2.1 等式性质与不等式性质(课件)-2021-2022学年高一数学同步精品课件(新人教A版2019必修第一册)

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以下为本文档部分文字说明:

2.1等式性质与不等式性质第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质1.通过对比,理解等式和不等式的共性与差异.2.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.3.通过本节内容的学习,可以帮助学生理解不等关系,建立不等式,掌握比较大小的方法,培养学生逻辑推理的核

心素养.知识点一实数的大小比较的基本事实(一)教材梳理填空1.文字叙述如果a-b是____,那么a>b;如果a-b_______,那么a=b;如果a-b是____,那么a<b,反之也对.2.符号表示a-b>0⇔a___b;

a-b=0⇔a___b;a-b<0⇔a___b.正数等于0负数>=<[思考]x2+1与2x两式都随x的变化而变化,其大小关系并不显而易见,你能想个办法比较x2+1与2x的大小关系吗?提示:作差:x2+1-2x=(x-1)2≥0,

∴x2+1≥2x.(二)基本知能小试1.判断正误(1)任意两个实数都能比较大小.()(2)a与b的差是非负实数,可表示为a-b>0.()(3)实数m不大于-2,用不等式表示为m≥-2.()(4)不等式a2+b2≥2ab中的a,b可以是任意实数.()答案:(1)√(2)×(3)×(4)√2

.某校对高一美术生划定录取分数线,专业成绩x不低于95分,文化课总分y高于380分,体育成绩z超过45分,用不等式组表示就是()A.x≥95,y≥380,z>45B.x≥95,y>

380,z≥45C.x>95,y>380,z>45D.x≥95,y>380,z>45答案:D知识点二等式性质与不等式性质(一)教材梳理填空1.等式性质等式有下面的基本性质:性质1如果a=b,那么b=a;性质2如果a=b,b=c,那么a=c;性质3如果a=b,那么

a±c=b±c;性质4如果a=b,那么ac=bc;性质5如果a=b,c≠0,那么ac=bc.2.不等式性质性质别名性质内容注意1对称性a>b⇔______可逆2传递性a>b,b>c⇒_______不可逆3可加性a>b⇔____________可逆4可乘

性a>b,c>0⇒ac>bcc的符号a>b,c<0⇒_________5同向可加性a>b,c>d⇒____________同向6同向同正可乘性a>b>0,c>d>0⇒________同向7可乘方性a>b>0⇒_______(n∈N,n≥2)同正b<aa>ca+c>b+cac<bca+

c>b+dac>bdan>bn(二)基本知能小试1.已知a+b>0,b<0,那么a,b,-a,-b的大小关系是()A.a>b>-b>-aB.a>-b>-a>bC.a>-b>b>-aD.a>b>-a>-b解析:法一:∵a+b>0,∴a>-b,又b<0,∴

a>0,且|a|>|b|,∴a>-b>b>-a.法二:(特殊值法)设a=3,b=-2,则a>-b>b>-a.答案:C2.已知c>a>b>0,则ac-a________bc-a.(填“>”“<”或“=”)解析:因为c>a,所以c-a>0,又因为a>b,所以ac-a>bc-a.答案:>题型一用不等

式(组)表示不等关系[学透用活]不等关系强调的是量与量之间的关系,可以用符号“>”“<”“≠”“≥”或“≤”表示;而不等式则是用来表示不等关系的式子,可用“a>b”“a<b”“a≠b”“a≥b”或“a

≤b”等式子表示,不等关系是通过不等式来体现的.[典例1]用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园,墙长18m,要求菜园的面积不小于110m2,靠墙的一边长为xm.试用不等式表示其中的不等关系.[解]由于

矩形菜园靠墙的一边长为xm,而墙长为18m,所以0<x≤18,这时菜园的另一条边长为30-x2=15-x2m.因此菜园面积S=x·15-x2.依题意有S≥110,即x15-x2≥110,故该题中的不等关系可用不等式表示为0<x≤1

8,x15-x2≥110.[方法技巧]1.用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意,明确条件中的不等关系的个数;(2)适当设未知数表示变量;(3)用不等式表示每一个不等关系,并写成不等式组的形式.2.用不

等式表示不等关系的注意点(1)利用不等式表示不等关系时,应注意必须是具有相同性质,可以比较大小的两个量才可用,没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示.(2)在用不等式表示实际问题时,一定要注意单位统一.[变式训练]

1.[变条件]本例中,若矩形的长、宽都不能超过11m,对面积没有要求,则x应满足的不等关系是什么?解:因为矩形的另一边15-x2≤11,所以x≥8,又0<x≤18且x≤11,所以8≤x≤11.[变式训练]2.[变条件]本例中,若要求

x∈N,则x可以取哪些值?解:函数S=x15-x2的对称轴方程为x=15,令S≥110,x∈N,经检验当x=13,14,15,16,17时S≥110.题型二比较实数(式子)的大小[学透用活][典例2]已知x>1,比较x3-1与2x2-2x的大小.[解]x3-1-(2x2-2x)=

x3-2x2+2x-1=x2(x-1)-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)x-122+34.∵x>1,∴x-1>0.又∵x-122+34>0,∴(x-1)x-122

+34>0.即x3-1>2x2-2x.[方法技巧]比较两个实数(代数式)大小的步骤(1)作差:对要比较大小的两个实数(或式子)作差;(2)变形:对差进行变形;(3)判断差的符号:结合变形的结果及题设条件判断差的符号;(4)作出结论.[提醒]上述步骤可概括为“三步一

结论”,这里的“判断符号”是目的,“变形”是关键.在变形中,一般变得越彻底,越有利于下一步的判断.其中变形的技巧较多,常见的有因式分解法、配方法、有理化法等.[变式训练][变条件]将本例中“x>1”改为“x∈R”,比较x3-1与2x2-2x的大小.解:x3-1-(2x2

-2x)=x3-x2-(x2-2x+1)=x2(x-1)-(x-1)2=(x-1)(x2-x+1)=(x-1)x-122+34.∵x-122+34>0,∴当x>1时,x-1>0.(x

-1)x-122+34>0.当x=1时,x-1=0,(x-1)x-122+34=0.当x<1时,x-1<0,(x-1)x-122+34<0.综上可得,当x>1时,x3-1>2x2-2x.

当x=1时,x3-1=2x2-2x.当x<1时,x3-1<2x2-2x.题型三不等式性质的应用[学透用活][典例3](1)对于实数a,b,c,有下列说法:①若a>b,则ac<bc;②若ac2>bc2,则a>b;③若a<b<0,则a2>ab>b2;其中正确的是____

____(填序号).[解析](1)①中,c的正、负或是否为0未知,因而判断ac与bc的大小缺乏依据,故①不正确.②中,由ac2>bc2,知c≠0,故c2>0,所以a>b成立,故②正确.③中,a<b,a<0⇒a2>ab,a<b,b<0⇒ab>b

2,所以a2>ab>b2,故③正确.故填②③.题型三不等式性质的应用[学透用活][典例3](2)已知12<a<60,15<b<36,则a-b的取值范围为________,ab的取值范围为________.[解析](2)∵15<b<36,∴-36<-b<-15

,又∵12<a<60,∴-24<a-b<45.∵15<b<36,∴136<1b<115.又∵12<a<60,∴13<ab<4.∴a-b,ab的取值范围分别为-24<a-b<45,13<ab<4.题型三不等式性质的应用[学透用活][典例3](3

)若c>a>b>0,求证:ac-a>bc-b.[解析](3)证明:因为a>b>0⇒-a<-b⇒c-a<c-b.因为c>a,所以c-a>0,所以0<c-a<c-b.上式两边同乘1(c-a)(c-b),得1c

-a>1c-b>0.又因为a>b>0,所以ac-a>bc-b.[方法技巧](1)利用不等式的性质证明简单不等式的实质及注意点[方法技巧](2)利用不等式的性质来确定某个代数式的范围是一类常见的综合问题,对于

这类问题要注意:“同向不等式的两边才可以相加”,这种转化不是等价变形,当在解题过程中多次使用这种转化时,就有可能扩大真实的取值范围.解题时务必小心、谨慎,应先建立待求范围与已知范围的等量关系,最后通过不等关系的性质运算求得待求式的范围.[变式训练]1.[判

断不等式成立]已知a>b>c,且a+b+c=0,则下列不等式恒成立的是()A.ab>bcB.ac>bcC.ab>acD.a|b|>|b|c解析:因为a>b>c,且a+b+c=0,所以a>0,c<0,所以

ab>ac.答案:C2.[求代数式的取值范围]已知-1<x<4,2<y<3.则x-y的取值范围为________;3x+2y的取值范围为________.解析:因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.由

-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18.答案:-4<x-y<21<3x+2y<183.[证明不等式]已知a>b>0,c<d<0,求证:3ad<3bc.证明:-ad--bc=-ac-(-bd)d

c.∵c<d<0,∴-c>-d>0,又∵a>b>0,∴-ac>-bd>0,即-ac-(-bd)>0,又cd>0,∴-ac-(-bd)dc>0,∴-ad--bc>0,∴-ad>-bc>0,∴3-ad>3-bc,即-3ad>-3bc,∴3ad<3bc.一、综合性——强调融会贯通1.下列是某同

学对“已知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,求4a-2b的取值范围”的解题过程.解:将已知条件中两式相加得32≤a≤3,由1≤a-b≤2得-2≤b-a≤-1与另一式相加得0≤b≤32,∴6≤4a≤12,-3≤-2b≤0,∴3≤4a-2b≤12.分析

以上解题过程,你认为是否正确,若不正确,请指出错在哪里?提示:不正确.条件中给出了a-b,a+b的范围,由此所求a,b的范围并没有错,但是a,b是否能同时取最大值3和32就不一定,同样最小值也不一定同时取得,因此它们之间相互制约,所以所求范围扩大了.正解如下:令4a-2b=m(a-b)+n(a+b

)=(m+n)a+(n-m)b,则m+n=4,n-m=-2,解得n=1,m=3.所以5≤4a-2b≤10.二、应用性——强调学以致用2.有一批货物成本为a元,如果本月初出售,可获利润100元;如果下月初出售,可获利润120元.若本月初出售后把本利投资某小商品,月收益为2%

;若下月初出售,则要付5元保管费,试问是本月初出售好,还是下月初出售好?并说明理由.[析题建模]读懂题意―→把文字语言转化为数学语言――→数学建模构造不等式――→数学运算根据条件求解解:若本月初出售,则在下月初可获利100+(100+a)×2%=(102+0.02a)(元);若下月初出售,则可

获利120-5=115(元).∵0.02a+102-115=0.02a-13,∴当0.02a-13>0,即a>650时,本月初出售好;当a=650时,本月初出售和下月初出售获利相同;当a<650时,下月初出售好.三、创新性——强调创新意识

和创新思维3.若规定abcd=ad-bc(a,b∈R,且a≠b).已知E=a-bba,F=a-abb.学习了不等式性质知识以后,你能比较一下E与F的大小关系吗?解:根据题意知,E=a·

a-(-b)·b=a2+b2,F=ab-(-a)·b=2ab,∴E-F=a2+b2-2ab=(a-b)2.∵a≠b.∴(a-b)2>0.即E>F.谢谢观看

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