2.2 基本不等式(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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以下为本文档部分文字说明:

2.2基本不等式2.2基本不等式1.掌握基本不等式ab≤a+b2(a>0,b>0).2.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.3.通过基本不等式的推导,培养学生逻辑推理的核心素养.通过求解最值问题,培养学生数学运算的核心素养.知识点一基本不等式:ab≤a+b2(一

)教材梳理填空1.重要不等式如果a,b∈R,那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时,取“=”).2.基本不等式如果a>0,b>0,有ab≤a+b2,当且仅当_____时,等号成立.其中,a+b2叫做正数a,b的__________,ab叫做正数a,b的__________

.基本不等式表明:两个正数的算术平均数______它们的几何平均数.a=b算术平均数几何平均数不小于(二)基本知能小试1.判断正误(1)不等式a2+b2≥2ab与ab≤a+b2有相同的适用范围.()(2)若a>0,b>0,则ab

≤a+b2恒成立.()(3)当a,b同号时,ba+ab≥2.()答案:(1)×(2)×(3)√2.不等式(x-2y)+1x-2y≥2成立的前提条件为()A.x≥2yB.x>2yC.x≤2yD.x<2y解析:∵不等式成立的前提条件是各项均为正,∴x-2y>0,即x>

2y.故选B.答案:B知识点二基本不等式与最值(一)教材梳理填空1.已知x,y都是正数,则(1)如果积xy等于定值P(积为定值),那么当____时,和x+y有最小值2P.(2)如果和x+y等于定值S(和为定值),那么当____时,积xy有最大值14S2.x=yx=y2

.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,即:(1)一正:符合基本不等式a+b2≥ab成立的前提条件,a>0,b>0;(2)二定:化不等式的一边为定值;(3)三相等:必须存在取“=”号的条件,即“

=”号成立.以上三点缺一不可.(二)基本知能小试1.判断正误(1)当x>0时,1x+x的最小值为2.()(2)已知m>0,n>0,且mn=81,则m+n的最小值为18.()答案:(1)√(2)√2.下列不等式正确的

是()A.a+1a≥2B.(-a)+-1a≤-2C.a2+1a2≥2D.(-a)2+-1a2≤-2解析:∵a2>0,∴a2+1a2≥2成立.故选C.答案:C3.设x,y满足x+y=10,且x>0,y>0

,则xy的最大值是________.解析:∵xy≤x+y2(x>0,y>0),∴xy≤x+y22=1022=25.当且仅当x=y=5时等号成立,故xy的最大值为25.答案:25题型一利用基本不等式比较大小[学透用活][典例1]若0<

a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2ab,2ab,a2+b2中最大的是()A.a2+b2B.2abC.2abD.a+b[解析]法一:∵0<a<1,0<b<1,且a≠b,∴a2+b2>2ab,a+b>2ab,a>a2,b>b2

,∴a+b>a2+b2,故选D.法二:(特殊值法)取a=12,b=13,则a2+b2=1336,2ab=63,2ab=13,a+b=56,显然56最大,故选D.[答案]D[方法技巧]在利用基本不等式比较大小时,应创设应用基本不等式的条件,合理拆项或配凑,在拆项与配凑的过程中,首

先要考虑基本不等式使用的条件,其次要明确基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或者将“积式”转化为“和式”的功能.[变式训练]1.已知m=a+1a-2(a>2),n=4-b2(b≠0),则m,n之间的大小关系是()A.m>nB.m<nC.m=nD.不确定解析:因为a>2,

所以a-2>0.又因为m=a+1a-2=(a-2)+1a-2+2,所以m≥2(a-2)×1a-2+2=4.由b≠0得b2≠0,所以4-b2<4,即n<4.所以m>n.答案:A2.已知a>b>c,则(a-b)(b-c)与a-c2的

大小关系是________.解析:∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴(a-b)(b-c)≤a-b+b-c2=a-c2.当且仅当a-b=b-c,即2b=a+c时,等号成立.答案:(a-b)(b-c)≤a-c2题型二利用基本不等式

求最值[学透用活](1)利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的条件进行,若具备这些条件,可直接运用基本不等式,若不具备这些条件,则应进行适当地变形.(2)利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、

配凑、变形”等方法创设应用基本不等式的条件.具体可归纳为三句话:一不正,用其相反数,改变不等号方向;二不定,应凑出定和或定积;三不等,一般用函数的图象或性质.[典例2](1)已知x>2,求x+4x-2的最小值;(2)已知0<

x<12,求x(1-2x)的最大值;(3)已知x>0,y>0,且8x+1y=1,求x+2y的最小值.[解](1)∵x>2,∴x-2>0,∴x+4x-2=x-2+4x-2+2≥2(x-2)·4x-2+2=6.当且仅当x-2=4x-2即x=4时,等号成立.∴x+4x-2的最小值为6.(2)∵

0<x<12,∴1-2x>0,∴x(1-2x)=12·2x·(1-2x)≤122x+1-2x22=18,当且仅当2x=1-2x,即x=14时,等号成立,∴x(1-2x)的最大值为18.(3)∵x>0,y>

0,8x+1y=1,∴x+2y=(x+2y)·8x+1y=10+16yx+xy≥10+216yx·xy=18.当且仅当16yx=xy,8x+1y=1,解得x=12,y=3时等号成立.∴x+2y的最小值为18.[方法技巧]通过拼凑法利用基本

不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键,利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题:(1)拼凑的技巧,以整式为基础,注意利用系数的变化以及等式中常数的调整,做到等价变形.(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标.(3)

拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.[变式训练]1.[变条件]若把本例(1)中的条件“x>2”改为“x<2”,求x+4x-2的最大值.解:因为x<2,所以2-x>0,所以x+4x-2=-(2-x)+42-x+2≤-2(2-x)·42-x+2=-2,当且仅当2-x=4

2-x,得x=0或x=4(舍去),即x=0时,等号成立.故x+4x-2的最大值为-2.2.[变条件]把本例(3)中“8x+1y=1”改为“8x+1y=3”,其他条件不变,求x+2y的最小值.解:∵x>0,y>0,8x+1y=3,∴138x+1y=1.∴x+2y=13(x+2y)·8x+1

y=1310+16yx+xy≥1310+216yx·xy=6.当且仅当8x+1y=3,16yx=xy即x=4,y=1时,等式成立.∴x+2y的最小值为6.题型三利用基本不等式证明不等式[学透用活]利用基本不等式证明不等式时,首先要观察题中要证明的不等式的

形式,若不能直接使用基本不等式证明,则考虑对代数式进行拆项、变形、配凑等,使之达到能使用基本不等式的条件.若题目中还有已知条件,则首先观察已知条件和所证不等式之间的联系,当已知条件中含有1时,要注意1的代换.另外,解题中要注意等号能否取到.[典例3]已知a,b,c均为正数且a+b+c=1.求证

:1a+1b+1c≥9.[证明]法一:∵a,b,c均为正数,a+b+c=1,∴1a+1b+1c=a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc=3+ba+ab+ca+ac+cb+bc≥3+2+2+2=9,当且仅

当a=b=c=13时,等号成立.[典例3]已知a,b,c均为正数且a+b+c=1.求证:1a+1b+1c≥9.[证明]法二:∵a,b,c均为正数,a+b+c=1,∴1a+1b+1c=(a+b+c)1a+1b+1c=1+ba+ca+ab+1+cb+ac+bc+1=3+ba+ab+ca+ac+cb+

bc≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=13时,等号成立.[方法技巧]1.可利用基本不等式证明题目的类型所证不等式一端出现“和式”,而另一端出现“积式”,这便是应用基本不等式的“题眼”,可尝试用基本不等式证明.2.利用基本不等式证明不等式的注意点(1)多次使用基本不等式时,要注

意等号能否成立.(2)累加法是不等式证明中的一种常用方法,证明不等式时注意使用.(3)对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合,形成基本不等式模型,再使用.[变式训练]1.[无附加条件的不等式证明]已知a,b,

c>0,求证:a2b+b2c+c2a≥a+b+c.证明:∵a,b,c>0,∴利用基本不等式可得a2b+b≥2a,b2c+c≥2b,c2a+a≥2c,∴a2b+b2c+c2a+a+b+c≥2a+2b+2c,即a2b+b2c+c2a≥a+b+c,

当且仅当a=b=c时,等号成立.2.[有附加条件的不等式证明]已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1.求证:1a-11b-11c-1≥8.证明:因为a,b,c均为正数,a+b+c=1,所以1a-1=1-aa=b+ca≥2bca,同理1b-1≥2acb,1

c-1≥2abc.上述三个不等式两边均为正,分析相乘,得1a-11b-11c-1≥2bca·2acb·2abc=8.当且仅当a=b=c=13时,等号成立.题型四基本不等式的实际应用[学透用活][典例4]某建筑公司用8000万元购得一块空地,计划在该地块上建

筑一栋至少12层,每层4000平方米的楼房.经初步估计得知,如果将楼房建为x(x≥12)层,则每平方米的平均建筑费用为s=3000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少?注:平均综合费用=平均建筑

费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积[解]设楼房每平方米的平均综合费用为y元.依题意得y=s+8000×100004000x=50x+20000x+3000(x≥12,x∈N*).因为y=50x+20000x+3000≥2×50x·20000x

+3000=5000,当且仅当50x=20000x,即x=20时取等号,所以当x=20时,y取得最小值5000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为

5000元.[方法技巧]利用基本不等式解决实际问题的思路利用基本不等式解决应用问题的关键是构建模型,一般来说,都是通过相关的关系建立关系式,将实际问题转化为最大值或最小值问题,在解题过程中尽量向模型ax+bx≥2ab(a>0,b>0,x>0)上

靠拢.[提醒]注意使实际问题有意义的变量的取值范围.[变式训练]1.某种饮料分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价p+q2%,若p>q>0,则提价多的方案是()A.甲B.乙C.甲或乙D.无法确定解析:设

原价为1,则提价后的价格为方案甲:(1+p%)(1+q%),方案乙:1+p+q2%2,因为(1+p%)(1+q%)≤1+p%+1+q%2=1+p+q2%,且p>q>0,所以(1+p%)(1+q%)<1+p+q2%,即(1+p%)(1+q%)<1+p+q2%2,所以提价多的方案是乙.故选

B.答案:B2.某公司购买一批机器投入生产,据市场分析,每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位:万元)与机器运转时间x(单位:年)的关系为y=-x2+18x-25(x∈N*),则当每台机器运转_______

_年时,年平均利润最大,最大值是________万元.解析:每台机器运转x年的年平均利润为yx=18-x+25x,且x>0,故yx≤18-225=8,当且仅当x=5时等号成立,此时年平均利润最大,最大值为8万元.答案:58[课堂思维激活]一、综合性——强调融会贯通1.[好

题共享——选自苏教版新教材]甲、乙两同学分别解“设x≥1,求函数y=2x2+1的最小值”的过程如下:甲同学:y=2x2+1≥22x2·1=22x,又x≥1,所以22x≥22.从而y≥22x≥22,即y的最小值是22.乙同学:因为y=2x2+1在x≥1时的图象

随着x增大而逐渐上升,即y随x增大而增大,所以y的最小值是2×12+1=3.试判断谁错,错在何处?提示:甲错.甲直接利用基本不等式求最值,忽略了不等式成立的条件.当2x2+1≥22x2时,有2x2=1,此时x不在范围

内,故此题不能用均值不等式求解.乙正确.利用函数图象,由图象判断y的最小值.二、应用性——强调学以致用2.[好题共享——选自苏教版新教材]如图,一份印刷品的排版面积(矩形)为A,它的两边都留有宽为a的空白,顶部和底部都留有宽为b的空白.如何选择纸张的尺寸,

才能使纸的用量最少?[析题建模]理解题意―→把实际生活问题转化为数学问题――→数学建模构造关系式――→数学运算利用基本不等式求最值解:设纸张的面积为S,排版矩形的长和宽分别是x,y(x>0,y>0),则xy=A.S=(x+2a)(y+2b)=xy+2bx+2

ay+4ab≥xy+24abxy+4ab=A+4abA+4ab=(A+2ab)2.当且仅当2bx=2ay,即x=Aab,y=Aba时,S有最小值(A+2ab)2,此时纸张的长和宽分别为Aab+2a和Aba+2b.故当纸张的长和宽分别为Aab+2a

和Aba+2b时,纸张的用量最少.三、创新性——强调创新意识和创新思维3.阅读下列材料:对于两个正数a和b,我们有多种不同的方式来定义不同的平均值.利用加法,令a+b=x+x,可得x=a+b2,称a+

b2为a,b的算术平均值,这是因为我们可以在一条直线上顺次取三点A,B,C,使AB=a,BC=b,取A,C的中点O,则点O分别到A,C的距离OA,OC都是a+b2;利用乘法,令a·b=y·y,可得y=ab,称ab为a,b的几何平均值,这是因为我们可以作出一个

正方形,使其与长和宽分别为a,b的矩形面积相等,这个正方形的边长就是ab.其实还有其他的方式来定义a,b的平均值,如将a,b先取倒数为1a和1b,求其算术平均值为1a+1b2,再取倒数得21a+1b,即2aba+b,称2aba+b为a,b的调和平均值.由于它是根据变量的倒数计算得到,所以又称倒

数平均值.调和平均值可以用在相同距离但速度不同时,平均速度的计算:如一段路程,前半段时速60公里,后半段时速30公里(两段距离相等),则其平均速度为两者的调和平均值,时速40公里.如图所示,以线段AB为直径作圆O,在

线段AB上取点C使AC=a,CB=b,不妨设a≥b>0.过C作AB的垂线交圆于点D,连接DO,作CE⊥DO于点E.其中表示算术平均值的线段为OA和OB,表示几何平均值的线段是CD.(1)通过计算判断在线段OC,CE,DE中表示a,b

的调和平均值的线段是哪条?并由图直观比较a,b的调和平均值与几何平均值的大小;(2)类似地,对于三个正数a,b,c的算术平均数a+b+c3和几何平均数3abc,有不等关系:a+b+c3≥3abc成立,当且仅当a=b=c时取等号,请用此结论,求函数y=x2+2x(x>0)的最小值.解:(1)设AC=

a,BC=b,由△ACD∽△DCB得CD2=AC·BC,∴CD=ab.∵OB=a+b2,∴OC=a+b2-b=a-b2.由S△OCD=12OC·DC=12CE·OD,解得CE=OC·CDOD=(a-b)

aba+b,所以DE=CD2-CE2=2aba+b所以CD是a和b的几何平均值,ED是a和b的调和平均值.(2)因为x>0,所以y=x2+2x=x2+1x+1x≥33x2·1x·1x=3,当且仅当x=1时等号成立.故函数的最小值为3.谢谢观看

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