【文档说明】2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(42)页，1.212 MB，由飞向未来上传

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2.3二次函数与一元二次方程、不等式2.3二次函数与一元二次方程、不等式1.从函数观点看一元二次方程会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．2．从函数观点看

一元二次不等式(1)经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．(2)借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、

方程的联系．3．通过二次函数与一元二次方程、不等式的联系，培养学生直观想象、数学运算的核心素养．通过一元二次不等式的解集是R或∅的含义，培养学生逻辑推理、直观想象的核心素养．(一)教材梳理填空1．一元二次不等式定义只含有____未知数，并且

未知数的最高次数是__的不等式，称为一元二次不等式一般形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0.一个2．二次函数的零点一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使_______

______的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的_____．ax2＋bx＋c＝0零点23．“三个二次”的关系二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系（转下页）Δ＞0Δ＝0Δ＜0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相

等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集_______________________________ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集__________

_________{x|x＜x1，或x＞x2}{x|x1＜x＜x2}xx≠－b2aR∅∅[思考](1)如何理解一元二次不等式中的“一元”与“二次”？提示：“一元”即只含一个未知数，其他元素均为常数(或参数)．“二次”即未知数的最高次数必

须为2，且其系数不能为0.(2)如何理解一元二次不等式的“解”与“解集”？提示：一元二次不等式的解与一元二次不等式的解集是部分与整体的关系，不要将二者混淆．如1是x2＋x＞0的一个解，但x2＋x＞0的解集是一个集合，解集为{x

|x＜－1或x＞0}．(二)基本知能小试1．判断正误(1)mx2＋5x＋3＜0是一元二次不等式．()(2)若不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|x1＜x＜x2}(x1＜x2)，则必有a＞0.()(3)函数y＝ax2＋bx＋c的零点就是函数图象与x轴的交点．()答案：

(1)×(2)√(3)×(二)基本知能小试1．判断正误(4)若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是{x|x＜x1或x＞x2}(x1＜x2)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.()(5)若方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，则不等

式ax2＋bx＋c＞0的解集为R.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(5)×2．不等式2x2－x－1＞0的解集是()A.xx＜－12或x＞1B.{x|x＜1或x＞2}C．{x|x＞1}D.

x－12＜x＜1解析：原不等式可化为(2x＋1)(x－1)＞0，所以x＜－12或x＞1，故选A.答案：A3．已知全集U＝{x|x2＞1}，集合A＝{x|x2－4x＋3＜0}，则∁UA＝()A．{x|1＜x＜3}B.{x|x＜1或x≥3}C．{x|x＜－1或x≥3}D.{x|x＜

－1或x＞3}解析：因为U＝{x|x＜－1或x＞1}，A＝{x|1＜x＜3}，所以∁UA＝{x|x＜－1或x≥3}，故选C.答案：C4．若不等式ax2＋5x＋c＞0的解集为{x|2＜x＜3}，则a，c的值分别为________，________.解析

：由题意知，方程ax2＋5x＋c＝0的两根为x1＝2，x2＝3，由根与系数的关系得x1＋x2＝2＋3＝－5a，x1x2＝2×3＝ca，解得a＝－1，c＝－6.答案：－1－6题型一一元二次不等式的解法[学透用活][典例1]解下列不等式：(1)2x2＋7x＋3＞0；(2)－4x2＋18x－814

≥0；(3)－2x2＋3x－2＜0；(4)－12x2＋3x－5＞0.[解](1)因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－12.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不

等式的解集为xx＜－3或x＞－12.(2)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式的解集为xx＝94.(3)原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×

2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝(－6)2－40＝－4＜0，所以方

程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.[方法总结]解一元二次不等式的步骤[变式训练]1．[不含参的一元二次不等式的解法]不等式x(x＋2)＜3的解集是()A．{x|－1＜x＜3}B.{x|－3＜x＜1

}C．{x|x＜－1，或x＞3}D.{x|x＜－3，或x＞1}解析：由题意x(x＋2)＜3，∴x2＋2x－3＜0，即(x＋3)(x－1)＜0，解得－3＜x＜1，∴该不等式的解集是{x|－3＜x＜1}，故选B.答案：B2．[含参的一元二次不等式的解法]

解关于x的不等式－x2＋ax＋(a＋1)＞0(a∈R)．解：原不等式可化为x2－ax－(a＋1)＜0，即[x－(a＋1)](x＋1)＜0.当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；当a＋1＜－1，即a＜－2时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}；当a＋1＞

－1，即a＞－2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．综上所述：当a＝－2时，原不等式的解集为∅；a＜－2时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}；a＞－2时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．题型二三个“二次”之间对应关系的

应用[学透用活]三个“二次”之间的关系(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究．(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系

如下：[典例2]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集．[解]法一：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋

c＝0的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ca＝6.由a<0知c<0，bc＝－56，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋bcx＋ac>0，即x2－56x＋16>0，解得x<13或x>12，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为xx<13或x>12

.法二：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，所以ax2＋bx＋c＝a(x－2)(x－3)＝ax2－5ax＋6a⇒b＝－5a，c＝6a，故不等式cx2＋bx＋a<0，即6ax2－5ax＋a<0⇒x－13

x－12＞0，故原不等式的解集为xx<13或x>12.[方法技巧]一元二次不等式解集的端点值是相应的一元二次方程的根，据此，利用根与系数的关系可求得a，b，c的值，进而求解．也可以利用ca，ba的值整体代入，转化所求不

等式进行求解．[变式训练]1．[变结论]本例中条件不变，求关于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．解：由根与系数的关系知ba＝－5，ca＝6且a<0.∴c<0，bc＝－56，故不等式cx2－bx＋a>0，即x2－bcx＋ac<0，即x2

＋56x＋16<0.解得－12<x<－13，故原不等式的解集为x－12<x<－13.2．[变条件]若将本例的条件“关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}”变为“关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集是

x－13≤x≤2”．求不等式cx2＋bx＋a<0的解集．解：法一：由ax2＋bx＋c≥0的解集为x|－13≤x≤2知a＜0.又－13×2＝ca＜0，则c＞0.又－13，2为方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，∴－ba＝53，∴ba＝－53.又ca＝－23，∴b

＝－53a，c＝－23a，∴不等式变为－23ax2＋－53ax＋a＜0，即2ax2＋5ax－3a＞0.又∵a＜0，∴2x2＋5x－3＜0，解得－3＜x＜12，故所求不等式的解集为x|－3＜x＜12.法二：由已知得a＜0且－1

3＋2＝－ba，－13×2＝ca知c＞0，设方程cx2＋bx＋a＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－bc，x1·x2＝ac，其中ac＝1－13×2＝－32，－bc＝－baca＝－13＋2－13×2＝－52，∴x1＝1－13＝－3，x2＝

12.∴不等式cx2＋bx＋a＜0的解集为x－3＜x＜12.题型三不等式恒成立问题[学透用活][典例3]对于一切实数x，mx2－mx－1＜0恒成立，求m的取值范围．[解]要使mx2－mx－1＜0恒成立．若m＝0时，不等式化为－1

＜0，显然成立．若m≠0，则m＜0，Δ＝m2＋4m＜0，即－4＜m＜0.综上，m的取值范围为－4＜m≤0.[方法技巧]对于含参数的二次函数在闭区间上的函数值恒大(小)于或等于零的问题，可以利用函数的图象与性质

求解，也可以分离变量，转化为二次函数的最值问题求解．[变式训练]1．对于1≤x≤3，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．解：当1≤x≤3时，mx2－mx－1＜－m＋5恒成立，即当1≤x≤3时，m(x2－x＋1)－6＜0恒成立．∵x2－x＋1＝x－122＋

34＞0，∴m＜6x2－x＋1.∵当1≤x≤3时，6x2－x＋1＝6x－122＋34，x＝3时，其最小值为67，∴只需m＜67即可．综上所述，m的取值范围是m＜67.2．已知不等式x2＋2x＋a2－3＞0的解集

为R，求a的取值范围．解：法一：∵不等式x2＋2x＋a2－3＞0的解集为R，∴函数y＝x2＋2x＋a2－3的图象应在x轴上方，∴Δ＝4－4(a2－3)＜0，解得a＞2或a＜－2.法二：由x2＋2x＋a2－3＞0，得a2＞－x2－2x＋3，即a2＞－(x＋1)2

＋4，要使该不等式在R上恒成立，必须使a2大于－(x＋1)2＋4的最大值，即a2＞4，故a＞2或a＜－2.题型四一元二次不等式的实际应用[学透用活][典例4]某小区内有一个矩形花坛ABCD，现将这一矩形花坛拆建成一个更大的矩形花坛AMP

N，要求点B在AM上，点D在AN上，且对角线MN过点C，如图所示．已知AB＝3m，AD＝2m.要使矩形AMPN的面积大于32m2，则DN的长应在什么范围内？[解]设DN的长为x(x＞0)m，则AN的长为(x＋2)m.因为DNAN＝DCAM，所

以AM＝3(x＋2)x，所以S矩形AMPN＝AN·AM＝3(x＋2)2x.由S矩形AMPN＞32，得3(x＋2)2x＞32.又x＞0，得3x2－20x＋12＞0，解得0＜x＜23或x＞6，即DN的长的取值范

围是x|0＜x＜23或x＞6.[方法总结]解不等式应用题的步骤[变式训练]1．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)

时的最低产量是()A．100台B.120台C．150台D.180台解析：由条件知y－25x＝(3000＋20x－0.1x2)－25x＝－0.1x2－5x＋3000.若生产者不亏本，则需－0.1x2－5x＋3000≤0，即x2＋50x－30000≥0.∴(x＋200

)(x－150)≥0.解得x≥150或x≤－200(舍去)．∴最低产量为150台．答案：C2．某省每年损失耕地20万亩，每亩耕地价值24000元，为了减小耕地损失，决定按耕地价格的t%征收耕地占用税，这样每年的耕地损失可减少52t万亩，为了既减少耕地的损失又保证此项税收一年不少于9000万元

，则t的取值范围为________．解析：由题意可列不等式如下：20－52t·24000·t%≥9000⇔3≤t≤5.答案：3≤t≤5[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1．以下是小红同学对“要使不等式mx2＋mx＋m－2<0恒成立

，求m的取值范围”的解题过程．解：若使mx2＋mx＋m－2<0恒成立，则m＜0，且4m(m－2)－m24m＜0，解得m＜83，故m＜0.分析小红的解题过程，指出错误之处．提示：小红同学没有讨论m的取值．默认为是一元二次不等式，忽略了m＝0的情况．正解如

下：分两种情况：①当m≠0，mx2＋mx＋m－2＜0，则m＜0，且4m(m－2)－m24m＜0，解得m＜83，故m＜0；②当m＝0，变为－2<0，恒成立．∴m的取值范围是m≤0.二、应用性——强调学以致用2．

在一个限速40km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m.又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间

分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．[析题建模]抓住关键词限速40km/h―→借助关系式，列相应的不等式―→求出结果与40相比较，得出

结论解：由题意列出不等式S甲＝0.1x甲＋0.01x2甲>12，S乙＝0.05x乙＋0.005x2乙>10.分别求解，得x甲<－40或x甲>30，x乙<－50或x乙>40.由于x>0，从而得x甲>30km/h，x乙>40km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．三、创新性——

强调创新意识和创新思维3．对于实数x，规定[x]表示不大于x的最大整数，那么使不等式4[x]2－36[x]＋45＜0成立的x的取值范围是()A.x32＜x＜152B.{x|2≤x≤8}C．

{x|2≤x＜8}D.{x|2≤x≤7}解析：由4[x]2－36[x]＋45＜0，得32＜[x]＜152，又[x]表示不大于x的最大整数，所以2≤x＜8.故选C.答案：C谢谢观看