【文档说明】高考数学(文数)一轮复习课件 选修4-5 不等式选讲 第二节 不等式的证明(含详解).ppt，共(21)页，374.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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1．基本不等式定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥____当_____时，等号成立．定理2：如果a，b＞0，那么a＋b2≥____，当且仅当_____时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．第二节不等式的证明2aba＝ba

＝bab定理3：如果a，b，c∈R＋，那么a＋b＋c3≥______，当且仅当________时，等号成立．2．比较法(1)比差法的依据是：a－b＞0⇔_____.步骤是：“作差→_____→_____________”．变形是手段，变形的目的是判断差的符

号．(2)比商法：若B＞0，欲证______，只需证AB≥1.a＝b＝ca＞b变形判断差的符号A≥B3abc推理、论证成立要证的结论充分条件3．综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的___________而得出命

题_____．(2)分析法：从___________出发，逐步寻求使它成立的_________，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2

＋1，则s与t的大小关系是()A．s≥tB．s＞tC．s≤tD．s＜t[小题体验]解析：∵s－t＝b2－2b＋1＝(b－1)2≥0，∴s≥t．答案：A2．已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则1a＋1b的最小值为()A．1B．2C．4D．8解析：∵a，b∈

R＋，且a＋b＝2，∴(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab≥2＋2ba·ab＝4，∴1a＋1b≥4a＋b＝2，即1a＋1b的最小值为2(当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立)．故选B．答案：B1．在使用

作商比较法时易忽视说明分母的符号．2．在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的．在运用这些性质时，易忽视性质成立的前提条件．1．已知a>0，b>0，则aabb与(ab)2＋ab的大小关

系为________．解析：∵aabbab2＋ab＝ab2－ab，∴当a＝b时，ab2－ab＝1，当a>b>0时，ab>1，a－b2>0，∴ab2－ab>1，当b>a>0时，0<ab<1，a－b2<0，则ab2－ab>1，∴aabb≥

(ab)2＋ab．答案：aabb≥(ab)2＋ab[小题纠偏]2．已知a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝1，则1a＋1b＋1c的最小值为________．解析：把a＋b＋c＝1代入1a＋1b＋1c得a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ab＋ca

＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立．答案：9考点一比较法证明不等式[题组练透]1．求证：当x∈R时，1＋2x4≥2x3＋x2．证明：法一：(1＋2x4)－(

2x3＋x2)＝2x3(x－1)－(x＋1)(x－1)＝(x－1)(2x3－x－1)＝(x－1)(2x3－2x＋x－1)＝(x－1)[2x(x2－1)＋(x－1)]＝(x－1)2(2x2＋2x＋1)＝(x－1)2

2x＋122＋12≥0，所以1＋2x4≥2x3＋x2．法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，所以1＋2x4≥2x3＋

x2．2．已知a，b都是正实数，且a＋b＝2，求证：a2a＋1＋b2b＋1≥1．证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝2，∴a2a＋1＋b2b＋1－1＝a2b＋1＋b2a＋1－a＋1b＋1a＋1b＋1＝a2b

＋a2＋b2a＋b2－ab－a－b－1a＋1b＋1＝a2＋b2＋aba＋b－ab－a＋b－1a＋1b＋1＝a2＋b2＋2ab－ab－3a＋1b＋1＝a＋b2－3－aba＋1b＋1＝1－aba＋1b＋1．∵a＋b＝2≥2ab，∴ab≤1

．∴1－aba＋1b＋1≥0．∴a2a＋1＋b2b＋1≥1．[谨记通法]作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论．其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负．考

点二综合法证明不等式[典例引领](2016·贵阳监测)已知函数f(x)＝2|x＋1|＋|x－2|．(1)求f(x)的最小值m；(2)若a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝m，求证：b2a＋c2b＋a2c≥3．解：(1)当x＜－1时，f(x)＝－2(x

＋1)－(x－2)＝－3x∈(3，＋∞)；当－1≤x＜2时，f(x)＝2(x＋1)－(x－2)＝x＋4∈[3,6)；当x≥2时，f(x)＝2(x＋1)＋(x－2)＝3x∈[6，＋∞)．综上，f(x)的最小值m＝3．

(2)因为a，b，c均为正实数，且满足a＋b＋c＝3，所以b2a＋c2b＋a2c＋(a＋b＋c)＝b2a＋a＋c2b＋b＋a2c＋c≥2b2a·a＋c

2b·b＋a2c·c＝2(a＋b＋c)．(当且仅当a＝b＝c＝1时，取“＝”)所以b2a＋c2b＋a2c≥a＋b＋c，即b2a＋c2b＋a2c≥3．[由题悟法]综合法证明不等式的方法综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的

差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．[即时应用]已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：(1)1a＋1b＋1ab≥8；(2)1＋1a1＋1b≥9．证明：(1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，∴1

a＋1b＋1ab＝1a＋1b＋a＋bab＝21a＋1b＝2a＋ba＋a＋bb＝2ba＋ab＋4≥4ba·ab＋4＝8当且仅当a＝b＝12时，等号成立，∴1a＋1b＋1ab≥8．(2)∵1＋1a1＋1b＝1a＋1b＋1ab

＋1，由(1)知1a＋1b＋1ab≥8．∴1＋1a1＋1b≥9．考点三分析法证明不等式[典例引领](2016·福建毕业班质量检测)已知函数f(x)＝|x＋1|．(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；(2)

设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b)．解：(1)由题意，|x＋1|<|2x＋1|－1，①当x≤－1时，不等式可化为－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；②当－1＜x＜－12时，不等式可化为x＋1＜－

2x－2，解得x＜－1，此时不等式无解；③当x≥－12时，不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1．综上，M＝{x|x＜－1或x＞1}．(2)因为f(a)－f(－b)＝|a＋1|－|－b＋1|≤|a＋1－(－b＋1)|＝|a＋b|，所以，要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需证|ab＋1|

＞|a＋b|，即证|ab＋1|2＞|a＋b|2，即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证(a2－1)(b2－1)＞0．因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，所以(a2－1)(b2－1)＞0成立，所以原不等式成立．[由题悟法]1

．用分析法证“若A则B”这个命题的模式为了证明命题B为真，只需证明命题B1为真，从而有„只需证明命题B2为真，从而有„„„只需证明命题A为真，而已知A为真，故B必真．2．分析法的应用当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较

难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆．[即时应用]设x≥1，y≥1，求证x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy．证明：由于x≥1，y≥1，要证x＋y＋1xy≤1x＋1y＋xy，只需证xy

(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2．因为[y＋x＋(xy)2]－[xy(x＋y)＋1]＝[(xy)2－1]－[xy(x＋y)－(x＋y)]＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x

－1)(y－1)，因为x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．