【文档说明】《圆中三大切线定理》（著名机构整理）-2020年中考数学专题复习.doc，共(14)页，2.608 MB，由小喜鸽上传

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以下为本文档部分文字说明：

1题目中已知圆的切线，可以“连半径，标直角”，然后在直角三角形中利用勾股、相似或锐角三角函数解决问题。【例1】如图，在△ABC中，BCAB，以AC为直径的⊙0与BC边交于点D，过点D作⊙O的切线DE，交AB于点E，若DE⊥AB．求证：BEAE3．知识互联网思路导航典题精练题型一：切线的性质定

理暑期班第六讲秋季班第六讲秋季班第八讲圆中三大切线定理EODCBA2【解析】连接OD、AD，由切线的性质定理可得ABOD，又∵DE⊥AB，∴ABOD∥则OD为ABC的中位线，D为BC中点，又∵90ADC，则AD为BC的垂直平分线，∴BCACAB，AB

C为等边三角形，∴60ADEB，∴BEDEAE33．判定切线共有三种方法：定义法、距离法和定理法，其中常用的是距离法和定理法，可以总结为六字口诀，定理法是“连半径，证垂直”，距离法是“作垂直，证半径”，定理法的使用

频率最高，必须熟练掌握。【例2】如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.⑴求证：PC是⊙O的切线.⑵若AB=4，21：：PCAP，求CF的长.【解析】⑴证明：连结OC．∵OE⊥AC，∴AE=

CE．∴FA=FC．∴∠FAC=∠FCA．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA．即∠FAO=∠FCO．∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴FA⊥AB．∴∠FCO=∠FAO=90°．∴PC是⊙O的切线．⑵∵∠PCO=90°，即∠ACO+

∠ACP=90°.思路导航典题精练题型二：切线的判定定理EODCBA3又∵∠BCO+∠ACO=90°，∴∠ACP=∠BCO.∵BO=CO，∴∠BCO=∠B，∴∠ACP=∠B.∵∠P公共角，∴△PCA∽△PBC.∴BCACPCPAPBPC.∵21：：PCAP，∴

21BCAC.∵∠AEO=∠ACB=90°，∴OF∥BC.∴ABCAOF.∴21tantanABCAOF.∴21tanAOAFAOF.∵AB=4，∴AO=2.∴AF=1.∴CF=1.【例3】如图，已知RtABC△

中，90ACB，BD平分ABC，以D为圆心、CD长为半径作D⊙，与AC的另一个交点为E．⑴求证：AB与D⊙相切；⑵若43ACBC，，求AE的长．【解析】⑴证明：过点D作DHAB于H．∵BD

平分ABC，90ACB，DHAB，∴DCDH．∵DC是D⊙的半径，∴AB与D⊙相切．⑵解：设D⊙的半径为r．在RtABC△中，90ACB，43ACBC，，∴5AB．由⑴可知BC切D⊙于C，BH切D⊙于H，∴3BHBC，∴532

AHABBH．又4ADACCDr，∴在RtADH△中，90AHD，∴222AHDHAD，即22224rr，解得32r．∴421AEACCEr．另：该问还可以用AHDACB△∽△求得AE的长．

还可以用ADB△面积的求法，3(4)5rr.【例4】已知：如图，AB是O⊙的直径，C是O⊙上一点，ODBC⊥于点D，过点C作O⊙的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．⑴求证：BE与O⊙相切；⑵连结AD并

延长交BE于点F，9OB，2sin3ABC，求BF的长．【解析】⑴证明：连结OC.EC与⊙O相切，C为切点.FECBMAODEDCBAHABCDE490....ECOOBOCOCBOBCODDCDBDC，直线OE是线段BC的垂直平分线....9

0.EBECECBEBCECOEBOEBOAB是⊙O的直径.BE与⊙O相切.⑵解：过点D作DMAB于点M，则DM∥FB.在RtODB中，2909sin3sin6.ODBOBABCODOBABC，，，由

勾股定理得2235.BDOBOD在RtDMB中，同理得22sin25.5.DMBDABCBMBDDMO是AB的中点，18.13.ABAMABBMDM∥FB，..365.13AMDABFMDAMBFABMDABBFAM

切线长和切线长定理：⑴在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．思路导航题型三切线长定理5OPEDCBA⑵从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．【引例】已知：如图，PAPB、分

别与O⊙相切于AB、两点．求证：⑴APOBPO；⑵PAPB；⑶OP垂直平分线段AB．【解析】连结OAOB，∵PAPB，分别与O⊙相切，∴PAOAPBOB，，∵OAOB，OP=OP∴AOPBOP△≌△∴APOBPO．∴PA

PB，由等腰三角形“三线合一”可知：OPAB且ACBC，∴OP垂直平分线段AB．【例5】⑴如图，PAPBDE、、分别切O⊙于ABC、、，若10PO，PDE△周长为16，求O⊙的半径．⑵梯形ABCD中，ABCD∥，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与ADCDBC、、都相切．已知6AD，4B

C，求AB的长．【解析】⑴连结OA∵PAPBDE、、都与O⊙相切，∴PAPBDCDAECEB，，，∴PDE△周长PDDEPEPDDCCEPE16PDDAEBPEPAPB∴

8PA∴226OAPOPA，即O⊙的半径为6．⑵连接ODOC、，∵ADCDBC、、都是半圆O的切线，由切线长定理得OD平分ADC，OC平分BCD，∵ABCD∥，∴6AOAD，4BOBC，∴6

410ABAOBO．【例6】⑴如右图所示，ABC△的内切圆与三边AB、BC、CA分别切于D、E、F.13cmAB，14cmBC，11cmCA，求AD、BE、CF的长．例题精讲典题精练COBAPPABOC

FEDCBAODCBAABCDO6CBADO⑵如图，在ABCRt中，90C，6AC，8BC，圆O为ABC的内切圆，点D是斜边AB的中点，则ODAtan.（2012启东市模拟）【解析】⑴∵AB、BC、

CA与O⊙相切，∴ADAF，BDBE，CECF设ADx，BDy，CEz，131411xyyzzx，解得586xyz，即AD、BE、CF的长分别为5cm、8cm和6cm．⑵2．7DOBAMC图6EFHBDOAMC图4KGEF【例7】已知：AB是半圆

O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，DCB的平分线与半圆M交于点E．(1)求证：CD是半圆O的切线（图1）；(2)作EFAB于点F（图2），猜想EF与已有的哪条线段

的一半相等，并加以证明.【解析】⑴连结OD，则OD为半圆O的半径．∵OC为半圆M的直径，∴90CDO．∴CD是半圆O的切线．⑵猜想：12EFOA．证法一：如图4，连结ODOE，，延长OE交CD于点K，作EGCD于点G，则EGOD∥．∵CE平分DCB，∴OCEKCE

．∵EFAB，∴EGEF．∵OC是半圆M的直径，E为半圆M上的一点，∴90CEOCEK．∵CE为公共边，∴COECKE△≌△．∴OEKE．∵EGOD∥，∴DGGK．∴1122EFEGODOA

．证法二：如图5，以OC为直径作M，延长EF交M于点P，连结OD．∵EFCO，∴12EFPFEP，EOPO．∵CE平分DCB，∴DCEECO．∴DEOE．∴ODEP．DCAMFOE图2BDEOBAMC图18DOBA

MC图5EFP∴ODEP．∴1122EFODOA．证法三：如图6，连结ODME、，ODME、相交于点H．∵CE平分DCB，∴DEOE．∴12MEODOHOD，．∵EFCO，∴90MFEMHO．∵EMFOMHMEMO，，∴MEFM

OH△≌△．∴EFOH．∴1122EFODOA．精讲：三角形内切圆相关性质和结论探究；【探究对象】三角形内切圆相关性质和结论【探究过程】【探究1】角的相关性质探究：AO、BO、CO均为角平分线，且ABOC2190；【探究2

】直角三角形内切圆半径计算方法探究：直角三角形的内切圆半径2abcr，或cbaabr(其中a、b为直角边，c为斜边)例：如图，O为RtABC的内切圆，9043ACBACBC，，

，求内切圆半径r．43OCBA43OCBAPNMOCBA分析：方法一：连接OAOBOC，，，∵43ACBC，，∴5AB∵BOCAOCAOBABCSSSS，设三角形的底BCABAC，，

各为abc，，，即11112222arbrcrab，∴341345r方法二：设O切BCAC，，AB于MN，，P三点，由切线长定理可知：CNCMANAPBMBP，，OCBA9∴()()CMCNCBBMACANBCACBPAP34

52BCACAB∵CMCN，∴1CM，由90COMBCONAC，，可证得四边形OMCN为正方形．∴1OMMC，即O的半径1r．【探究3】普通三角形内切圆半径计算方法探究：普通三角形的内切圆

半径cbacpbpappr2(其中a、b为直角边，c为斜边，2cbap)分析：由【探究2】的方法一可知，cbaSr2，由海伦公式可得cpbpappS；【探究4】增加内切圆的个数；例：如图，1O和

2O为RtABC的内切等圆，43ACBC，，求1O的半径r．O2O1CBAO2O1CBA分析：连接1212BOAOCOCO，，，．则121212ABCBCOACOCOOABOOSSSSS梯形，即34(25)(2.4)234rrrrrr

，解得57r．【探究5】继续增加内切圆的个数；例：如图，12nOOO，为RtABC的内切等圆，43ACBC，，求1O的半径r．OnO2O1CBA分析：参见前一变式的解法，由面积易得，∵111nnnABCBOCCOOACOBAOOSS

SSS梯形，即11111213434(22)()[2(1)5]222252rrnrrnrr，∴6512236(1)5rnn．【探究6】改变内切圆的位置；例：如图，若两等圆12OO，与RtABC的边BC及ACAB，的延长线

相切，且两等圆外切，求此时两等圆的半径r．分析：连接121122OOOCOAOBOA，，，，，O2O1BAC10∵112212ABCACOOOAAOBOOBCSSSSS梯形，即12424523rrrrrr

，解得，67r．例：若将上面变式中的n个等圆，放到ABC外相邻两圆相外切，且与线段BC相切，与线段ABAC，的延长线相切，求这些圆的半径r．分析：连接111nnnOCOAOOOBOA，，，，，则111n

nnABCAOCAOOABOBCOOSSSSS梯形，即4(22)(4)5[(22)3]12rnrrrnrr，解得641rn．【总结】求直角三角形内切圆半径通常办法有两种：⑴面积法；⑵利用切线长定理．求其它三角形内切圆半径的方法也有两种：⑴

面积法：知道三角形的三边，利用勾股定理可求出任意一边上的高，于是就可以求出三角形的面积，接着仿照例题中的方法利用面积即可求出其内切圆的半径．⑵利用切线长定理：利用切线长定理可求出三角形任意一顶点到内切圆的切线长，利用三角函数可求出三角形以这个

顶点为角的内角度数，再解以这个顶点到圆心的线段、内切圆的半径、这个顶点到内切圆的切线长为三边的直角三角形即可．【探究7】圆外切四边形的性质探究：圆外切四边形的对边和相等：BCADCDAB；分析：由切线长定理可设线段长度如图所示；则BCADdcbaCDAB

；OnO1CBAODCBAddccbbaaOHGFEDCBA11ODCBAOABCDOFEDCBA题型一切线的性质定理巩固练习【练习1】如图，AB与O⊙相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，60AOB

，4cmBC，则切线ABcm.【解析】4．题型二切线的判定定理巩固练习【练习2】在平行四边形ABCD中，1060ABADmD，，，以AB为直径作O⊙，⑴求圆心O到CD的距离（用含m的代数式

来表示）；⑵当m取何值时，CD与O⊙相切．【解析】⑴分别过AO，两点作AECDOFCD，，垂足分别为点EF，，∴AEOF∥，OF就是圆心O到CD的距离．∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD∥，∴AEOF．在RtADE△中，60D，∴3sin2AEDAD，则

32AEm，∴32AEOFm，∴圆心到CD的距离OF为32m．⑵由⑴得32OFm，∵AB为O⊙的直径，且10AB，∴当5OF时，CD与O⊙相切于F点，即352m，解得1033m，∴当1033m时，C

D与O⊙相切．【练习3】已知：如图，由正方形ABCD的顶点A引一条直线分别交BD、CD及BC的延长线于点E、F、G，求证：CE和CGF△的外接圆相切．【解析】连结OC由ABCD是正方形，容易证明SASABECBE△≌△，∴BAEBCE，∵CFG△是直角三角形，∴外

接圆圆心O为FG中点，∴OCOG，∴OCGOGC．复习巩固OGFEDCBAGOFEDCBA12OFGEDCBAABCDEGFOABCDEGFO∵90BAEOGC，∴90BCEOCG，∴

90OCE，∴CE与O⊙相切．【练习4】如图，AB是O⊙的直径，BCAB于点B，连接OC交O⊙于点E，弦ADOC∥，弦DFAB于点G．⑴求证：点E是BD的中点；⑵求证：CD是O⊙的切线；⑶若4sin5BAD，O⊙的半径为5，求DF的长．【解析】⑴∵ADO

C∥，∴ACOB，∴2DBBE，∴DEBE．⑵连结OD由⑴知DOEBOE在COD△和COB△中，COCOODOB，，∴CODCOB△≌△∴CDOB，又∵BCAB，∴90CDOB

，即CD是O⊙的切线．⑶解法一：在ADG△中，4sin5DGAAD，设45DGxADx，∵DFAB，∴3AGx，又∵O⊙的半径为5，∴53OGx，∵222ODDGOG，即2225453xx，解得12605

xx，（舍去），∴6482855DFDG．解法二：连结BD∵AB是直径，∴90ADB，4sin5BDAAB∵O⊙的半径为5，∴485BDAB，6AD，∵DFAB，∴2DFDG，在RtABD△中，ABDGADBD，∴6824105A

DBDDGAB，∴4825DFDG．13ONMGFEDCBA题型三切线长定理巩固练习【练习5】⑴如图，O⊙是ABC△的内切圆，DEF、、是切点，18cmAB，20cmBC，12cmAC，又直线MN切O⊙于G，交ABBC、于MN、，则BMN△的周长为__

____________．⑵RtABC△中，9068CACBC，，，则ABC△的内切圆半径r________．⑶等腰梯形ABCD外切于圆，且中位线MN的长为10，那么这个等腰梯形的周长是_____．

【解析】⑴26cm；⑵2；⑶40．14【测试1】如图，MP切O⊙于点M，直线OP交O⊙于点AB、，弦ACMP∥，求证：MOBC∥．MPOCBA【解析】∵MP是O⊙的切线，∴OMMP，∵ACMP∥，∴ACOM，∵AB是直径，∴90ACB，即BCAC

，∴MOBC∥．【测试2】如图，四边形ABCD内接于O，BD是O的直径，CDAE于点E，DA平分BDE．(1)求证：AE是O的切线；(2)如果4AB，2AE，求O的半径．【解析】(1)证明：联结OA，∵OA=OD，∴∠1=∠2．∵DA平分BD

E，∴∠2=∠3．∴∠1=∠3．∴OA∥DE．∴∠OAE=∠4，∵AECD，∴∠4=90°．∴∠OAE=90°，即OA⊥AE．又∵点A在⊙O上，∴AE是⊙O的切线.(2)解：∵BD是⊙O的直径，∴∠BAD=90°．∵∠5=90°，∴∠BAD=∠5

．又∵∠2=∠3，∴△BAD∽△AED．∴AEBAADBD，∵BA=4，AE=2，∴BD=2AD．在Rt△BAD中，根据勾股定理，得BD=833．∴⊙O半径为433．课后测OACEBD54321OAC

EBD