【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第九章 解析几何 第六节 抛物线 (含详解).ppt，共(39)页，612.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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第六节抛物线本节主要包括2个知识点：1.抛物线的定义及其应用；2.抛物线的标准方程及性质.突破点(一)抛物线的定义及其应用基础联通抓主干知识的“源”与“流”抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l

不经过点F)的__________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的_____，直线l叫做抛物线的_____.距离相等焦点准线考点贯通抓高考命题的“形”与“神”利用抛物线的定义求解距离问题[例1](1)(2017·赣州模拟)若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛

物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为()A．(0,0)B.12，1C．(1，2)D．(2,2)[解析]过M点作准线的垂线，垂足是N(图略)，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得

最小值，此时M(2,2)．[答案]D[解析](2)依题意，由点M向抛物线x2＝4y的准线l：y＝－1引垂线，垂足为M1(图略)，则有|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MM1|，结合图形可知|MA|＋|MM1|的最

小值等于圆心C(－1，5)到y＝－1的距离再减去圆C的半径，即等于6－1＝5，因此|MA|＋|MF|的最小值是5.(3)由题可知l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于|PF|

，则动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.[答案](2)5(3)2(2)已知M是抛物线x2＝4y上一点，F为其焦点，点A在圆C：(x＋1)2＋(y－5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值

是________．(3)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是________．焦点弦问题焦点弦的常用结论：以抛物线y2＝2px(p>0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，

A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论：(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2；(2)若直线AB的倾斜角为θ，则|AF|＝p1－cosθ，|BF|＝p1＋cosθ；(3)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2

θ(其中θ为直线AB的倾斜角)，抛物线的通径长为2p，通径是最短的焦点弦；(4)S△AOB＝p22sinθ(其中θ为直线AB的倾斜角)；(5)1|AF|＋1|BF|＝2p为定值；(6)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(7)

以AF(或BF)为直径的圆与y轴相切；(8)以A1B1为直径的圆与直线AB相切，切点为F，∠A1FB1＝90°；(9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线．[例2]已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(

x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．[解](1)由题意得直线AB的方程为y＝22·x

－p2，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝5p4.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝5p4＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.[解]由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1＝1，x2

＝4，于是y1＝－22，y2＝42，从而A(1，－22)，B(4,42)．设C(x3，y3)，则OC＝(x3，y3)＝OA＋λOB＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(4λ＋1,42λ－22)．又y23＝8x3，所以[22(2λ－1)]2＝8(

4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．[方法技巧]焦点弦问题的求解策略解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题

时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一](2016·广州一模)如果P1，P2，„，Pn是抛物线C：y2＝4x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，„，xn，F

是抛物线C的焦点，若x1＋x2＋„＋xn＝10，则|P1F|＋|P2F|＋„＋|PnF|＝()A．n＋10B．n＋20C．2n＋10D．2n＋20解析：由题意得，抛物线C：y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，由抛物线的定义，可知|P1F|

＝x1＋1，|P2F|＝x2＋1，„，|PnF|＝xn＋1，故|P1F|＋|P2F|＋„＋|PnF|＝x1＋x2＋„＋xn＋n＝n＋10，选A.答案：A2.[考点二]已知抛物线y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，过点F作直线l，自上而下顺次与上述两曲线交于点A，B，C，

D(如图所示)，则下列关于|AB|·|CD|的值的说法中，正确的是()A．等于1B．等于4C．最小值是1D．最大值是4解析：设直线l：x＝ty＋1，代入抛物线方程，得y2－4ty－4＝0.设A(x1，y1)，D(x2，y2)，根据抛

物线的定义知，|AF|＝x1＋1，|DF|＝x2＋1，故|AB|＝x1，|CD|＝x2，所以|AB|·|CD|＝x1x2＝y214·y224＝y1y2216.而y1y2＝－4，故|AB|·|CD|＝1.答案：A3.已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为3

2，则|AB|的最大值为()A．1B．2C．3D．4解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|，即|AB

|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.答案：D[考点一]4.[考点二]若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的

面积的最小值为________．解析：由题意得F(1,0)，直线AB的方程为y＝x－1.由y＝x－1，y2＝4x，得x2－6x＋1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝8.设P－y204，y0(y0≥0)，则点P

到直线AB的距离d＝y204＋y0＋12，∴△PAB的面积S＝12|AB|·d＝|y20＋4y0＋4|2＝y0＋222≥22，即△PAB的面积的最小值是22.答案：225.[考点二]设抛物线

y2＝2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.证明：设直线AB的方程为x＝my＋p2，代入y2＝2px，得y2－2pmy－p2＝0.由根与系数的关系，得yAyB＝－p2，即yB＝－p2

yA.∵BC∥x轴，且C在准线x＝－p2上，∴C－p2，yB.则kOC＝yB－p2＝2pyA＝yAxA＝kOA.∴直线AC经过原点O.突破点(二)抛物线的标准方程及性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”图形y2

＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)标准方程p的几何意义：焦点F到准线l的距离范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点坐标______－p2，00，p2____

_____准线方程x＝－p2_____________y＝p2离心率e＝1焦半径|PF|＝x0＋p2|PF|＝_________|PF|＝______|PF|＝－y0＋p2p2，00，－p2x＝p2y＝－p2－x

0＋p2y0＋p2考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求抛物线的标准方程1．定义法根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择．2．待定系数法(1)根据抛物线焦点是

在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程．(2)当焦点位置不确定时，有两种方法解决．一种是分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2p

x(p>0)两种情况求解．另一种是设成y2＝mx(m≠0)，若m>0，开口向右；若m<0，开口向左；若m有两个解，则抛物线的标准方程有两个．同理，焦点在y轴上的抛物线可以设成x2＝my(m≠0)．如果不确定焦点所在的坐标轴，应考

虑上述两种情况设方程．[例1]若抛物线的顶点在原点，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点，求抛物线的标准方程．[解]对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3，令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点坐

标可能为(0，－3)或(4,0)．当焦点坐标为(0，－3)时，设方程为x2＝－2py(p>0)，则p2＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点坐标为(4,0)时，设方程为y2＝2px(p>0)，

则p2＝4，所以p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.所以所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.抛物线的几何性质[例2](1)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为()A.12，0B．(

1,0)C.14，0D．(0,1)[解析]抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－p2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．[答案]B[解析]抛物线y2＝4mx的准线方程为x＝－1m，

椭圆x27＋y23＝1的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－1m＝－2，所以实数m＝12.[答案]12(2)若抛物线y2＝4mx的准线经过椭圆x27＋y23＝1的左焦点，则实数m的值为________．[方法技巧]涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点

、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．抛物线方程的实际应用抛物线的几何特性在实际中应用广泛，解决此类问题的关键是根据题意(一般是根据题中所给图形)建立适当的直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点

的坐标，从而求出抛物线方程，进而解决实际问题．[例3]一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高4.5m，此车能否通过隧道？说明理由．[解]建立如图所示的直

角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，则A(－3，－3)，B(3，－3)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，将B点坐标代入得9＝－2p·(－3)，所以p＝32.所以抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤

0)．因为车与箱共高4.5m，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5m.设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，则x20＝32，所以|x0|＝32＝62，所以2|x0|＝6<3，故此车不能通过隧道．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.[考点二]抛物线y＝2x2的焦点坐标是()A.

18，0B.12，0C.0，18D.0，12解析：抛物线的标准方程为x2＝12y，所以焦点坐标是0，18.答案：C2.[考点二]抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为()A．14B．－14C．4D．－4解析：由题意知抛物线的标准方程

为x2＝1ay，所以准线方程y＝－14a＝1，解得a＝－14.答案：B3．[考点一]设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x解

析：因为抛物线的准线方程为x＝－2，所以p2＝2，所以p＝4，所以抛物线的方程是y2＝8x.答案：B4．[考点一]以x轴为对称轴，原点为顶点的抛物线上的一点P(1，m)到焦点的距离为4，则抛物线的方程是()A．y＝4x2B．y＝12x2C．y2＝6xD．y2＝12x

解析：设抛物线的方程为y2＝2px，则由抛物线的定义知1＋p2＝4，即p＝6，所以抛物线方程为y2＝12x.答案：D5.抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，

B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________.解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，AB2＝33p，所以B±33p，－p2.又因为点B在双曲线上，故p233－p243＝1，解得p＝6(负值舍去)．答案：6[考点二

]6.[考点三]如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．解析：建立坐标系如图所示．则可设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．∵点(2，－2)在抛物线上，∴p＝1，即

抛物线方程为x2＝－2y.当y＝－3时，x＝±6.∴水位下降1米后，水面宽为26米．答案：26[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(2016·全国甲卷)设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝kx(k＞0)

与C交于点P，PF⊥x轴，则k＝()A.12B．1C.32D．2解析：∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲线y＝kx(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝kx(k＞0)，得k＝2.故选D.答案：D2．(2016·全国

乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝42，|DE|＝25，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8解析：设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.∵|AB|＝42，|DE|＝25

，抛物线的准线方程为x＝－p2，∴不妨设A4p，22，D－p2，5.∵点A4p，22，D－p2，5在圆x2＋y2＝r2上，∴16p2＋8＝r2，p24＋5＝r2，∴16p

2＋8＝p24＋5，∴p＝4(负值舍去)．∴C的焦点到准线的距离为4.答案：B3．(2015·新课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线C：y2＝8x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则|AB|＝()A．3B．6C．9D．12

解析：∵抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，∴椭圆中c＝2，又ca＝12，∴a＝4，b2＝a2－c2＝12，从而椭圆的方程为x216＋y212＝1.∵抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，∴xA＝xB＝－2，将xA＝－2代入椭圆方程可得

|yA|＝3，由图象的对称性可知|AB|＝2|yA|＝6.故选B.答案：B4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4FQ，则|QF|＝()A.72B.52C．3D．2解析：如图所

示，过点Q作QQ′⊥l交l于点Q′，设l与x轴交点为M，因为FP＝4FQ，所以|QQ′|∶|MF|＝|PQ|∶|PF|＝3∶4，又焦点F到准线l的距离|MF|＝4，所以|QF|＝|QQ′|＝3.故选C.答案：C5．(

2014·新课标全国卷Ⅱ)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A.334B.938C.6332D.94解析：易知抛物线中p＝32，焦点F34，0，直线AB的斜率k＝33，故直线AB的

方程为y＝33x－34，代入抛物线方程y2＝3x，整理得x2－212x＋916＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝212.由抛物线的定义可得弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝212

＋32＝12，结合图象可得O到直线AB的距离d＝p2·sin30°＝38，所以△OAB的面积S＝12|AB|·d＝94.答案：D