∵EMFOMHMEMO,,∴MEFMOH△≌△.∴EFOH.∴1122EFODOA.精讲:三角形内切圆相关性质和结论探究;【探究对象】三角形内切圆

相关性质和结论【探究过程】【探究1】角的相关性质探究:AO、BO、CO均为角平分线,且ABOC2190;【探究2】直角三角形内切圆半径计算方法探究:直角三角形的内切圆半径2abcr,或cbaabr(其中a、b为直角边,c为斜边)例:如图,O为RtA

BC的内切圆,9043ACBACBC,,,求内切圆半径r.43OCBA43OCBAPNMOCBA分析:方法一:连接OAOBOC,,,∵43ACBC,,∴5AB∵BOCAOCAOBABCSSSS,设三角形的底BCABAC,,各为abc,,,即111122

22arbrcrab,∴341345r方法二:设O切BCAC,,AB于MN,,P三点,由切线长定理可知:CNCMANAPBMBP,,OCBA9∴()()CMCNCBBMACANBCACBPAP3452BCACAB∵CMC

N,∴1CM,由90COMBCONAC,,可证得四边形OMCN为正方形.∴1OMMC,即O的半径1r.【探究3】普通三角形内切圆半径计算方法探究:普通三角形的内切圆半径cbacpbpappr2(

其中a、b为直角边,c为斜边,2cbap)分析:由【探究2】的方法一可知,cbaSr2,由海伦公式可得cpbpappS;【探究4】增加内切圆的个数;例:如图,1O和2O为RtABC的内切等圆,43ACBC,,求1O的半径r.O2O1

CBAO2O1CBA分析:连接1212BOAOCOCO,,,.则121212ABCBCOACOCOOABOOSSSSS梯形,即34(25)(2.4)234rrrrrr,解得57r.【探究5】继续增加内切

圆的个数;例:如图,12nOOO,为RtABC的内切等圆,43ACBC,,求1O的半径r.OnO2O1CBA分析:参见前一变式的解法,由面积易得,∵111nnnABCBOCCOOACOBAO

OSSSSS梯形,即11111213434(22)()[2(1)5]222252rrnrrnrr,∴6512236(1)5rnn.【探究6】改变内切圆的位置;例:如图,若两等

圆12OO,与RtABC的边BC及ACAB,的延长线相切,且两等圆外切,求此时两等圆的半径r.分析:连接121122OOOCOAOBOA,,,,,O2O1BAC10∵112212ABCACOOOAAOBOOBCSSSSS

梯形,即12424523rrrrrr,解得,67r.例:若将上面变式中的n个等圆,放到ABC外相邻两圆相外切,且与线段BC相切,与线段ABAC,的延长线相切,求这些圆的半径r.分析:连接111nnnOCOAOOOBOA,,,,,则111nnnABCAOCA

OOABOBCOOSSSSS梯形,即4(22)(4)5[(22)3]12rnrrrnrr,解得641rn.【总结】求直角三角形内切圆半径通常办法有两种:⑴面积法;⑵利用切线长定理.求其它

三角形内切圆半径的方法也有两种:⑴面积法:知道三角形的三边,利用勾股定理可求出任意一边上的高,于是就可以求出三角形的面积,接着仿照例题中的方法利用面积即可求出其内切圆的半径.⑵利用切线长定理:利用切线长定理可求出三角形任意一顶点到内切圆的切线长,利用三角函数可求出三角形以这个顶点为角的内角

度数,再解以这个顶点到圆心的线段、内切圆的半径、这个顶点到内切圆的切线长为三边的直角三角形即可.【探究7】圆外切四边形的性质探究:圆外切四边形的对边和相等:BCADCDAB;分析:由切线长定理可设线段长度如图所示

;则BCADdcbaCDAB;OnO1CBAODCBAddccbbaaOHGFEDCBA11ODCBAOABCDOFEDCBA题型一切线的性质定理巩固练习【练习1】如图,AB与O⊙相切于点B,线段OA与弦BC垂直于点D,60AOB,4cmB

C,则切线ABcm.【解析】4.题型二切线的判定定理巩固练习【练习2】在平行四边形ABCD中,1060ABADmD,,,以AB为直径作O⊙,⑴求圆心O到CD的距离(用含m的代数式来表示);⑵当m取何值时,CD与O⊙相切.【解析】⑴分别过AO,两

点作AECDOFCD,,垂足分别为点EF,,∴AEOF∥,OF就是圆心O到CD的距离.∵四边形ABCD是平行四边形,∴ABCD∥,∴AEOF.在RtADE△中,60D,∴3sin2AEDAD,则32AEm,∴32

AEOFm,∴圆心到CD的距离OF为32m.⑵由⑴得32OFm,∵AB为O⊙的直径,且10AB,∴当5OF时,CD与O⊙相切于F点,即352m,解得1033m,∴当1033m时,CD与O⊙相切.【练习3】

已知:如图,由正方形ABCD的顶点A引一条直线分别交BD、CD及BC的延长线于点E、F、G,求证:CE和CGF△的外接圆相切.【解析】连结OC由ABCD是正方形,容易证明SASABECBE△≌△,

∴BAEBCE,∵CFG△是直角三角形,∴外接圆圆心O为FG中点,∴OCOG,∴OCGOGC.复习巩固OGFEDCBAGOFEDCBA12OFGEDCBAABCDEGFOABCDEGFO∵90BA

EOGC,∴90BCEOCG,∴90OCE,∴CE与O⊙相切.【练习4】如图,AB是O⊙的直径,BCAB于点B,连接OC交O⊙于点E,弦ADOC∥,弦DFAB于点G.⑴求证:点E是BD的中点;⑵求证:CD是O⊙的切

线;⑶若4sin5BAD,O⊙的半径为5,求DF的长.【解析】⑴∵ADOC∥,∴ACOB,∴2DBBE,∴DEBE.⑵连结OD由⑴知DOEBOE在COD△和COB△中,COCOODOB,,∴CODCOB△≌△∴CDOB,又∵B

CAB,∴90CDOB,即CD是O⊙的切线.⑶解法一:在ADG△中,4sin5DGAAD,设45DGxADx,∵DFAB,∴3AGx,又∵O⊙的半径为5,∴53OGx,∵222ODDGOG,即2225453xx

,解得12605xx,(舍去),∴6482855DFDG.解法二:连结BD∵AB是直径,∴90ADB,4sin5BDAAB∵O⊙的半径为5,∴485BDAB,6AD,∵DFAB,∴2DFDG,在RtABD△中,AB

DGADBD,∴6824105ADBDDGAB,∴4825DFDG.13ONMGFEDCBA题型三切线长定理巩固练习【练习5】⑴如图,O⊙是ABC△的内切圆,DEF、、是切点,18cmAB,20cmBC

,12cmAC,又直线MN切O⊙于G,交ABBC、于MN、,则BMN△的周长为______________.⑵RtABC△中,9068CACBC,,,则ABC△的内切圆半径r_______

_.⑶等腰梯形ABCD外切于圆,且中位线MN的长为10,那么这个等腰梯形的周长是_____.【解析】⑴26cm;⑵2;⑶40.14【测试1】如图,MP切O⊙于点M,直线OP交O⊙于点AB、,弦ACMP∥,求证:MOB

C∥.MPOCBA【解析】∵MP是O⊙的切线,∴OMMP,∵ACMP∥,∴ACOM,∵AB是直径,∴90ACB,即BCAC,∴MOBC∥.【测试2】如图,四边形ABCD内接于O,BD是O的直径,CDAE于点E,DA平分BDE.(1)求证:AE是O

的切线;(2)如果4AB,2AE,求O的半径.【解析】(1)证明:联结OA,∵OA=OD,∴∠1=∠2.∵DA平分BDE,∴∠2=∠3.∴∠1=∠3.∴OA∥DE.∴∠OAE=∠4,∵AECD,∴∠4=90°.∴∠OAE=90°,即OA⊥AE.又∵点

A在⊙O上,∴AE是⊙O的切线.(2)解:∵BD是⊙O的直径,∴∠BAD=90°.∵∠5=90°,∴∠BAD=∠5.又∵∠2=∠3,∴△BAD∽△AED.∴AEBAADBD,∵BA=4,AE=2,∴BD=2AD.在Rt△BAD中,根据勾股定理,

得BD=833.∴⊙O半径为433.课后测OACEBD54321OACEBD

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