【文档说明】精密机械随机控制.pptx，共(100)页，2.394 MB，由精品优选上传

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§5.1機器隨機動態§5.2線上狀態估測§5.3精準機電控制§5.4精準控制模擬R.J.ChangDepartmentofMechanicalEngineeringNCKU線性動態方程隨機響應：隨機響應分析包括時域與頻域法

；頻域法僅適用於穩態程序，故輸入程序必須為穩態，例如白噪音。而時域法可用於非穩態之輸入程序，例如擴延白噪音(Extendedwhitenoise)。擴延白噪音—噪音瞬間強度即為白噪音之強度，然其強度會隨時間而改

變，而其頻譜不存在。l頻域法1.SISO動態方程w(t)為穩態隨機程序，則0()()()()()()()txthtwdhtwdhwtdh(t)w(t)x(t)2.SISO穩態響應若x

(t)為弱穩態程序，則x(t)之自相關函數為121212()[()()]()()()(){()}()1()()2xxwwjxxxxxxjxxxxRExtxthhRddSRRedRSed

由功率頻譜密度函數和自相關函數關係得F則22()()1[()()]2()()1[()]2()()()()jxxxxjjwwjxxxxjjxxxxxxwwSRedeSHed

dSRedSededSSSH由以上二式之得而輸出狀態之均方221(0)[()]()()2xxwwRExtSHd值為例：已知w

(t)為高斯白噪音，求以下輸出之頻譜及自相關函數。222-1-1-1-12()()()11()(1)11(){()}10.50.5(){}{}{}111()0.5yywwyyyyyyyyyySSHSjRSRjjRe

解：輸出之頻譜－由得輸出之自相關函數－由得故FFFFw(t)Rww()()y(t)11s3.MIMO穩態響應若系統為二階動態方程組如下H()w(t),xx高斯白噪音21*2(),[()]0,[()()]()()[]()()()[]()

,[](),[]()TTjkjkjkjkjkjkMxCxKxwtEwtEwtwsQtsHjMjCKHQHExxdExxjdExxd其中則輸出狀態之頻譜為輸出狀態之協方差為

l時域法1.MIMO動態方程1101212121()()()()()(0){(),(),...,()}()[()]0[()()]()()nnnnssnTxtFtxtGtntxxxxtxtxtntEntEntntQttt其中，且：擴延高斯白噪音程序具有

特性2.MIMO系統之時域解0000000()(,)(,)()(),()(,)(,)()(,)(,)()()()()ttxxxxtttxtGdtdndttttttFtttttIxttPt其中稱為擴延維納程序為基本解矩陣滿足下式單位矩陣為高斯分佈，故

其解可由平均值與協方差完全確定。3.平均值之進展方程00000000[()](,)[()]()(,)()()(,)()()(,)()()()()()()()(0)xxxxxxxExtttExtttttttttFtttttFttxtFt

xtx即微分表示即平均值隨時間進展之關係式，即為原狀態方程不受零均值隨機作用之確定狀態方程的時間響應。狀態方程與起始條件()()()(0)xxxtFtt4.協方差之進展方程

0000()[(()())(()())]()()()(,)()(,)(,)()()()(,)()(TxxxxxTxxxxtTTtxxPtExttxttxttPtttPttttGQtGtdLeibnitzPt

由之解及之進展式使用萊布尼茲法則，對上式微分並合併各項可得)()()()()()()()TTxxxxFtPtPtFtGtQtGt5.隨機響應之進展方程協方差隨時間之關係式與平均值之進展方程獨立，故可以分開求解再疊加，此為線性方程之必然結果。x(tf

)x(tf)p(tf)ttx(t)tPxx(t)x(t)titfx(ti)p(ti)x(ti)titftitf0001121002()()(0),(0),(0)()[()()]()()(),(),01xxxxxxxxxwtxtPPPwtEwtwsQttsxtxtxxxxx

x例：為高斯分佈具協方差及零均值，為高斯擴延白噪音具；求之輸出響應。解：以狀態方程表示系統，設1200000()1020010()0221xxxxxxxxxxxxxwtxPPPPQtPP

由時域法得()故輸出為高斯密度函數，其均值響應可由線性方程式解出本例為零均值而協方差可由上式解出。擴延非白噪音之建模：若線性系統包含動態方程與量測方程，當

系統輸入為擴延非白噪音程序時，如何求解系統輸出。l狀態方程具有擴延非白噪音輸入整形濾波器高斯白噪音程序線性系統非白噪音程序需經設計之濾波器()()()()()()()()()()()xtFtxtGtntztHtxtvtntvt：高斯擴延非白噪音：高斯擴延白噪音設計整

形濾波器擴充狀態方程擴充輸出方程()()()()()()()()()ffffffxtFtxtGtwtntHtxtwt：高斯擴延白噪音()()()()()0()()0()()()fffffxtFtGtHtxtwtxtFtxtGt

()()()0()()fxtztHtvtxtl量測方程具有擴延非白噪音輸入設計整形濾波器擴充狀態方程整形濾波器之設計一般以頻譜因子分解法(Spe

ctralfactorization)設計得穩定極小相位之線性濾波器。()()()()()()()()()(),xtFtxtGtwtztHtxtntvtn其中是高斯擴延非白噪音()()0()()0(

)()0()()0()()()()()()()()fffffffxtFtxtGtwtxtFtxtGtwtxtztHtHtvtxt()()()()()()()()fffffffxtFtxtGtwtnt

Htxt例：設計以下之整形濾波器2222()()()2(){()}(){}1()2()()(1)22()()()(1)(1)2()1zzwwwwwwwzzzzwwwwwwSSHSRQSeSHSQQQHjHjspectralfactorizati

onjjQHss解：由和則即故為穩定且極小相位之濾波器FFH(s)高斯白噪音高斯非白噪音Rww()Qw()Rzz()e||連續系統

之離散表示及狀態進展：l系統離散化1.連續系統12211221()()()()()()()()()()()[()]0,[()()]()()[()]0,[()()]()()TTxtFtxtBtutGtwtztHtxtvtEwtEwtwtQtttE

vtEvtvtRttt其中2.離散系統1111111111111111()(,)()()()()()()()()()[()]0,[()()]()()[()]0,[()

()]()()iiiiiiidiidiidiTdidididiTdidididixtttxttuttwtztHtxtvtEwtEwtwtQttEvtEvtvtRtt

其中連續系統D/AD/AA/DA/DD/Au(t)z(t)x(t)z(ti)u(ti)x(ti)w(ti)v(ti)v(t)w(t)l離散系統參數1.非時變系統參數12202011111()...2!1...2!1...2!()()()()()iiFttFtFtFFt

diitdiieIFtFteBdIBtFBteGdIGtFGtQteQtedRtRt2.一階近似參數當系統之暫態變化，或者系統之緩慢時變遠小於取

樣時間t時，離散系統之參數可以下式近似計算。1111111111(,)()()()()()()()()()iiiiiiidiidiittIFtttBtttGttQtQttRtRtl離散系統狀態之進

展1.平均值進展方程2.協方差進展方程以上之平均值與協方差進展方程無任何相關；只要分別給定起始狀態之統計訊息即可個別或同時求解。111111()(,)()(,)()()()TTxxiiixxiiiidiiPtttPttttQtt111

()(,)()()()xiiixiiitttttut非線性動態方程隨機響應：非線性動態之隨機響應問題，本質上為一非封閉性(Non-closure)型之問題，即必須藉助物理或數學近似方能求解。以近似求解之結果

，常遭遇的兩個問題為：1.輸出響應解的精確性。2.系統強健穩定響應解之參數空間。常用解法－高斯封閉法(GaussianClosureMethod)非高斯封閉法(Non-GaussianClosureMetho

d)統計線性化法(StatisticalLinearizationMethod)最大熵法(MaximumEntropyMethod)資訊封閉法(InformationClosureMethod)濾波問題與歷史背景：l歷史背景卡曼濾波器之連續動態表示稱為卡曼-比西(Kalman-Bucy)

濾波器。高斯靜態數據最小方差處理維納濾波器穩態連續程序信號估測線性SISO模型卡曼濾波器非穩態離散數據動態方程之狀態估測線性MIMO狀態空間擴展卡曼濾波器非線性系統19491960197018thl濾波問題如何設計一濾

波器可以使信號與雜訊分離？l維納的貢獻維納將濾波問題視為統計信號估測問題，推導出一積分方程稱為維納-霍夫(Wiener-Hopf)方程，可解出穩態連續線性非時變濾波器。信號雜訊功率頻譜密度統計信號處理：

l一般問題敘述l問題類型ˆ(1),(2),...,();(|(1),(2),...,())zzzkxjzzzk已知求時序信號z(k)估測ˆ()xjkj1.預測問題(外插)時序信號z(k)估測ˆ()xjkj2.濾波問題時序時序信號z(k)估測ˆ()xjkj3.勻滑化問題

(內插)時序時序濾波問題之數學描述：l系統模型l起始條件l量測模型111d()()()()()()()[()]0()[()()]()nnnnrrnssTxtFtxtdtBtudttGtdtEttEdtdsQtdt為擴延維納程序，具統計特性

0000000[()],[(())(())]TExtxExtxxtxP和11()()()()[()]0()[()()]()()iiiimmnmiiTijiijztHtxtvtEvtvtEvtvtRttt為擴延高斯白噪音，具特性

卡曼濾波器之推導：l問題敘述如何結合所有可獲取的量測數據，以及事先已知之系統與量測元件之數據傳輸程序，以便得到最精準的系統狀態估測。l一般推導法貝斯(Bayesian)法－最完整、假設條件最少的機率理論推導

法。直交投影法－構建在希爾伯特(Hilbert)空間之幾何推導法，需掌握廣義投影幾何之運算。最小均方誤差法－推導簡單，但須事先假設估測器之模型結構，簡化問題為參數優化之代數推導。l數學推導1.連續系統之離散表示1111111()(,)()(

)()()()()[()][()]0()0()()()0()iiiiiiiiiiikkiikkxtttxtwtztHtxtvtEvtEwtwtQEwtvtkiRvt前一量測

點ti-1ti-1+ti+ti-ti量測後量測前目前量測點時序2.量測前之狀態偏差變量3.ti量測後得到的新資訊4.結合量測前的狀態與量測之更新資訊以估測新狀態5.結合量測後之狀態精度表示ˆ()()()()[()()][(()())(()())]iiiTii

iTiiiietxtxtPtEetetExtxtxtxt定義：量測誤差誤差協方差ˆ()()()iiiztHtxt更新資訊：()[()()][(()())(()())][()()]

()[()()]()()()TTiiiiiiiTiiiiiTiiiPtEetetExtxtxtxtIKtHtPtIKtHtKtRtKt()()()[()()()]iiiiiixtxtKtztHtxt6.參數優化求解K(ti)7.量測後之狀態精度計算8.

估測狀態與誤差進展1()()()()[()()()()]()iTTiiiiiiiiPtKtPtHtHtPtHtRtKt使之對角線元素和為最小，可導出稱為卡曼增益()()()()()()()iiiiiiiPtKtPtPtKtHtPt由與式可得11111111

1()(,)()()(,)()()()(,)()(,)()iiiiiiiiiTiiiiiiixtttxtetttetwtPtttPtttQt卡曼濾波器循環：前向投影111111ˆ()(,)()()(,)()(,)()ii

iiTiiiiiiixtttxtPtttPtttQt量測輸入z(ti)並更新狀態估測及協方差ˆ()()()[()()()]()()()()()iiiiiiiiiiixtxt

KtztHtxtPtPtKtHtPt輸入狀態演進之環境雜訊強度Q(ti-1)輸入量測狀態z(ti)輸入狀態量測之環境雜訊強度R(ti)輸入事先狀態及其精度估測11(),()iitPtx輸出估測狀態及其精度(),()iitPtx計算卡曼增益1()()()[()(

)()()]TTiiiiiiiKtPtHtHtPtHtRt例：估測常數值1111222000111122()()()()()[()]0,[()][()]2,[{()[()]}]0.5()()()[()()]()()()(()iiiiiiiiiiiiiiiixtxt

ztxtvtEvtEvtExtExtExtxtxtKtztxtPtKtPtPtPt且且卡曼濾波器為121)()iiPt模擬高斯白噪音vv0.9758,0.0

355誤差估測(初始猜測值(0)4)(a)(b)(c)(a).K0.01,(b).K0.05,(c).KKalmangain;ˆx%原始碼(forMATLAB6.5)%clear;clc;N=2001;T0=500;%Recordingtimel

engthtime=[0:T0/(N-1):T0]';%Timeseriesv_sd=1;%Standarddeviationofv(t)%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%系統方程%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%x=2.*ones(N,1);%Functionx(t)zero_e=0.*ones(N,1);v=normrnd(0,v_sd,N,1);%Gaussianwhitenoise,v(t)z=x+v;%Functionz(t)z_co

=cov(z);v_ba=mean(v);v_co=cov(v);%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%初始條件%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%x_heat1(1,1)=4;x_heat2(1,1)=4;x_heat3(1,1)=4;P

(1)=(x_heat1(1,1)-x(1)).^2;K1=0.01;K2=0.05;K3(1)=P(1)./(P(1)+v_sd.^2);%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%機率密度函數%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%wield=abs(max(v)-min(v));deta_w=0.4.*v_co.^0.5;nn=round(wield/deta_w);[p,w]=hist(v,nn);p=p./(N.*deta_w);%

續上頁%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%狀態估測%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fori=2:Nx_heat1(i,1)=x_heat1(i-1,1)+K1.*(z(i-1)-x_heat

1(i-1,1));x_heat2(i,1)=x_heat2(i-1,1)+K2.*(z(i-1)-x_heat2(i-1,1));x_heat3(i,1,1)=x_heat3(i-1,1)+K3(i-1).*(z(i-1)-x_heat3(i-1,1));P(i)

=(P(i-1).*v_sd.^2)./(P(i-1)+v_sd.^2);K3(i)=P(i)./(P(i)+v_sd.^2);end%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%誤差估測%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%e1=x_heat1-x;e2=x_heat2-x;e3=x_heat3-x;%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%圖形輸出%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%figure(1);subplot(2

11);plot(time,v);xlabel('Timeinsec');ylabel('v(t)');grid;subplot(212);plot(w,p);grid;legend('ProbabilityDensityF

unctionofv(t)',2);figure(2);subplot(311);plot(time,e1,time,zero_e,'r');legend('K=0.01',1);subplot(312);plot(time

,e2,time,zero_e,'r');legend('K=0.05',1);subplot(313);plot(time,e3,time,zero_e,'r');xlabel('Timeinsec');legend('K=Kalmangain',1);例：卡曼濾波器應用於兩

組統計數據合併之估測已知：兩組數據數據分佈求：合併兩組數據之最佳統計分佈估測222112/()xxxK解：卡曼增益221221121221222222211112121(),,,(),().xxx

xxxxxxxxxxxxxxKKxxKxx平均值估測即變異量估測即1/1/估測值x00.050.10.150.20.250.30.35p1p2p3x051015202530x1x

2x2x1x機率密度非線性系統估測器：l估測問題非線性系統方程線性量測方程目標函數0()(())(())()()(),()(0)()()[()()]()[()()]()TTwudxtfxtdtGxtdwtBtdutxtxwtutEdwtdwsQtdtEdutdutQtdt

及分別為零均值擴延維納程序，具強度：和()()()()()[()()]()TvdytHtxtdtdvtvtEdvtdvtQtdt為零均值擴延維納程序，具強度：0()0min[((

)())()(()())|()],()()[()|],TxtJExtxtRtxtxtYtttxtYtyttR為對稱正定矩陣。l最佳估測解Kolmogorov與Kushner方程

1()(()())(){()()()}()()()()()[()(()())|()][(()()())|()][(()())()(()())|()]TvTTTwdxtfxtxtdtKtdytHtxtdtKtPtHtQtPtExtfxtxtYtEfx

txtxtYtEGxtxtQtGxtxtYt1()()()()()()()().()[(()())(()())|()][()()|()].TTuvTTBtQtBtPtHtQtHtPtPtExtxtxtxtYtExtxtYt

此處(續)()()()(,1990)KtPtPtChang在以上最佳估測方程中，為估測器增益方程；為估測誤差擴延方程，然一般而言，無法直接封閉求解，必須藉助高斯或非高斯近似封閉法求得次最佳解。

擴延卡曼濾波器－估測狀態與誤差協方差方程必須同時求解。預求增益估測器－估測狀態與誤差協方差方程可獨立求解，故估測器增益可預先離線求得，再存表供線上即時估測狀態使用。系統範疇：隨機控制工程實驗理論模擬隨機動力工程設計控制科學系統結構設計物理實體實現最佳狀態估測最佳控制策略系統性能評

估隨機系統建模例：輸入控制信號切薄片速度系統洋芋片製造目的控制厚度雜訊含水量輸出厚度轉盤角度油門位置機器每分鐘轉速刀具位置輸入電壓模具尺寸、沖壓壓力金屬沖壓自動手臂切割機自動傳輸汽車汽車改變速度自動切換

齒輪改變方向控制尺寸調整距離調整尺寸路況、乘客數、胎壓齒輪零件齒輪工具、材料硬度移動速度金屬硬度、厚度路況、乘客數、胎壓尺寸移動距離尺寸切換齒輪速度迴轉半徑模具尺寸、射出壓力電鍍時間、電流金屬電鍍射出成形調整尺寸控制厚度塑膠類型元件瑕疵點電鍍厚度尺寸隨機控制

理論：l非適應控制1.最小預測誤差(MinimumPredictionError)控制最小變異量(MinimumVariance)控制隨模(ModelReference)控制2.性能與代價優化控制線性二次高斯(LinearQuadraticGaussian,LQG

)控制廣義預測控制(GeneralizedPredictionControl,GPC)3.其他控制非LQG控制協方差設定(CovarianceAssignment)控制最小熵(MinimumEntropy)控制l適應控制最小預測誤差適應控制最小變異量適應控制－例：自調控制(Self-Tu

ningControl)隨模適應控制適應極點設定(PoleAssignment)控制控制結構：外界與控制系統之交互作用將造成控制信號之干擾與控制系統之變異。精密機電控制系統中，干擾信號與變異行為需以隨機理論建模。控制器受控

機械響應指令交互作用l隨機調節器受控機械控制器變異變異干擾干擾機率分佈輸出設定值設定值未控制受控制l自調控制自調控制為Astrom及Wittenmark所提出之控制結構，目前在工業程序控制廠有廣泛的應用。

受控機械最小二次誤差參數估測最小變異量控制器u(t)y(t)ˆ()t參數l隨機最佳控制－僅含外在隨機干擾之控制控制器執行兩項獨立功能：1.更新p(x(i)|y(j),u*(j-1),j1,2,…,i).2.由狀態訊息x(i)決定最佳控制u*(i).控制

法則受控機械(狀態x)估測器u*yp(x|y,u*)l隨機適應次最佳控制－含狀態量測隨機外在干擾及系統內部變異。由於受控機械之系統參數不確定，若將系統參數視為新狀態以設計最佳控制器，則本適應控制會成為非線性控制系統；因此，最佳控制將極難達成！故一般採用次最佳控制設計。受控機械(狀態

x)估測受控程序模型估測器p(x|y,u,)控制法則uyˆ控制器穩定性：l不同收斂性之關係m次矩收斂(mthmean)均方收斂(meansquare)幾乎肯定收斂(almostsure)機率收斂(convergenceinprobability)分佈收斂(conve

rgenceindistribution)熵值收斂(entropyconvergence)l熵值收斂性與穩定性隨機動態系統的熵函數(Phillis,1982)定義一：隨機系統具有漸近熵穩定性(asympt

oticentropystability)若且唯若系統熵函數滿足定義二：隨機系統為有界漸近熵穩定性(boundedasymp-toticentropystability)若且唯若系統熵函數滿足下式：其中Hss是一有限的常數。()(,)ln(,)HtpXtpXtdXlim()tHt

lim()sstHtHLQG問題：lLQG結構特性高斯(G)二次式(Q)線性(L)QGLGLQ(-)ˆ()()CertaintyEquivalentuixi確定性等效僅為之確定函數。

()ˆ()(),()()|()Separableuiuxiuipxiyi可分離即僅為之均值函數與其協方差無關。()Closure二次矩封閉，即閉迴路之二次矩之演進，可由微分方程矩求解。l離散LQG問題之數學表示000110000()(,)()()()()

()..:[()],[()()],()iiiidiididiTxxxdixtttxtBtutGtwtICExtPExxwt線性系統方程為擴延高斯白噪音。()()()(),()iiiiiz

tHtxtvtvt線性系統量測方程其中為擴延高斯白噪音。111121(),[()()()()()()]21+()()()|()2,()[(),(),...,()].NTTiijjjjjjjiTNfNNj

fTjjJxttExtXtxtutUtutxtXtxtztXXUztztztztL二次代價函數及為半正定矩陣為正定矩陣；其中*()ˆ()()()ˆ()ijcjjjQGutLQGutGtx

txt問題即為求解使二次代價函數為最小之解。解為卡曼濾波輸出LQG控制結構時序延遲HBd受控機械x(t)w(ti-1)估測器時序延遲-HBdx(t)Keˆ-z量測系統v(ti-1)-Gc*u(ti)ˆx

LQG與LQR：1.控制系統具全狀態之訊息時，LQG的解即為LQR的解。2.控制系統之狀態訊息不完全時，LQG回授增益的解即為LQR之回授增益解，而回授狀態則由卡曼濾波器提供最佳之估測狀態。LQR(LinearQuadraticRegulator)問題：l離散系統之設計1()()

()()(),0,1,2,...,;kkkkkxtAtxtBtutkN線性系統方程為111(),()[()()()()()()]221()();2()()()()NTTkkiiiiiiikTNNTTiiTiiJxtutxtQtxtutRtut

xtSxtSSQtQtRtRt代價函數為與均是半正定矩陣其中為正定矩陣,000011()()()()()()22=,()TTrNNNNNNNrrJxtxtSxtxtPtxtttPtS首先定義其中及則~~~~~~~~~~~~~~~~11

,111111110*1,11,11()*1(),()()()()211()()()()()()22()min{(),()}.(NTNNNNNNNTTrNNNNNNNNNNNNutNJxtutxtQtxtutRtutxtPtxtJxtJxtutut

由最小化之必要條件及充分條件，可求得111101101111)[()()()()]()()()()()().TrNNNTrNNNNNRtBtPtBtBtPtAtxtFtxt*1

,111111111011111111()(){()()()()2[()()()]()[()()()]}1()()()().2TTNNNNNNNNTrNNNNNNTrNNNJxtxtQtFtRtFtA

tBtFtPtAtBtFtxtxtPtxt因此可求得*111()()().()[()()()()]()()().NkNkNkTrNkNkNkkNkTrNkkNk

utFtxtFtRtBtPtBtBtPtAt綜合以上可歸納得最佳控制律：其中迴授增益為*,101()()()();2(){[()()()]()[()()()]()()()()},().TrNkNNkNkkNkrT

rkNkNkNkkNkTNkNkNkNkNkNkrJxtxtPtxtPtAtBtFtPtAtBtFtQtFtRtFtPtS以及最佳控制的代價函數為其中最佳控制參數為以及l連續系統之設計0()()()()(),[,];fxtAtxtBt

utttt線性系統方程為011(),(),[()()()()()()]221()()2()()()()ftTTtTffTTTJxtuttxtQtxtutRtutdtxtSxtSSQtQtRtRt代價函數為與均是

半正定矩陣其中為正定矩陣****11(),(),,()()()()()()22(),[()()()](),(),.(TTxTxxHamiltonianxtutJtxtQtxtutRtutJxttAtxt

ButJxttJxttxxt首先由方程在此由最小化之必要條件及充分條件，可求得HH****1****1**),(),,()()()(),0.()()()()(),,11(),(),,.22xTxTxTTTTxxxxutJ

tRtutBtJxttututRtBtJxttxtutJtxQxJBRBJJAx即H**1****11(),022(),(),.TTTTtxxxtHamiltonJacobiBellmanJxttxQxJBRBJJAxJxttJxttt故

方程可寫成在此**1(),()()()211(),()()()()(),22().TTTffffffffJxttxtPtxtJxttxtSxtxtPtxtPtS若定義則邊界條件可改寫成~~~~~~~~~~~~~~~111

11022211()()[()][()].22""()()()()()()()TTTTTTTTHamiltonJacobiBellmanxPxxQxxPBRBPxxPAxPtAtPAPAPAPARiccatiequationPtQtPtBtRtBtPt故方程可改寫成

若則可得著名的()()()()0.TPtAtAtPt0*1()()()()()()()()()().ffTPtttttPtSutRtBtPtxtFtxt求解可由積分上式從到，再代入邊界條件.故最佳控制律為例：考慮一線性系

統，其系統方程為若代價函數為其中T10sec，試模擬最佳控制律之迴授增益F(t)與最佳控制參數P(t).12212()()()()2()()xtxtxtxtxtut22221120110()[()2()()].2TJxTxtxtutdt解：此為LQR問題；以

下圖說明，即r(t)=0！積分器A(t)B(t)F(t)r(t)u*(t)x(t)受控機械控制器10105010,,,,1.1210002()()0()()(){()()()()}.TTABSQRPtPtttPttPttPtQPtAAPtPtBRBPtt

當取樣時間時，成立!!離散化11(1)(){()()()()},2,3,...,.(),{(1),(2),...,(1)}.()(),TTTPkPkQPkAAPkPkBRBPktforkNPNSPNPNPF

kRBPkfo又邊界條件為因此可依序求得且回授增益1,2,...,1.rkN1112212212()()(),1,2,3,...,,()()()()(),1,2,3,...,1.PkPkPkforkNPkPkFkF

kFkforkN最後以上述演算法撰寫程式：最佳控制參數P(t)之模擬取樣時間,t0.02sec迴授增益F(t)之模擬取樣時間,t0.02sec%原始碼(forMATLAB6.5)%clear;clc;T0

=10;dt=0.02;N=10./0.02+1;time=[0:T0/(N-1):T0];A=[0,1;-1,-2];B=[0;1];S=[5,0;0,0];Q=[1,0;0,2];R=[1];P(:,

:,N)=[S(1,:);S(2,:)];fori=1:N-1k=N-i;P(:,:,k)=(Q+P(:,:,k+1)*A+A'*P(:,:,k+1)-P(:,:,k+1)*B*inv(R)*B'*P(:,:,k+1)).*dt;P(

:,:,k)=P(:,:,k)+P(:,:,k+1);F(k,:)=inv(R)*B'*P(:,:,k);endfori=1:NP11(i)=P(1,1,i);P12(i)=P(1,2,i);P22(i)=P

(2,2,i);endfigure(1)plot(time,P11,time,P12,time,P22),legend('P_1_1','P_1_2&P_2_1','P_2_2',2),xlabel('timeinsec'),grid;f

igure(2)plot(time(1:N-1),F(:,1),time(1:N-1),F(:,2)),legend('F_1','F_2',2),xlabel('timeinsec'),grid;LQG-H2-norm控制:l標準控制架構l控制器設計找出一個最佳的

K使得以下成本函數為最小lMatlab設計工具H2-norm控制器設計，使用h2lqg.mKPrndw321zzzzuyAugmentedPlantControllercontrolsignalmeasuredvariable0cTTLQGTc

QNxJExudtNRu全狀態訊息非線性連續系統控制：l系統模型l控制輸入0TTT0()((),)((),)()0()()()12wdXt

FXttdtGXttdWtutdtXtXEdWtdWtQtdtJEXtQtXtutRtutdt*()()(),limtutKtXtKKt假設為線性優化控制器,則次優化控制l閉回路控制系統l閉回路平穩態矩方程l平

穩態次優化控制的代價函數lHamiltonian函數()((),)()((),)()dXtFXttKXtdtGXttdWtTTT()()()()0wEFXKXXEXFXKXGXQGXTT0

TT00.50.5JEXQXuRudttrQKRKEXXdtTTTTTT0.5()()()().wtrQKRKEXXtrEFXKXXEXFXKXGXQ

GXHl由Hamiltonian函數最小化必要條件得以下三式102.KRKHTTTTTT0()()()()0.wEFXXEXFXKEXXEXXKG

XQGXHTTTTTTTTTTTTT10[(())][]2[][(())][][()()]0.[]wdQKRKFXXEXXdEXXdFXXKKdEXXdGXQGX

dEXXHl合併三式成一矩函數方程在不失一般性下，令拉葛蘭日乘法器矩陣為一對稱矩陣T，則l求解控制器增益由上式求解再代入增益方程可得次優化控制律，但求解過程一般必須藉助高斯或非高斯密度

假設。TT1TTTTT1[()][()]2[]2[][()()]0[]wdFXXdFXXQRdEXXdEXXdGXQGXdEXX精機隨機控制結構與模型：l受控機械與閉路結構l隨機動態模型控制器受控機械響應指令干擾:()((),,):((),,),:xthxttyg

xtt狀態方程式量測方程式隨機程序或隨機變數高速、高精度進給控制：•關鍵技術CNC技術伺服控制技術伺服放大器數位伺服器伺服馬達伺服馬達與驅動器結構震動抑制前饋伺服延遲補償非線性摩擦力補償交互耦合控制機械設計滾珠螺桿與導

軌分析熱變形抑制與補償高剛性進給系統高阻尼進給系統高速計算與通訊硬體高加插補路徑產生器前視加減速控制l系統分析建模摩擦力/餘隙/衝擊效應感測器控制器驅動器/放大器致動器機器環境雜訊指令誤差指令位置輸出負載干擾熱的雜訊有限位元誤差l誤差分析建模X-Y平台運動控制系統

誤差伺服控制機械傳動CNC技術加減速誤差GcodeBlock處理速度過慢單一進給率負載慣量熱變形摩擦力背隙切削力回授信號雜訊參數不確定性軸承摩擦導軌摩擦螺帽變形軸承變形環境干擾溫升改變參數類比元件飄移未考慮到之動態結構共振

頻率機械傳動誤差－1.滾珠導螺桿驅動的伺服增益受限於傳動系統的結構撓性(Compliance)或者結構共振頻率；反之線性馬達系統結構剛性較高。2.滾珠導螺桿具有背隙、摩擦力，以及滾珠滾動產生的震動噪音，運動平滑度也比線性馬達差。3.其他尚有摩擦力問題、預壓預拉問題、殘留應力問

題、剛性問題與結構共振問題…等。伺服控制誤差－1.元件誤差(包含伺服馬達本身特性、驅動器內部非線性特性補償不良、回授元件解析度與頻寬問題與控制器硬體等)。2.環境干擾誤差(包含負載慣量變動、接觸工件時的切削力與工作環境造成回授信號雜訊)。3.參數不確定性(包含系統建

模時未考慮到之動態、類比元件之老化造成參數飄移、溫升造成參數變動等)。CNC技術誤差－傳統的CNC數值控制機械，無法直接接受CAD系統所設計的自由曲面模具資料，只能以微小圓弧或直線逼近所設計的外形，因此有加工時間過長及加工精度不良…等缺點

。隨機動態方程模擬：1.透過密度函數演進方程－差分與擴散方程2.FPK方程之數值解－密度函數近似解3.直接數值積分與白噪音積分－蒙特卡羅法蒙特卡羅模擬法：l蒙特卡羅循環擬亂數產生器線性整型濾波器非線性轉移函數隨機動態系統更

新種子且重複執行均勻、寬廣的頻譜有限頻寬的頻譜設定密度分佈移除之趨勢I.C.MonteCarloRun統計分析起始種子+至少200個→200Runsti:{x(1),…,x(N)}i不同種子(See

d,i)titx(t)123l模擬方法1.隨機(變數)函數的模擬－產生,的統計與實現2.確定性問題的解答－狀態方程式與數值積分3.大量模擬問題的實現－蒙特卡羅模擬次數4.統計分析的結果－隨

機數值分析(平均值、變異量、值域、時域、頻域)核心技術：l擬亂數(PseudoRandomNumber)產生器乘積產生法xi+1=Axi(模數M)，起始種子x0即Axi除以模數再取其餘數，作為下一次亂數輸入值A與M之選取A=19971,M=220A=1366853

,M=231A=65539,M=230l非線性轉換將兩組(0,1)範圍獨立均勻分佈之隨機變數，轉換為兩組具零均值與單位變異量之獨立高斯分佈隨機變數。Box-Muller轉換函數1122122ln(1)cos(2)2ln(1)sin(2)yxxyxx非線性轉換函數p(x1)x

1p(x2)x2p(y1)y1p(y2)y2x1x2y1y2l線性整型濾波器例：已知y的自相關函數Ryy(t)=exp(-2|t|)0.5exp(-|t|)，設x為高斯白噪音，即Rxx(t)=(t)

.則H(s)Sxx()Rxx()Ryy()Syy()3().(1)(2)sHsssl連續隨機程序的離散化取樣時距,hwd(ti)wc(t)ttil連續與離散白噪音程序自相關函數－連續白噪音離散白噪音

功率頻譜密度－連續白噪音離散白噪音()()ccwwcRQ(1||),()0,dddwwQhhhR其他()ccwwcSQ242642221cos()()(...).224720ddddwwQQhhhhShh

等效離散白噪音強度－一階近似－當h<<1時QcQdh,上式亦為0時連續與離散之等效頻譜大小。亦可由-函數等效自相關函數的面積係求得，即3254(...).12360cdhhQQh0.5(2)cdQQh連續白噪音離散白噪音QcQcRxx()

Sxx()Qd-hhQdhl數值積分法則1.確定系統RK4(RungeKutta4th-order)00121324311234()(()),(),0.5()0.5()0.5()()2()2()()6mnnnnnn

ytfytytyyRYyYyhfYYyhfYYyhfYhyyfYfYfYfYh動態方程－數值計算－為數值計算之時距。2.隨機系統RK4動態方程－00()(),(),,()()()0.5()().mTStratonovi

chdyfydtgydwytyyRwtItogydyfygydtgydwy形式為維納程序.對應形式(續)Stratonovich形式之運算可使用一般微積分公式，而Ito形式則需使用高階修正式。0111(())(())()()(1)0

.50nNtiiiitiiiigydwgywtwtttStratonovichIto維納程序積分形式,形式,w(ti)t1t2t3t4tntt0數值計算－1441114411111121113121112()()()(),,,2()()33111()()

()()2326nninijjijjjjnnjjjjjjttijijjjnnnYyhafYJbgYyyhfYJgYJdwabYyYyhfYJgYYyhfYhfYJgYJgY可有不同的選取，例如以下法

則(續)當隨機系統僅受到外在隨機激擾時，使用確定系統之RK4法可得到精確的結果。4111131123411234111711()()()622[()3()3()3()]4[2()6()3()3()]4,:(0,1)nnnYyhfYJgYJgYhYyfYfYfYfYJ

gYgYgYgYJhggNl狀態/函數估測估測器：不偏的(Unbiased)一致性(Consistent)有效率的(Efficient)x122x11ˆ.1ˆ()1NiiNixixNxN例例：模擬直流馬達平台控制精準度l受控機械Js1

tks1RknkRkeTbTPvxkCMs1s1xvF*馬達轉子轉動慣量J2.9310-2(kg-m2)轉矩常數Kt0.82(N-m/A)反電動勢常數Ke0.82(V/rad/sec)電樞電感L5.2710-3(H)電樞電

阻R1.04(Ω)平台質量M48.8(Kg)平台黏滯摩擦係數C1.5104(N-s/m)滾珠導螺桿剛性Kn0.4110-6(N/m)滾珠導螺桿效率0.9滾珠導螺桿導程KR1.5910-3(m/rad)l蒙特卡羅模擬H∞與H2LQG控制器的輸出機率密度函數H2LQG控制器

與PID控制器之輸出精度比較-4-3-2-10123x10-8012345678x107ProbabilityofLQG&PIDerrorERRORLQGPID-3-2-1012300.050.10.150.20.250.30.350

.4ProbabilityoftwocontrollerHinfH2LQGl結果討論1.H∞控制器與H2控制器在系統輸出精度的表現有類似的效果。2.H2LQG控制器比PID控制器更能提高平台系統的定位精度。3.非線性對定位精度之效應還

未能完全模擬確認。