【文档说明】高考数学(文数)一轮复习习题 专题训练 最值、范围、存在性问题 (含解析).doc，共(5)页，72.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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升级增分训练最值、范围、存在性问题1．(2016²贵阳监测考试)已知椭圆C：y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为3－2．(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若在x轴上存在

一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．解：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有ca＝63，a－c＝3－2，解得a＝3，c＝2，∴b2＝1，故椭圆C的方程为y23＋x2＝1．(2)由已知可得，直线l的方程为y＝kx＋2，以AB为直径的圆与x轴有

公共点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB中点为M(x0，y0)，将直线l：y＝kx＋2代入y23＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，则Δ＝12k2－12＞0，x1＋x2＝－4k3＋k2，x1x2＝13＋k2．∴x0＝x

1＋x22＝－2k3＋k2，y0＝kx0＋2＝63＋k2，|AB|＝1＋k2²x1＋x22－4x1x2＝1＋k2²12k2－123＋k2＝23k4－13＋k2，∴Δ＝12k2－12＞0，63＋k2

≤12|AB|，解得k4≥13，即k≥413或k≤－413．故所求斜率的取值范围为(－∞，－413]∪[413，＋∞)．2．(2016²西安质检)如图所示，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于32，它的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点P(2，

3)，Q(2，－3)在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，当A，B运动时，满足∠APQ＝∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．解：(1)设椭圆C的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．∵椭圆的一个顶点恰好在抛物线x2＝8y的准线y＝－2上，∴－b＝－2，解得b＝2

．又ca＝32，a2＝b2＋c2，∴a＝4，c＝23．可得椭圆C的标准方程为x216＋y24＝1．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵∠APQ＝∠BPQ，则PA，PB的斜率互为相反数，可设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为－k，

直线PA的方程为：y－3＝k(x－2)，联立y－3＝kx－，x2＋4y2＝16，消去y，得(1＋4k2)x2＋8k(3－2k)x＋4(3－2k)2－16＝0，∴x1＋2＝8kk－31＋4k2．同理可得：x2＋2＝－8k－2k－31＋4k2＝8kk＋31＋4k2，∴x1＋x2＝16k

2－41＋4k2，x1－x2＝－163k1＋4k2，kAB＝y1－y2x1－x2＝kx1＋x2－4kx1－x2＝36．∴直线AB的斜率为定值36．3．(2016²贵阳期末)已知椭圆C的两个焦点是(0，－3)和(0，3)，并且经过点32，1，

抛物线E的顶点在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F．(1)求椭圆C和抛物线E的标准方程；(2)过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1，l2，l1交抛物线E于点A，B，l2交抛物线E于点G，H，求AG―→²HB―→的

最小值．解：(1)设椭圆C的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则由题意得c＝3，2a＝34＋＋32＋34＋－32＝4，∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，∴椭圆C的标准方程为y24＋x2＝1．∴右顶点F的坐标为(

1,0)．设抛物线E的标准方程为y2＝2px(p＞0)，∴p2＝1,2p＝4，∴抛物线E的标准方程为y2＝4x．(2)设l1的方程：y＝k(x－1)，l2的方程：y＝－1k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x3，y3)，H(x4，y4)．由y＝kx－，y2

＝4x消去y得：k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴Δ＝4k4＋16k2＋16－4k4＞0，x1＋x2＝2＋4k2，x1x2＝1．同理x3＋x4＝4k2＋2，x3x4＝1，∴AG―→²HB―→＝(AF―→＋FG―→)²(HF―→＋FB―→)＝AF―→²HF―→＋AF―→²FB

―→＋FG―→²HF―→＋FG―→²FB―→＝|AF|―→²|FB|―→＋|FG―→|²|HF|―→＝|x1＋1|²|x2＋1|＋|x3＋1|²|x4＋1|＝(x1x2＋x1＋x2＋1)＋(x3x4＋x3＋x4＋1)＝8＋4k2＋4

k2≥8＋24k2²4k2＝16，当且仅当4k2＝4k2，即k＝±1时，AG―→²HB―→有最小值16．4．已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为63，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x－2y＋6＝0相切．(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B为动直

线y＝k(x－2)(k≠0)与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点E，使得EA―→2＋EA―→²AB―→为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在，请说明理由．解：(1)由e＝63，得ca＝63，即c＝63a，①又以原点O为圆心，椭圆C的

长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，且该圆与直线2x－2y＋6＝0相切，所以a＝|6|22＋－22＝6，代入①得c＝2，所以b2＝a2－c2＝2，所以椭圆C的标准方程为x26＋y22＝1．(2)由x26＋y22＝1，y＝kx－，得(1＋3k2)x2－12

k2x＋12k2－6＝0．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝12k21＋3k2，x1x2＝12k2－61＋3k2．根据题意，假设x轴上存在定点E(m,0)，使得EA―→2＋EA―→²AB―→＝(EA―→＋AB―→)²EA―→＝EA―→²EB―→为

定值，则EA―→²EB―→＝(x1－m，y1)²(x2－m，y2)＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2－(2k2＋m)(x1＋x2)＋(4k2＋m2)＝m2－12m＋k2＋m2－1＋3k2，要使上式为定值，即与k无关，只需3m

2－12m＋10＝3(m2－6)，解得m＝73，此时，EA―→2＋EA―→²AB―→＝m2－6＝－59，所以在x轴上存在定点E73，0使得EA―→2＋EA―→²AB―→为定值，且定值为－59．