【文档说明】《图形中的动点问题培优（著名机构整理）-2020年中考数学专题复习.doc，共(14)页，2.687 MB，由小喜鸽上传

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1我们初二已经学过了三角形、四边形上动点产生的函数问题，初三已学习了新的图形——圆，出现了一些以圆为背景，因点的运动产生的函数问题，这些问题的重点在于定性刻画两个变量之间的关系.【例1】⑴如图，BC是

D的直径，A为圆上一点．点P从点A出发，沿AB典题精练思路导航知识互联网题型一：点运动产生函数DCBA图形的动点问题2GFDBEOAC运动到B点，然后从B点沿BC运动到C点．假如点P在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点P与点D的距离随时间变化的图象大致是（）距离时间O距离

时间O距离时间O距离时间OA．B．C．D．⑵如图，点A、B、C、D为圆O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿线段OCCD线段DO的路线作匀速运动．设运动时间为t秒，APB的度数为y度，则下列图象中表示y与t的函数关

系最恰当的是（）9045Oyt4590tyO9045Oyt4590tyOA．B．C．D．⑶如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，2AB，设弦AP的长为x，APO△的面积为y，则下列图象中，能表示y

与x的函数关系的图象大致是（）DCBAyxxyyxyx1212121221122112⑷如图，AB为半圆所在⊙O的直径，弦CD为定长且小于⊙O的半径(点C与点A不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交A

B于E，G为半圆中点,当点C在AG上运动时，设AC的长为x，CF+DE=y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）ABCD【解析】⑴B．⑵C．⑶A．⑷B．PODCBAOGFEDCBAOyxOOOxxxyyy3【例2】如图1，已知△ABC中

，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA方向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（04t≤≤）．解答下列问题：BCPAQQ＇QAPCB图1图2（1

）当t为何值时，PQ∥BC．（2）设△AQP面积为S（单位：cm2），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．（4）如图2，把△

AQP沿AP翻折，得到四边形AQPQ′．那么是否存在某时刻t，使四边形AQPQ′为菱形？若存在，求出此时菱形的面积；若不存在，请说明理由．【解析】∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，∴由勾股

定理逆定理得△ABC为直角三角形，∠C为直角．（1）BP=2t，则AP=10-2t．∵PQ∥BC，∴APAQABAC，即1022108tt，解得t=209，∴当t=209s时，PQ∥BC．（2）如答图1所示，过P点作PD⊥AC于点D．∴PD∥BC，∴APP

DABBC，即102106tPD，解得PD=6-65t．S=12×AQ×PD=12×2t×(6-65t)=-65t2+6t=-65(t-52)2+152，∴当t=52s时，S取得最大值，最大值为152cm2．（3）假设存在某时刻t，使线

段PQ恰好把△ABC的面积平分，则有S△AQP=12S△ABC，而S△ABC=12AC•BC=24，∴此时S△AQP=12．由（2）可知，S△AQP=-65t2+6t，题型二：点运动与面积变化4∴-65t2+6t=12，化简得：t2-5t+10=0，∵△=(-5)2-4×1×10

=-15＜0，此方程无解，∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．（4）假设存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，则有AQ=PQ=BP=2t．如答图2所示，过P点作PD⊥AC于点D，则有PD∥BC，

∴APPDADABBCAC，即1021068tPDAD，解得：PD=6-65t，AD=8-85t，∴QD=AD-AQ=8-85t-2t=8-185t．在Rt△PQD中，由勾股定理得：QD2+PD2=PQ2，即（8﹣185t

）2+（6﹣65t）2=（2t）2，化简得：13t2﹣90t+125=0，解得：t1=5，t2=2513，∵t=5s时，AQ=10cm＞AC，不符合题意，舍去，∴t=2513．由（2）可知，S△AQP=-65t2+6t∴S菱形AQPQ′=2S△

AQP=2×（-65t2+6t）=2×[-65×(2513)2+6×2513]=2400169cm2．所以存在时刻t，使四边形AQPQ′为菱形，此时菱形的面积为2400169cm2．图2图1BCDPAQQ＇QAPDCB【例3】已知：在如图1所示的平面直角坐标系xOy中，A、C

两点的坐标分别为(42)A，，(2)Cn，（其中0n），点B在x轴的正半轴上．动点P从点O出发，在四边形OABC的边上依次沿OABC的顺序向点C移动，当点P与点C重合时停止运动．设点P移动的路径的长为1，PO

C△的面积为S，S与l的函数关系的图象如图2所示，其中四边形ODEF是等腰梯形．⑴结合以上信息及图2填空：图2中的______m；⑵求B、C两点的坐标及图2中OF的长；⑶若OM是AOB的角平分线,且点G与

点H分别是线段AO与射线OM上的两个动5PNMDCBARCBA11OyxGMHNxyO11AB点，直接写出HGAH的最小值，请在图3中画出示意图并简述理由.图2图18mtFEDOS11OyxxyO11图3【解析】⑴25m⑵∵四边形ODEF是等腰梯形∴可知四边形OABC是平行四边

形由已知可得：8AOCS△,连接AC交x轴于R点又∵(42)A，，(2)Cn，∴0.520.5228AOCAORROCSSSROROOR△△△∴4OR∴28OBRO,AROB∴(80)B，,(42)C，且四边形OABC是菱形∴36

5OFAO(3)如图3，在OB上找一点N使ONOG,连接NH∵OM平分AOB∴AOMBOM∵OHOH∴GOHNOH△≌△∴GHNH∴GHAHAHHN根据垂线最短可知，AN是点A到OB的垂线段时，H点是AN与OM的交

点∴GHAH的最小值2AN1.因动点产生的等腰三角形问题典题精练题型三：点运动产生特殊图形6CBANM【例4】如图，四边形ABCD为矩形，43ABAD，，动点M从D点出发以1个单位/秒的速度沿DA向

终点A运动，动点N从A点出发以2个单位/秒的速度沿AB向终点B运动．当其中一点到达终点时，运动结束．过点N作NPAB交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．⑴请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）⑵试求MPA△的面积S与时间x秒的函数关系式，写出自变

量x的取值范围，并求出S的最大值；⑶在这个运动过程中，MPA△能否为一个等腰三角形．若能，求出所有x的对应值；若不能，请说明理由．【解析】⑴32x；⑵21139322224SAMANxxx其中02x≤，∴当32x时，S取得最

大值94．⑶由⑴可知：52APx．①若AMAP，则532xx，解得67x，②若AMMP，则过P点作PQAD于Q，易得AQPN是矩形，32AQPNx，2PQANx又3AMPMx，则

353322MQxxx，∴22252332xxx，解得1236037xx，（舍去）∴3637x，另解：过点M作MEAC.3sinsin5AMEBAC∴335AEx，∴335AEx又12AEAP，∴3153522xx，

解得3637x.③若APMP，则过P点作PHAD于H，易得AHPN是矩形，32AHPNx，且11322AHAMx，∴31322xx，解得34x．综上所述，若MPA△可以成为等腰三角形，满足条件的x的值可以为63637374，，．2.因动点产生的直角三

角形问题7DMNABCDMNABC【例5】如图，已知AB、是线段MN上的两点，4MN，11MAMB，．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC△，设ABx．⑴求x的取值范围；⑵若ABC△为直角三角形，求x的值；⑶探究：ABC△的最大面积是多少

？【解析】⑴在ABC中，∵1AC，ABx，3BCx．∴1313xxxx，解得12x．⑵①若AC为斜边，则221(3)xx，即2340xx，无解．②若AB为斜边，则22(3)1xx，解得53x，满足12x．③若BC为斜边，则

22(3)1xx，解得43x，满足12x．∴53x或43x．⑶在ABC△中，作CDAB于D，设CDh，ABC△的面积为S，则12Sxh．①若点D在线段AB上，则22213hxhx．∴222223211xhxxhh，即

2134xhx．∴222192416xhxx，即22282416xhxx．∴222221312642422Sxhxxx（423x）当32x时（满足423x），2S取最大值12，从而S取

最大值22．②若点D在线段MA上，则22231xhhx．同理可得，222212644Sxhxx231222x（413x），易知此时22S．综合①②得，ABC△的最大面积为22．3.因动点产生的特殊四边形问题【例6】如图，在矩形ABCD中，

20cmBC，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到NMQPDCBA8达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若cmBQx0x

，则2cmAPx，CM=3xcm，2cmDNx．⑴当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；⑵当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；⑶以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不

能，请说明理由．【解析】⑴当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由2220xx得1211x，221

1x（舍去）因为3421120BQCMxx，此时点Q与点M不重合．所以211x符合题意．②当点Q与点M重合时，由320xx得5x此时22520DNx，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x的值

为211．⑵由⑴知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由220(3)20(2)xxxx，解得120()2xx舍去，．当2x时，四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由220(3)(2)20xxxx，解得1210()4x

x舍去，．当4x时四边形NQMP是平行四边形．所以当24xx或时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．⑶过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2xx，所以点E一定在点P的左侧．若以P

，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PENF，即223xxxx．解得120()4xx舍去，．由于当4x时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．9【例7】如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数3

33yx的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C的坐标为30，，连结BC．⑴求证：ABC△是等边三角形；⑵点P在线段BC的延长线上，连结AP，作AP的垂直平分线，垂足为点D，并与y轴交于点E，分别连结EA、EP．①若6CP，直接写出AEP的度数；②

若点P在线段BC的延长线上运动（P不与点C重合），AEP的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出AEP的度数；⑶在⑵的条件下，若点P从C点出发在BC的延长线上匀速运动，速度为每秒1个单位长度．EC与AP交于点

F，设AEF△的面积为1S，CFP△的面积为2S，12ySS，运动时间为0tt秒时，求y关于t的函数关系式．【解析】⑴证明：如图，∵一次函数333yx的图象与x轴交于点30A，，0

33B，．∵30C，，∴OAOC．又y轴AC，∴ABBC．在RtAOB△中，tan3BOBAOAO．∴60BAC°．∴ABC△是等边三角形．⑵①答：120AEP°②解：如图，作EHCP于点H，∵y轴垂直平分AC，ABC△是等边三角形，∴EAEC，12BEABE

CAEC．∴60BEH°．∵ED垂直平分AP，∴EAEP．∴EAECEP，∴EH垂直平分CP，在CEP△中，12CEHPEHPEC，∵116022BEHBECCEHAECPEC°．∴120AEPAE

CPEC°．⑶作PGx轴于点G，在RtPGC△中，PCt，322ttCGPG，．在RtBEH△中，36,32tEH11yxOCBAxOABC1PEy11023632tBE．∴33,3

EOBEBOt又12ySS12ACFACFSSSS△△EACPACSS△△．13332EACSACEOt△，PACS△12ACPG332t．∴33302y

tt．11题型一点运动产生函数巩固练习【练习1】如图，直线4yx与两坐标轴分别交于A、B两点，边长为2的正方形OCEF沿着x轴的正方向移动，设平移的距离为04aa≤≤，正方形OCEF与△AOB重叠部分的面

积为S．则表示S与a的函数关系的图象大致是（）（石景山期末）D.C.B.A.2442SO2442aSOOSa24422442aSOD.C.B.A.2442aSO2442aSOOSa24422442aSOD.C.B.A.2442aSO2442aSOOSa24422442aSOD.C

.B.A.2442aSO2442aSOOSa24422442aO【解析】D.【练习2】如图，在半径为1的O中，直径AB把O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CDAB，垂足为E，OCD的平分线交O于点P，设CExAPy，，下列图象中，最能刻画y与

x的函数关系的图象是（）122xyO122xyO12Oyx212Oyx2A．B．C．D．【解析】A.复习巩固POEDCBA1OFECBAyx12题型二点运动与面积变化巩固练习【练习3】已知：如图，在RtACB△中，90C°，4cmAC，3cmBC，点P由B出发沿

BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ．若设运动的时间为(s)t（02t），解答下列问题：⑴当t为何值时，PQBC∥？⑵设AQP△的面积为y（2

cm），求y与t之间的函数关系式；⑶是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB△的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由.【解析】⑴在RtABC△中，225ABBCAC，由题意知：5APt，2AQt，若PQBC∥，则APQABC△∽△，∴AQAC

APAB，∴2545tt，∴107t．⑵过点P作PHAC于H．∵APHABC△∽△，∴PHBCAPAB，∴3PH55t，∴335PHt，∴211332332255yAQPHtttt．⑶若PQ把ABC△周长平

分，则APAQBPBCCQ．∴(5)23(42)tttt，解得：1t．若PQ把ABC△面积平分，则12APQABCSS△△，即23335tt．∵1t代入上面方程不成立，∴不存在这一时刻t，使线段PQ把RtACB△的周长和面积同时平分．题型三点

运动产生特殊图形巩固练习【练习4】如图，在梯形ABCD中，ADBC∥，6cmAD，4cmCD，10cmBCBD，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速

运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（05t）．解答下列问题：⑴过P作PMAD∥，交AB于M．当t为何值时，四边形AMPE是平行四边形？⑵设y=EQPQ（cm2），求y与t之间的函数关系式，并求

t为何值时，y有最大值，最大值是多少；⑶连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化？说明理由．【解析】⑴∵四边形AMPE是平行四边形．∴PEAB∥，∴DEDPDADB．HABCQPABCQPPQFEDCBA

MABCDEFQP13而10DEtDPt，，∴10610tt，∴154t．∴当15(s)4t，四边形AMPE是平行四边形．⑵∵EF平行且等于CD，∴DQEBDC．∵ADBC∥，∴EDQCBD．∴DEQBCD△∽△．∴DEEQBCCD即104tEQ．∴2

5EQt．∵DQBPt，∴102PQt．∴y=EQPQ=25t(102)t245()552t∴当52t时，y有最大值5．⑶在PDE△和FBP△中，10DEBPtPDBFtPDEFBPPD

EFBP△≌△∴PDEPFCDEPFCDSSS△五边形四边形FBPPFCDSS△86BCDS△．∴在运动过程中，五边形PFCDE的面积不变．【练习5】已知：如图，在直角梯形COAB中，OCAB∥，以

O为原点建立平面直角坐标系，ABC，，三点的坐标分别为(80)(810)(04)ABC，，，，，，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．⑴求直线BC的解析式；⑵动点

P在线段OA上移动，t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的27？⑶动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设OPD△的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；⑷当动点P在线段AB上移动时，能否在线

段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．【解析】⑴直线BC的解析式为344yx．⑵如图1，过点D作DMy轴，垂足为M．在RtCDM△中，152CDCB，4DM，3CM．所以11744

78222OCDOPDOPDCSSStt△△四边形．ABDCOPxyABDCOxy（此图备用）图1MyxCDBAPO14梯形COAB的面积14108562COABS梯形．解方程7285627t，解得167t．因此，当167t时，四边形

OPDC的面积是梯形COAB的面积的27．⑶如图1，①当P在线段OA上时，08t≤，72St；②如图2，当P在线段AB上时，818t≤，244St；③如图3，当P在线段BD上时，1823t，818455St

．⑷四边形CQPD不可能成为矩形．说理如下：如图4，当PDCD时，作PQPD交x轴于Q．在RtBDP△中，5BD，52533BPBD．在RtAPQ△中，53AP，52539PQAP．所以PQCD

，因此四边形CQPD不是矩形．FOPABDCxyM图2N图3MyxCDBAPOQOPABDCxy图4