【文档说明】2.1 等式性质与不等式性质（课件）-2021-2022学年高一数学同步精品课件（新人教A版2019必修第一册）.pptx，共(37)页，969.028 KB，由飞向未来上传

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2.1等式性质与不等式性质第二章一元二次函数、方程和不等式2．1等式性质与不等式性质1．通过对比，理解等式和不等式的共性与差异．2．梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质．3．通过本节内容的学习，可以帮助学生理解不等关系，建立不等式，掌握比较大小的

方法，培养学生逻辑推理的核心素养．知识点一实数的大小比较的基本事实(一)教材梳理填空1．文字叙述如果a－b是____，那么a＞b；如果a－b_______，那么a＝b；如果a－b是____，那么a＜b，反之也对．2．符号表示a－b＞0⇔a___b；a－b

＝0⇔a___b；a－b＜0⇔a___b.正数等于0负数＞＝＜[思考]x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见，你能想个办法比较x2＋1与2x的大小关系吗？提示：作差：x2＋1－2x＝(x－1)2≥0，∴x2＋1≥2x.(二)基本知能小

试1．判断正误(1)任意两个实数都能比较大小．()(2)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.()(3)实数m不大于－2，用不等式表示为m≥－2.()(4)不等式a2＋b2≥2ab中的a，b可以是任意实数．()答案：(

1)√(2)×(3)×(4)√2．某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式组表示就是()A.x≥95，y≥380，z＞45B.x≥9

5，y>380，z≥45C.x>95，y>380，z＞45D.x≥95，y>380，z＞45答案：D知识点二等式性质与不等式性质(一)教材梳理填空1．等式性质等式有下面的基本性质：性

质1如果a＝b，那么b＝a；性质2如果a＝b，b＝c，那么a＝c；性质3如果a＝b，那么a±c＝b±c；性质4如果a＝b，那么ac＝bc；性质5如果a＝b，c≠0，那么ac＝bc.2．不等式性质性质别名性质内容注意1对称性

a＞b⇔______可逆2传递性a＞b，b＞c⇒_______不可逆3可加性a＞b⇔____________可逆4可乘性a＞b，c＞0⇒ac＞bcc的符号a＞b，c＜0⇒_________5同向可加性a＞b，c＞d⇒___

_________同向6同向同正可乘性a＞b＞0，c＞d＞0⇒________同向7可乘方性a＞b＞0⇒_______(n∈N，n≥2)同正b＜aa＞ca＋c＞b＋cac＜bca＋c＞b＋dac＞bdan＞bn(二)基本知能小试1．已知a＋b>0，b<0，那么a

，b，－a，－b的大小关系是()A．a>b>－b>－aB.a>－b>－a>bC．a>－b>b>－aD.a>b>－a>－b解析：法一：∵a＋b>0，∴a>－b，又b<0，∴a>0，且|a|>|b|，∴a>－b>b>－a.法二：(特

殊值法)设a＝3，b＝－2，则a>－b>b>－a.答案：C2．已知c＞a＞b＞0，则ac－a________bc－a.(填“＞”“＜”或“＝”)解析：因为c＞a，所以c－a＞0，又因为a＞b，所以ac－

a＞bc－a.答案：＞题型一用不等式(组)表示不等关系[学透用活]不等关系强调的是量与量之间的关系，可以用符号“＞”“＜”“≠”“≥”或“≤”表示；而不等式则是用来表示不等关系的式子，可用“a＞b”“a＜b”“a≠b”“a≥b”或“a≤b”等式子表示，不等关系是通过不等式来体现的．

[典例1]用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，要求菜园的面积不小于110m2，靠墙的一边长为xm．试用不等式表示其中的不等关系．[解]由于矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以0<

x≤18，这时菜园的另一条边长为30－x2＝15－x2m.因此菜园面积S＝x·15－x2.依题意有S≥110，即x15－x2≥110，故该题中的不等关系可用不等式表示为0<x≤18，x15－

x2≥110.[方法技巧]1．用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意，明确条件中的不等关系的个数；(2)适当设未知数表示变量；(3)用不等式表示每一个不等关系，并写成不等式组的形式．2．用不等式表示不等关系的注意点(1)利

用不等式表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可用，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．[变式训练]1．[变条件]本例中，若矩形的长、宽都不能超过11m，对

面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？解：因为矩形的另一边15－x2≤11，所以x≥8，又0＜x≤18且x≤11，所以8≤x≤11.[变式训练]2．[变条件]本例中，若要求x∈N，则x可以取哪些值？解：函数S＝x15－x2的对称轴方程为

x＝15，令S≥110，x∈N，经检验当x＝13,14,15,16,17时S≥110.题型二比较实数(式子)的大小[学透用活][典例2]已知x＞1，比较x3－1与2x2－2x的大小．[解]x3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝x2(x－1)－(x

2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34.∵x＞1，∴x－1＞0.又∵x－122＋34＞0，∴(x－1)x－122＋34＞0.即x3－1＞2x2－2x.[方法技巧]比较两个实数(代数式

)大小的步骤(1)作差：对要比较大小的两个实数(或式子)作差；(2)变形：对差进行变形；(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4)作出结论．[提醒]上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．在变形中，一般变得越彻底

，越有利于下一步的判断．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．[变式训练][变条件]将本例中“x＞1”改为“x∈R”，比较x3－1与2x2－2x的大小．解：x3－1－(2x2－2x)＝x3－x2

－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)x－122＋34.∵x－122＋34＞0，∴当x＞1时，x－1＞0.(x－1)x－122＋3

4＞0.当x＝1时，x－1＝0，(x－1)x－122＋34＝0.当x＜1时，x－1＜0，(x－1)x－122＋34＜0.综上可得，当x＞1时，x3－1＞2x2－2x.当x＝1时，x3－1＝2x2－2x.当x＜1时，

x3－1＜2x2－2x.题型三不等式性质的应用[学透用活][典例3](1)对于实数a，b，c，有下列说法：①若a＞b，则ac＜bc；②若ac2＞bc2，则a＞b；③若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2；其中正确的是________(填序号)．[解析](1)①中，c的正、负或是否为0未知

，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确．②中，由ac2＞bc2，知c≠0，故c2＞0，所以a＞b成立，故②正确．③中，a＜b，a＜0⇒a2＞ab，a＜b，b＜0⇒ab＞b2，所以a2＞ab＞b2，故③正确．故填②③.题型三不等式性质的应用[学透用活][典例3](

2)已知12＜a＜60,15＜b＜36，则a－b的取值范围为________，ab的取值范围为________．[解析](2)∵15＜b＜36，∴－36＜－b＜－15，又∵12＜a＜60，∴－24＜a－b＜45.∵15＜b＜36，∴136＜1b＜115.又∵12＜a＜60，∴13＜ab＜4.∴

a－b，ab的取值范围分别为－24＜a－b＜45，13＜ab＜4.题型三不等式性质的应用[学透用活][典例3](3)若c＞a＞b＞0，求证：ac－a＞bc－b.[解析](3)证明：因为a＞b＞0⇒－a＜－b⇒c－a＜c－b.因为c＞a

，所以c－a＞0，所以0＜c－a＜c－b.上式两边同乘1(c－a)(c－b)，得1c－a＞1c－b＞0.又因为a＞b＞0，所以ac－a＞bc－b.[方法技巧](1)利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点[方法技巧](2)利用不等式的性质来确定某个代数式的范

围是一类常见的综合问题，对于这类问题要注意：“同向不等式的两边才可以相加”，这种转化不是等价变形，当在解题过程中多次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围．解题时务必小心、谨慎，应先建立待求范围与已知范围的等量关系，最后通过不等关系的性质运算求得待求式的

范围．[变式训练]1．[判断不等式成立]已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是()A．ab>bcB.ac>bcC．ab>acD.a|b|>|b|c解析：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，所以ab>ac.答案：C2．[求代数式的取值范围]已知

－1＜x＜4,2＜y＜3.则x－y的取值范围为________；3x＋2y的取值范围为________．解析：因为－1＜x＜4,2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2.由－1＜x＜4,2＜y＜3，得－3＜3x＜12,4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜

18.答案：－4＜x－y＜21＜3x＋2y＜183．[证明不等式]已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：3ad＜3bc.证明：－ad－－bc＝－ac－(－bd)dc.∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，又∵a＞b＞0，∴－ac＞－bd＞0，即－ac－(－b

d)＞0，又cd＞0，∴－ac－(－bd)dc＞0，∴－ad－－bc＞0，∴－ad＞－bc＞0，∴3－ad＞3－bc，即－3ad＞－3bc，∴3ad＜3bc.一、综合性——强调融会贯通1．下列是某同学对“已知1≤a－b≤2,2≤a＋b

≤4，求4a－2b的取值范围”的解题过程．解：将已知条件中两式相加得32≤a≤3，由1≤a－b≤2得－2≤b－a≤－1与另一式相加得0≤b≤32，∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0，∴3≤4a－2b≤12.分析以上解题过程，你认为是否正确，

若不正确，请指出错在哪里？提示：不正确．条件中给出了a－b，a＋b的范围，由此所求a，b的范围并没有错，但是a，b是否能同时取最大值3和32就不一定，同样最小值也不一定同时取得，因此它们之间相互制约，所以所求范围扩大了．正解如下：令4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(

m＋n)a＋(n－m)b，则m＋n＝4，n－m＝－2，解得n＝1，m＝3.所以5≤4a－2b≤10.二、应用性——强调学以致用2．有一批货物成本为a元，如果本月初出售，可获利润100元；如果下月初出售，可获利润120元．若本月初出售后把本利投资某小商品，月

收益为2%；若下月初出售，则要付5元保管费，试问是本月初出售好，还是下月初出售好？并说明理由．[析题建模]读懂题意―→把文字语言转化为数学语言――→数学建模构造不等式――→数学运算根据条件求解解：若本月初出售，则在下月初可获利100＋(100＋a)×2%＝(102＋0.02a)(

元)；若下月初出售，则可获利120－5＝115(元)．∵0.02a＋102－115＝0.02a－13，∴当0.02a－13＞0，即a＞650时，本月初出售好；当a＝650时，本月初出售和下月初出售获利相同；当a＜650时，下月初出售好．三、创新性——强调创

新意识和创新思维3．若规定abcd＝ad－bc(a，b∈R，且a≠b)．已知E＝a－bba，F＝a－abb.学习了不等式性质知识以后，你能比较一下E与F

的大小关系吗？解：根据题意知，E＝a·a－(－b)·b＝a2＋b2，F＝ab－(－a)·b＝2ab，∴E－F＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2.∵a≠b.∴(a－b)2＞0.即E＞F.谢谢观看