【文档说明】高考数学(理数)一轮复习课件：第九章 解析几何 第五节 双曲线 (含详解).ppt，共(52)页，742.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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第五节双曲线本节主要包括2个知识点：1.双曲线的定义和标准方程；2.双曲线的几何性质.突破点(一)双曲线的定义和标准方程基础联通抓主干知识的“源”与“流”1．双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2的____

_______________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.距离的差的绝对值焦点焦距(1)当时，P点的轨迹是双曲线；(2)

当时，P点的轨迹是两条射线；(3)当时，P点不存在．2．标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为__________(a>0，b>0)；(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为__________(a>0，b>0)．2a<|F1F2|2a=|F

1F2|2a>|F1F2|x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1考点贯通抓高考命题的“形”与“神”双曲线定义的应用[例1](1)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(

)A．2B．4C．6D．8(2)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3，0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________．[解析](1)由双曲线的方程得a＝1，c＝2，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2.在△PF1F2中，由

余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即(22)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝

22＋|PF1|·|PF2|.解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.[答案]B[解析]设动圆M的半径为R，则|MC|＝2＋R，|MA|＝R，∴|MC|－|MA|＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，∴b2＝8，则动圆圆心M的轨迹方程为x2－y2

8＝1(x≤－1)．[答案]x2－y28＝1(x≤－1)(2)已知圆C：(x－3)2＋y2＝4，定点A(－3，0)，则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为________．[方法技巧]双曲线定义的主要应用方面(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线

，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．双曲线的标准方程双曲线的标准

方程的求法1．定义法根据双曲线定义，确定a2，b2的值，再结合焦点位置，求出双曲线方程，常用的关系有：①c2＝a2＋b2；②双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.2．待定系数法(1)其一般步骤为：(2)待定系数法求双曲线方程的五种类型类型一与双曲线x2a

2－y2b2＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)类型二若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝bax或y＝－bax，则可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)类型三与双曲线x2a2－y2b2＝1共焦点的双曲线方程可设

为x2a2－k－y2b2＋k＝1(－b2<k<a2)类型四过两个已知点的双曲线的标准方程可设为x2m－y2n＝1(mn>0)或者x2m＋y2n＝1(mn<0)类型五与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2λ－b2＝1(b2<λ<a2)[例

2](1)过双曲线C：x2a2－y2b2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.x24－y212＝1B.x27－y29＝1C.x28－y28＝1D.x212

－y24＝1[解析]因为渐近线y＝bax与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且4－a2＋b2＝4，解得a＝2，b2＝12，因此双曲线的标准方程为x24－y212＝1.[答案]A[解析]法一：椭圆x24＋y2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设

双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2,1)，所以4a2－1b2＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是x22－y2＝1.(2)与椭圆x24＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是()A.x24－y2＝1B

.x22－y2＝1C.x23－y23＝1D．x2－y22＝1法二：设所求双曲线方程为x24－λ＋y21－λ＝1(1<λ<4)，将点P(2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为x22－y

2＝1.[答案]B[方法技巧]求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x轴上或y轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a，b，c的方程组，解出a2，b2，从而写出双曲

线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)．[方法技巧](2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一种是分类讨论，注意考虑要全面；另一种是如果已知中心在原点，但不能确定焦点的具体位置，可以

设双曲线的一般方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．能力练通抓应用体验的“得”与“失”1．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．42B．83C．24D．48解析：由||

PF1|－|PF2||＝2，3|PF1|＝4|PF2|，解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.又|F1F2|＝2c＝10，则由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝12|PF1|·

|PF2|＝24，故选C.答案：C[考点一]2.已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的标准方程为()A.x24－y23＝1B.x29－y216＝1C.x216－y29＝1D.x23－

y24＝1解析：∵e＝ca＝54，F2(5,0)，∴c＝5，a＝4，则b2＝c2－a2＝9，∴双曲线C的标准方程为x216－y29＝1.答案：C[考点二]3.(2016·天津高考)已知双曲线x24－y2b2＝1(b＞0)，

以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为()A.x24－3y24＝1B.x24－4y23＝1C.x24－y24＝1D.x24－y212＝1[考点二]解析：由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±b

2x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立x2＋y2＝4，y＝b2x，解得x＝44＋b2，y＝2b4＋b2或x＝－44＋b2，y＝－2b4＋b2，即圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点

为44＋b2，2b4＋b2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b2，故8×4b4＋b22＝2b，得b2＝12.故双曲线的方程为x24－y212＝1.故选D.答案：D4.[

考点一]已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.解析：由题可知a＝2，c＝2.∵由双曲线的定义有|PF1|－|PF2|＝|PF2|

＝2a＝22，∴|PF1|＝2|PF2|＝42，则cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝422＋222－422×42×22＝34.答案：34突破点(二)双曲线的几何

性质基础联通抓主干知识的“源”与“流”标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>

0)范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：______，对称中心：______顶点A1_________，A2_______A1______________，A2渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝_____，e∈(1，＋∞)a，b

，c的关系c2＝_______性质实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝___；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝___；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长坐标轴(0,0)(－a,0)(a,0)(0，－a)caa2

＋b22a2b(0，a)考点贯通抓高考命题的“形”与“神”双曲线的渐近线求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)或y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令x2a2－y2b2＝0，得y＝±bax；或令y2a

2－x2b2＝0，得y＝±abx.反之，已知渐近线方程为y＝±bax，可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝λ(a>0，b>0)．[例1](1)已知双曲线的渐近线方程为y＝±12x，且经过点A(2，－3)，则双曲线的标准方程为()

A.x28－y232＝1B.y28－x232＝1C.4x27－y27＝1D.x27－4y27＝1[解析]若焦点在x轴上，设所求双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，因为双曲线的渐近线方程为y＝±12x，所以ba＝12.①因为A(2，－3)在双曲线上，所以4a

2－9b2＝1.②①②联立，无解．若焦点在y轴上，设所求双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)，因为双曲线的渐近线方程为y＝±12x，所以ab＝12.③因为A(2，－3)在双曲线上

，所以9a2－4b2＝1.④③④联立，解得a2＝8，b2＝32.所以所求双曲线的标准方程为y28－x232＝1.[答案]B(2)过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切

点为A，B，双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±3xB．y＝±33xC．y＝±2xD．y＝±22x[解析]如图所示，连接OA，OB，设双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0

)的焦距为2c(c>0)，则C(－a,0)，F(－c,0)．由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝12∠ACB＝12×120°＝60°.因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.因为FA与圆O

切于点A，所以OA⊥FA，在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，所以b＝c2－a2＝2a2－a2＝3a，故双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为

y＝±bax，即y＝±3x.[答案]A双曲线的离心率1．求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或

不等式)求解．2．双曲线的形状与e的关系k＝ba＝c2－a2a＝c2a2－1＝e2－1，e越大，即渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从狭窄逐渐变得开阔．由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越开阔．[例2](1)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4

，－2)，则它的离心率为()A.6B.5C.62D.52[解析]设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，所以其渐近线方程为y＝±bax，因为点(4，－2)在渐近线上，所以ba＝12，根据c2＝a2＋b2，可得c2－a2a2＝14，解得e2＝5

4，即e＝52.[答案]D[解析]若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝b2a，|FE|＝a＋c，则b2a＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B.[答案]B(2

)已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1,2)C．(2,1＋2)D．(1,1＋2)[易错提

醒]求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围．求参数或变量的取值范围[例3]已知M(x0，y0)是双曲线C：x2

2－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若1MF·2MF<0，则y0的取值范围是()A.－33，33B.－36，36C.－223，223D.－233，233[解析]由题意知a＝2，b＝1，c＝3，∴F1(－3，0)

，F2(3，0)，∴1MF＝(－3－x0，－y0)，2MF＝(3－x0，－y0)．∵1MF·2MF<0，∴(－3－x0)(3－x0)＋y20<0，即x20－3＋y20<0.∵点M(x0，y0)在双曲线上，∴x2

02－y20＝1，即x20＝2＋2y20，∴2＋2y20－3＋y20<0，∴－33<y0<33.[答案]A能力练通抓应用体验的“得”与“失”1.双曲线x24－y2＝1的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为()A

.255B.455C.233D．1解析：双曲线x24－y2＝1的右顶点为(2,0)，渐近线方程为x±2y＝0，点(2,0)到x±2y＝0的距离d＝|2|1＋4＝255，故选A.答案：A[考点一]2．已知曲线x2

4＋y2b＝1，则当b∈[－4，－2]时，该曲线的离心率e的取值范围是()A．62，3B．[2，6]C．62，2D．[6，22]解析：当b∈[－4，－2]时，曲线为双曲线，即双曲线x24－y

2－b＝1，则c2＝4－b，离心率e＝ca＝4－b2∈62，2，故选C.答案：C[考点二]3.已知a>b>0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率

之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0B.2x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0[考点一]解析：椭圆C1的离心率为a2－b2a，双曲线C2的离心率为a2＋b2a，所以a2－b2a·a2＋b2a＝32，所以a4－b4＝34a4，即a4＝4b4，所以a＝2b，所以双曲线C

2的渐近线方程是y＝±12x，即x±2y＝0.答案：A4.在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2m－y2m2＋4＝1的离心率大于6，则m的取值范围为________．解析：由双曲线方程可得m>0，所以e＝m＋m2＋4m>6，解得m>4或m<1.由m>0，故可得m的取值范围为(0,1)∪(4，

＋∞)．答案：(0,1)∪(4，＋∞)[考点三]5.过双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．

解析：如图所示，不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba，又直线l过右焦点F(c,0)，则直线l的方程为y＝ba(x－c)．因为点P的横坐标为2a，代入双曲线方程得4a2a2－y2b2＝1，化简得y＝－3b或y＝3b(点P在x轴下方，舍去)，故点P的坐标为(2a，－3b)

，代入直线方程得－3b＝ba(2a－c)，化简可得离心率e＝ca＝2＋3.答案：2＋3[考点二][全国卷5年真题集中演练——明规律]1.(2016·全国甲卷)已知F1，F2是双曲线E：x2a2－y2b2＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝13，则E的离心率为()A

.2B.32C.3D．2解析：作出示意图，如图，离心率e＝ca＝2c2a＝|F1F2||MF2|－|MF1|，由正弦定理得e＝|F1F2||MF2|－|MF1|＝sin∠F1MF2sin∠MF1F2－sin∠MF2F1＝2231－13＝2.故选A.答案

：A2．(2016·全国乙卷)已知方程x2m2＋n－y23m2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，3)C．(0,3)D．(0，3)解析：由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又由该双曲线

两焦点间的距离为4，得m2＋n＋3m2－n＝4，即m2＝1，所以－1<n<3.答案：A3．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为()

A.5B．2C.3D.2解析：不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为2a，3a.∵M点在双曲线上

，∴4a2a2－3a2b2＝1，a＝b，∴c＝2a，e＝ca＝2.故选D.答案：D4．(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B．3C.3mD．3m解析：双曲线

C的标准方程为x23m－y23＝1(m>0)，其渐近线方程为y＝±33mx＝±mmx，即my＝±x，不妨选取右焦点F(3m＋3，0)到其中一条渐近线x－my＝0的距离求解，得d＝3m＋31＋m＝3.答案：A5．(2015·新课

标全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－y28＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,66)．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．解析：设双曲线的左焦点为F1，由双曲线方程x2－y28＝1可知，a＝1，

c＝3，故F(3，0)，F1(－3,0)．当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|－|PF1|＝2，所以|PF|＝|PF1|＋2，从而△APF的周长为|AP|＋|PF|＋|AF|＝|AP|＋|PF

1|＋2＋|AF|.因为|AF|＝32＋662＝15为定值，所以当(|AP|＋|PF1|)最小时，△APF的周长最小，由图象可知，此时点P在线段AF1与双曲线的交点处(如图所示)．由题意可知直线AF1的方程为y

＝26x＋66，由y＝26x＋66，x2－y28＝1，得y2＋66y－96＝0，解得y＝26或y＝－86(舍去)，所以S△APF＝S△AF1F－S△PF1F＝12×6×66－12×6×26＝126.答案：1266．(2015·新课标全国卷Ⅱ)已知双曲

线过点(4，3)，且渐近线方程为y＝±12x，则该双曲线的标准方程为________．解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±12x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．∵双曲线过点(4，3)，∴λ＝16－4×(3)2＝4，∴双曲线的标准方程为x24－y2＝1.答案：x24－y2

＝1