【文档说明】宁夏银川市17校联考2021届高三下学期5月普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）（含答案）.doc，共(11)页，725.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题卷(银川17校联考)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．作答时，务必将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3．考试结束后

，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合2|20AxNxx，1012B，，，，则ABA．{0，1，2}B．

{1，2}C．{-1,0，1，2}D．{﹣1，0，1}2．欧拉公式cossiniei（e是自然对数的底数，i是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它

在复变函数论里占有非常重要的地位，当时，就有10ie，根据上述背景知识试判断ie3表示的复数在复平面对应的点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形

和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正

方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为A．1132B．1332C．516D．7164．已知等比数列na的各项均为正数，且4233,,5aaa成等差数列，则数列na的公比是A．12B．2C．13D．13或25．已知圆22

2:(4)(2)Cxyr截y轴所得的弦长为22，过点(0,4)且斜率为k的直线l与圆C交于,AB两点，若||22AB，则k的值为A．14B．14C．34D．346．下列正确命题的序号有①若随机变量100,XBp，且20EX，

则1152DX．②在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别为0.2，0.2，0.3，0.3，则A与BCD是互斥事件，也是对立事件．③一只袋内装有m个白球，nm个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出

了个白球，AAnmmnP32)()2(.④由一组样本数据11,xy，22,xy，,nnxy得到回归直线方程ybxa，那么直线ybxa至少经过11,xy，22,xy，,nnxy中的一个点．A．②③

B．①②C．③④D．①④7．已知实数x，y满足13xy，429xy，则A．31xB．21yC．2415xyD．12333xy8．已知()yfx为R上的的奇函数，(1)yfx为偶函数，若当[0,1]x，)(

log)(2axxf，则(2021)fA．2B．1C．1D．29．将函数()2sin23fxx的图象向左平移(02)个单位后得到的图象关于直线12x对称，则的最大值为A．116B．53πC．2312D．4310．圆台上、下

底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为A．60B．61C．62D．6311．设双曲线2222:1(0,0)xyCabab的左、右焦点分别为12,FF，过2F的直线

与双曲线的右支交于两点,AB，若1:3:4AFAB，且2F是AB的一个四等分点，则双曲线C的离心率是A．102B．52C．52D．512．平行于x轴的直线与函数ln,0,e,0,xxfxxx

的图像交于A，B两点，则线段AB长度的最小值为A．ee1-B．ee1C．eD．2e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知511axx的展开式中2x的系数为5，则a________.14．若O为ABC

所在平面内任意一点，且满足20BCOBOCOA，则ABC的形状为__________.（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）15．已知数列na满足2*12()222nna

aannN，数列2211nnlogaloga的前n项和为nS，则10S__________.16．如图，在33的方格中，移动规则如下：每行均可左右移动，每列均可上下移动，每次仅能对某一行或某一列进行

移动，其他行或列不变化．例如：若想移动成每行的数字相同，则最少需要移动次_________.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分)17．(12分)

某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周.已有两条互相垂直221213331的道路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B.现规划修建一条新路（由线段MP，PQ，

线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，PQ所对的圆心角为6.记∠PCA＝2（道路宽度均忽略不计）.（1）若512，求QN的长度；（2）求新路总长度的最小值.18．

（12分）2021年3月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫物资供不应求.某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品.质量检验员为了检测生产线上零件的质量情况，从生产线上随机抽取了50个零件进行测量，根据所测量的零

件质量（单位：克），得到如图的频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，求这50个零件质量的中位数（结果精确到0.01)；（2）若从这50个零件中质量位于70.5,72.5之外的零件中随机抽取2个，求这两个零件中恰好有1个是质量在72.5,73上的概率；（3）以各组数据的中间数值代表这

组数据的平均水平，以频率代表概率，已知这批零件有10000个，某采购商提出两种收购方案：A．所有零件均以50元/百克收购；B．质量位于71.0,72的零件以40元/个收购，其他零件以30元/个收购.请你通过计算为该厂选择收益最好的方案.19．

(12分)如图1，在直角梯形ABCD中，//ADBC，ABBC，BDCD，24BCAD.将ABD△沿BD折起，折起后点A的位置为点P，得到三棱锥PBCD如图2所示，平面PBD平面BCD，直线PC与平面PBD所成角

的正切值为2.（1）求线段PB的长度；（2）试判断在线段BD上是否存在点E，使二面角DPCE的平面角的余弦值为427？若存在，请确定其位置；若不存在，请说明理由.20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆2222:

1(0)xyCabab的焦距为4，且过点(2,2)．（1）求椭圆C的方程（2）设椭圆C的上顶点为B，右焦点为F，直线l与椭圆交于M、N两点，问是否存在直线l，使得F为BMN的垂心，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．2

1．(12分)已知函数2()1()fxaxlnxxaxaR在定义域内有两个不同的极值点．（1）求a的取值范围；（2）设两个极值点分别为1x，2x（1x<2x），证明：221212()()2fxfxxx．（二）选考题：共10分.请考生

在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2244(42xtttytt为参数，且0)t，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为co

s3sin10．（1）写出曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与x轴交点记为M，与曲线C交于P，Q两点，求11PMQM．23．[选修4-5：不等式选讲]已知cba,,是正实数，且12cba．（1）求cba111的最小值；（2）求证：6

1222cba．2021年银川多校联考数学(理科)参考答案一、选择题123456789101112CDDCDACCABAD二、填空题：15.13.-114.等腰三角形15.101116.317.【答案】（1）QN的长度为1千米（2）23+6【分析】（1）连接,,CBCNCM，通

过切线的几何性质，证得四边形BCQN是正方形，由此求得QN的长度.（2）用表示出线段MP，PQ，线段QN的长，由此求得新路总长度的表达式，利用基本不等式求得新路总长度的最小值.【详解】（1）连接CB，CN，CM，OM⊥ON，OM，ON，PM，Q

N均与圆C相切∴CB⊥ON，CA⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，∴CB⊥CA∵∠PCA＝256，∠PCQ＝6，∴∠QCB＝526622，此时四边形BCQN是正方形，∴QN＝CQ＝1，答：QN的长度为1千米；（2）∵∠PCA＝2

，可得∠MCP＝，∠NCQ＝23，则MP＝tan，PQ6，NQ＝2tantan2tan33tan()233tan11tantan3设新路长为()f，其中(6，2)，即3tan3∴tan33423()tantan63363tan1

3tan3f，34232tan23+33663tan3，当tan3时取“＝”，18.【答案】（1）中位数为71.47；（2）35；（3）

该厂选择方案B；答案见解析.【详解】（1）零件质量位于70.0,71.0的频率为0.080.20.50.14，零件质量位于70.0,71.5的频率为0.080.20.760.50.52，......2

分0.140.50.52，这50个零件质量的中位数位于区间71.0,71.5，设为x，则0.14710.760.5x，解得71.47x，故这50个零件质量的中位数为71.47..

.....4分（2）质量位于70.0,70.5的零件个数为500.080.52个，质量位于72.5,73.0的零件个数为500.120.53个，......6分故这两个零件中恰好有1个是质量在72.5,73上的概率为11232535

CCC.......8分（3）这组数据的平均数为0.0870.250.270.750.7671.250.6871.750.1672.250.1272.750.571.5，....9分方案A：收益为21000071.550103575

00元；......10分质量位于71.0,72的零件个数为100000.760.680.57200个，质量位于71.0,72之外的零件个数为1000072002800个，方案B：收益为720040280030372000

元.......11分357500372000，该厂选择方案B.......12分19.【答案】（1）2；（2）存在；E为DB的四等分点，且14DEDB.【详解】（1）因为平面PBD平面BCD，平面PBD平面

BCDBD又CD面BCD，CDBD所以CD面PBD，所以CP与面PBD所成角为CPD，又tan2CDCPDPD所以22CD，因为在直角梯形ABCD中，90BADBDC，ABDBCD所以ABDDCB△∽△所以ABADCDBD

，令ABa=那么22224aa，所以2a所以2AB，即2PB（2）以BD的中点O为坐标原点，OB为x轴，过点O平行于CD的直线为y轴，OP为z轴，建立如图空间直角坐标系，2,0,0B，2,22,0C，

2,0,0D，0,0,2P，设,0,022Emm2,0,2PB，,0,2PEm，2,22,2PC.设二面角DPCE的平面角为设平面PCE的一个法向量为,

,nxyz.则00nPEnPC，即2022220mxzxyz取22x，得22,2,2nmm.取面PCD的一个法向量2,0,2PB则222|||cos||cos,|||||5222mPBnPBnPBnmm，所以22

2422275222mmm化简整理得：22m或22m（舍去）当22m时，14DEDB所以E为DB的四等分点，且14DEDB20.【解析】（1）由已知可得，2222224421cababc..............

........................2分解得28a，24b，2c所以椭圆C的方程为22184xy．...............................................

................4分（2）由已知可得，(0,2)B，(2,0)F，1BFk，BFl，可设直线l的方程为yxm，代入椭圆方程整理，得2234280xmxm．..........

.....................................6分设1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，则1243mxx，212283mxx，BNMF，1212212yyxx

，即121211220yyxxyx．...............................................8分11yxm，22yxm，121212()()2()20xmxm

xxxmx，即212122(2)()20xxmxxmm．232160mm，83m或2m．...............................................10分由△222(4)12(28

)9680mmm，得212m．又2m时，直线l过B点，不合要求，83m，故存在直线8:3lyx满足题设条件．...............................................12分21．解：（1）由题意得，()f

x的定义域是(0,)，()2fxalnxx，令()2gxalnxx，函数()fx在定义域内有两个不同的极值点等价于()gx在(0,)上2个零点，2()2aaxgxxx，当0a„时，在(0,)

上，()0gx，()gx递减，不满足题意，当0a时，在(0,)2a上，()0gx，()gx递增，在(2a，)上，()0gx，()gx递减，要使()gx在(0,)上2个零点，只需()02ag，即02aalna，解得：2ae，故a的范

围是(2,)e；（2）由（1）可知，112alnxx，222alnxx，两式相减可得21212()xxaxlnx①，12()()fxfx221212()2xxaxx，要证明221212()()2fxfxxx，只需证明2222121212()22

xxaxxxx，即证明21122()xaxx，②，把①代入②整理得：22222122111()1xxxxlnxxx，令211xtx，即证明21lntt，令2()1htlntt，则

212()thtt，当1t时，()0ht，函数()ht在(1,)递减，故()hth（1）0，故21lntt，命题得证．22．解：（1）曲线C的参数方程为2244(42xtttytt为参数，且0)t，转换为直角坐标方程为24yx

．................3分直线l的极坐标方程为cos3sin10，转换为直角坐标方程为310xy．................5分（2）直线l与x轴交点记为M，即(1,0)，转换为参数方程为3110(110xttyt

为参数）与曲线C交于P，Q两点，................7分把直线的参数方程代入方程24yx．得到212401010tt，所以121210tt，1240tt，................9分则：21212(1210)16011140ttPM

QMtt．...........10分23.【解析】（1）∵a，b，c是正实数，且a+b+2c=1．所以（）（a+b+2c）.........2分，当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值为．............

...5分（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a2+b2+c2）≥（a+b+2c）2=1，.............7分即，当且仅当，即，时等号成立，............9分∴a2+b2+c2成立．...........10分