【文档说明】高考数学第一轮总复习经典实用-1-2简易逻辑学案课件.ppt，共(40)页，1.035 MB，由小橙橙上传

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2023/5/311●基础知识一、逻辑联结词1．逻辑联结词有或、且、非．2．不含逻辑联结词的命题叫做简单命题,由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题．3．复合命题的构成形式有p或q、p且q、非p.4．判断下表中复合命题的真假：①④⑥⑨⑪⑫为假，其余为真.2023/5/312000000p

q非pp或qp且q真真①②③真假④⑤⑥假真⑦⑧⑨假假⑩⑪⑫2023/5/313二、四种命题1．四种命题：一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用┑p和┑q分别表示p和q的否定．于是四种命题的形式为：原命题

：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若┑p则┑q；逆否命题：若┑q则┑p.2023/5/3142．四种命题的关系：2023/5/3153．原命题为真，它的逆命题不一定为真；原命题为真，它的否命题不一定为真；原命题为真，它的逆否命题一定为真．4．反证法欲证“若p则

q”为真命题，从否定其结论即“非q”出发，经过正确的逻辑推理导出矛盾，从而“非q”为假，即原命题为真，这样的方法称为反证法．2023/5/316三、充分必要条件1．若p⇒q，则p叫做q的充分条件；若q⇒p，则p叫

做q的必要条件；如果p⇔q，则p叫做q的充要条件．2．判断充要条件的方法：(1)定义法；(2)逆否法；(3)集合法．逆否法：若┑A⇒┑B,则A是B的必要条件，B是A的充分条件;若┑A⇒┑B且┑B/⇒┑A则A是B的必要非充分条件；

若┑A⇔┑B，则A与B互为充要条件；若┑A/⇒┑B且┑B/⇒┑A，则A既不是B的充分条件也不是B的必要条件．2023/5/317集合法：从集合观点看，建立命题p，q相应的集合．p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：若A⊆B

，则p是q的充分条件；若AB，则p是q的充分非必要条件；若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA，则p是q的必要非充分条件；若A＝B，则p是q的充要条件；若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是必要条件．2023/5/318示意图为下图．2023/5/

319●易错知识一、数学中的“或”与生活中的“或”混淆1．命题：方程x2－4＝0的解为x＝±2，使用的逻辑联结词为________．答案：“或”2023/5/3110二、已知命题p、q写出复合命题“p或q”，“p且q”一定注意所写命题要符合真值表

．2．下面写法对吗？它们与真值表相符吗？(1)p或q：方程(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或x＝2；(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．你知道应该怎样写吗？答案：不对，与真值表不相符．p或q：方程

(x－1)(x－2)＝0的根是x＝1或方程(x－1)(x－2)＝0的根为x＝2.p且q：四个角相等的四边形是正方形且四条边相等的四边形是正方形．2023/5/3111三、命题的否定与否命题的混淆3．存在一个实数x，使得x

2＋x＋1≤0的否定是________________________________；否命题是________________________________________________．答案：命题的否定是：“不存在实数x使得x2＋x＋1≤0”，即“对所有的实数x，

有x2＋x＋1>0”否命题是：“不存在实数x，使得x2＋x＋1>0”，即“对所有的实数x，有x2＋x＋1≤0”2023/5/31122023/5/31134．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p\”是()A.3∉AB.3∈∁UBC.3∉A∩BD.3∈(∁UA)∩

(∁UB)解题思路：由题意，非p：3∉A∪B，∴3∈∁U(A∪B)，即3∈(∁UA)∩(∁UB)．故选D.失分警示：∵U＝R，∴3∉A∪B，即3∈∁U(A∪B)．然后根据∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)即得结果．此题考查的是“非p\”命题的表达，不要与

否命题混淆，误区中易犯此错误．解题时一定要注意区分清楚．答案：D4．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p\”是()A.3∉AB.3∈∁UBC.3∉A∩BD.3∈(∁UA)∩(∁UB)解

题思路：由题意，非p：3∉A∪B，∴3∈∁U(A∪B)，即3∈(∁UA)∩(∁UB)．故选D.失分警示：∵U＝R，∴3∉A∪B，即3∈∁U(A∪B)．然后根据∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)即得结果．此题考查的是“非p\”命题的表达，不要与否命题混淆，误区中易犯此错误．解题时一定要注意区分清

楚．答案：D4．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p\”是()A.3∉AB.3∈∁UBC.3∉A∩BD.3∈(∁UA)∩(∁UB)解题思路：由题意，非p：3∉A∪B，∴3∈∁U(A∪B)，即3∈(∁UA)∩(∁UB)．故选D.失分警示：∵U＝R，∴3

∉A∪B，即3∈∁U(A∪B)．然后根据∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)即得结果．此题考查的是“非p\”命题的表达，不要与否命题混淆，误区中易犯此错误．解题时一定要注意区分清楚．答案：D4．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，

如果命题p：3∈A∪B，则命题“非p\”是()A.3∉AB.3∈∁UBC.3∉A∩BD.3∈(∁UA)∩(∁UB)解题思路：由题意，非p：3∉A∪B，∴3∈∁U(A∪B)，即3∈(∁UA)∩(∁UB)．故选D.失分警

示：∵U＝R，∴3∉A∪B，即3∈∁U(A∪B)．然后根据∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)即得结果．此题考查的是“非p\”命题的表达，不要与否命题混淆，误区中易犯此错误．解题时一定要注意区分清楚．答案：D四、判断充分必要条件时，因分不清命题的条件和结论而失误．5．若p：α＝β，q：tan

α＝tanβ，则p是q的____________________条件．答案：既不充分也不必要五、用反证法证明问题时，结论的反面不能一一列举出来．6．用反证法证题命题：“若整数系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理根，那么a、b、c中至少有一个是偶数”，

则应假设____________________________．答案：a、b、c都不是偶数2023/5/3114●回归教材1．命题“2010≥2009”()A．使用了逻辑联结词“或”B．使用了逻辑联结词“且”C．使用了逻辑联结词“非”D．是假命题解析

：“2010≥2009”是指“2010＞2009或2010＝2009”，故选A.答案：A2023/5/31152023/5/31162．(2009·江西，1)下列命题是真命题的为()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2解析：对于A，由

1x＝1y可得x＝y，因此A正确；对于B，由x2＝1不能确定x＝1，因此B不正确；对于C，由x＝y不能得出x＝y，因为x，y可能取负值，因此C不正确；对于D，由x＜y不能得出x2＜y2，如－3＜2，而(－3)2＞22，因此D不正确．综上所述，选A.

答案：A2．(2009·江西，1)下列命题是真命题的为()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2解析：对于A，由1x＝1y可得x＝y，因此A正确；对于B，由x2＝1不能确定x＝1，因此B不正确；对于C

，由x＝y不能得出x＝y，因为x，y可能取负值，因此C不正确；对于D，由x＜y不能得出x2＜y2，如－3＜2，而(－3)2＞22，因此D不正确．综上所述，选A.答案：A2．(2009·江西，1)下列命题是

真命题的为()A．若1x＝1y，则x＝yB．若x2＝1，则x＝1C．若x＝y，则x＝yD．若x＜y，则x2＜y2解析：对于A，由1x＝1y可得x＝y，因此A正确；对于B，由x2＝1不能确定x＝1，因此B不正确；对于C，

由x＝y不能得出x＝y，因为x，y可能取负值，因此C不正确；对于D，由x＜y不能得出x2＜y2，如－3＜2，而(－3)2＞22，因此D不正确．综上所述，选A.答案：A3．用反证法证明“若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0”时的假设应为()A．x＝1或x＝2B．x2－3x＋2＝0C

．x2－3x＋2≤0D．x2－3x＋2＞0解析：用反证法证明命题中的假设是原命题结论的否定，“x2－3x＋2≠0”的否定为“x2－3x＋2＝0”，故选B.答案：B2023/5/31174．(教材改编题)设集合P＝{x|－1≤x≤1}，Q＝{x|－2≤x≤1}．则“x∈P”是“x∈Q”

的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵PQ，∴“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件．答案：A2023/5/31185．(课本P42,11题改编)已知命题p：若a，b都是偶数，则a＋b是偶数．命题P的否命题为________

__________________．答案：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数2023/5/3119【例1】指出下列复合命题的形式及其构成，并判断复合命题的真假：(1)10≤10；(2)方程x2－6x＋1＝0没有实数根；(3)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形．[解析

](1)是“p或q”形式的复合命题，其中p：10＝10；q：10＜10，为真命题；也可认为是“非p”形式的复合命题，其中p：10＞10.(2)是“非p”形式的复合命题，其中p：方程x2－6x＋1＝0有实根，为假命题．2

023/5/31(3)是“p且q”形式的复合命题，其中p：有两个角为45°的三角形是等腰三角形；q：有两个角为45°的三角形是直角三角形，为真命题．[反思归纳]学习逻辑知识，要学会把复杂命题分拆成简单命题的组合，从而化归为对简单命题的判断，达到判定复合命题真假的结果，并会运用简单命题去构造新

的命题．2023/5/3121分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，并判断其真假．(1)p：3是9的约数，q：3是18的约数；(2)p：a∈{a，b，c}，q：{a}{

a，b，c}；(3)p：不等式x2＋2x＋2＞1的解集是R，q：不等式x2＋2x＋2≤1的解集为∅.解析：(1)p或q：3是9的约数或18的约数，为真命题．p且q：3是9的约数且是18的约数，为真命题．非p：3不是9的约数，为假命题．2

023/5/3122(2)p或q：a∈{a，b，c}或{a}{a，b，c}，为真命题.p且q：a∈{a，b，c}且{a}{a，b，c}，为真命题．非p：a∉{a，b，c}为假命题．(3)p或q：不等式x

2＋2x＋2＞1的解集为R或x2＋2x＋2≤1的解集为∅，为假命题．p且q：不等式x2＋2x＋2＞1的解集为R且x2＋2x＋2≤1的解集为∅，为假命题．非p：不等式x2＋2x＋2＞1的解集不是R，为真命题．2

023/5/3123【例2】判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．[命题意图]本题主要考查四种命题及其真假的判定.考查分析、推理的能力．[分析]先写出逆否命题，再判断真假或利用原命题与其逆否命题同真假的关

系等方法解决．[解答]解法1：写出逆否命题，再判断其真假.原命题：若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根，逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0，2023/5/3124判断如下：∵x2＋x－a＝0无实根，∴△＝1＋4a<0，∴a<－<0，∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0

”为真命题.解法2：利用命题之间的关系：原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)证明.∵a≥0，∴4a≥0，∴4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0的判别式△＝4a＋1>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真.又因原命题与其逆否命题等价，所以“

若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真.2023/5/3125142023/5/3126解法3：利用充要条件与集合的包含、相等关系．命题p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，∴p：A＝{a∈R|a≥0}，q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0有实根}＝

{a∈R|a≥－14}．即AB，∴“若p则q”为真，∴“若p则q”的逆否命题“若┑q则┑p”为真．∴若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根的逆否命题为真．2023/5/3127解法4：设p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，则

┑p：a<0，┑q：x2＋x－a＝0无实根，∴┑p：A＝{a∈R|a<0}，┑q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0无实根}＝a∈Ra<－14.∵BA，∴“若┑q则┑p”为真，即“若方程x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真．[总结评述]理

解“a<0”与“a<－14”的关系时易出现失误，实际上a<－14⇒a<0.但a<0不一定有a<－14.解法4：设p：a≥0，q：x2＋x－a＝0有实根，则┑p：a<0，┑q：x2＋x－a＝0无实根，∴┑p：A＝{

a∈R|a<0}，┑q：B＝{a∈R|方程x2＋x－a＝0无实根}＝a∈Ra<－14.∵BA，∴“若┑q则┑p”为真，即“若方程x2＋x－a＝0无实根，则a<0”为真．[总结评述]

理解“a<0”与“a<－14”的关系时易出现失误，实际上a<－14⇒a<0.但a<0不一定有a<－14.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：(1)若a＝b，则a2＝b2；(2)若x2＋y2＋2x

＋1＝0(x、y∈R)，则x＝－1且y＝0；(3)若△ABC≌△PQR，则S△ABC＝S△PQR.解析：(1)逆命题为：若a2＝b2，则a＝b,此命题为假；否命题为：若a≠b，则a2≠b2，此命题为假

；逆否命题为：若a2≠b2，则a≠b，此命题为真．2023/5/3128(2)逆命题为：若x＝－1且y＝0，则x2＋y2＋2x＋1＝0，此命题为真；否命题为：x2＋y2＋2x＋1≠0，则x≠－1或y≠0，此命题为真；逆否命题为：若x≠－1或y≠0(x、y∈R)，则x2＋y2＋2x＋1

≠0，此命题为真．(3)逆命题为：若S△ABC＝S△PQR，则△ABC≌△PQR，此命题为假；否命题为：若△ABC与△PQR不全等，则S△ABC≠S△PQR,此命题为假；逆否命题为：若S△ABC≠S△PQR，则△ABC与△

PQR不全等，此命题为真.2023/5/3129【例3】指出下列各组命题中，p是q的什么条件(在“充分而不要条件”、“必要而不充分”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△AB

C中，p：∠A＞∠B，q：BC＞AC；(2)对于实数x、y、p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)在△ABC中，p：sinA＞sinB，q：tanA＞tanB；(4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[解析

](1)在△ABC中，显然有∠A＞∠B⇔BC＞AC，∴p是q的充要条件．2023/5/3130(2)∵逆否命题：x＝2且y＝6⇒x＋y＝8，∴p是q的充分不必要条件．(3)取A＝120°，B＝30°，p⇒/q，又取A＝30°，B＝120°，q⇒/p，∴p是q的既不充分又不必要条件．(4)

∵p：x＝1且y＝2，q：x＝1或y＝2，∴p是q的充分不必要条件．[反思归纳](1)分析p是q的什么条件时，一定要结合命题p与q所涉及的知识，进而全面分析，严格按四种条件的结构和定义进行判断．(2)分析判断时，为了得出命题p与q的准确关系，有时需对命题p与q进行化简

，然后再分析．2023/5/3131(3)如果p，q满足：若p⇒q，则有┑q⇒┑p；若q⇒p，则┑p⇒┑q；若p⇔q，则┑p⇔┑q.(2009·陕西，7)“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充

分也不必要条件答案：C2023/5/3132解析：∵mx2＋ny2＝1表示焦点在y轴上的椭圆，有1n＞1m＞0⇔m＞n＞0，故选C.(2007·高考山东卷)下列各小题中，p是q的充要条件的是()①p：m＜－2或m＞6

；q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点．②p：＝1；q：y＝f(x)是偶函数．③p：cosα＝cosβ；q：tanα＝tanβ.④p：A∩B＝A;q：∁UB⊆∁UA.A．①②B．②③C．③④D．①④答案：D解析：①q：y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点⇔q：△＝m

2－4(m＋3)＞0⇔q：m＜－2或m＞6⇔p；2023/5/3133f(－x)f(x)【例4】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论．(2)写出

其逆否命题，并证明你的结论．[分析]2023/5/3134[解答](1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它是成立的．可用反证法证明它．假设a＋b<0，则a<－b，b<－a.∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则f(a)<f(－b)，f(b)<f

(－a)．∴f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，与条件矛盾．∴逆命题为真．(2)逆否命题是：若f(a)＋f(b)<f(－a)＋f(－b)，则a＋b<0.此命题为真命题．可证明原命题为真来证明它．∵a＋b≥0.①若a＋b>0，则a>－b，b>－a，由f(x)在(－∞

，＋∞)上递增，∴f(a)>f(－b)，且f(b)>f(－a)，因此f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．2023/5/3135②若a＋b＝0，则a＝－b，b＝－a，由函数的定义知f(a)＝f(－b)，且f(b)＝f(－a)，因此f(a)＋f(b)

＝f(－a)＋f(－b)．综上所述，若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．[总结评述]在本题(2)的证明过程中，既用到了函数的单调性，又用到了函数的定义．2023/5/3136求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、

c均为常数)至多有两个不等实数根．分析：含有“至少”、“至多”、“不存在”等词语的数学命题，常用反证法．证明：假设方程ax2＋bx＋c＝0至少有三个不等实数根分别为x1、x2、x3代入方程得2023/5/3137ax21＋bx1＋c＝0①ax22＋bx2＋c＝0②ax23

＋bx3＋c＝0③①－②，②－③得a(x21－x22)＋b(x1－x2)＝0a(x22－x23)＋b(x2－x3)＝0即a(x1＋x2)＋b＝0④a(x2＋x3)＋b＝0⑤2023/5/3138即a(x1＋x2)＋b＝0④a(x2＋x3

)＋b＝0⑤④－⑤得a(x1－x3)＝0∵a≠0，x1≠x3∴a(x1－x3)≠0，因此假设不成立．所以方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)至多有两个不等实根．1．否命题与命题的否定是两个易混的问题，要注意其区别，另外要掌握一些常见词的否定词．2．原

命题⇔它的逆否命题，(原命题的否命题⇔原命题的逆命题)因此，判断四种命题的真假时，可只判断其中的两个；当一个问题的真假不易判断时，可通过判断此命题的逆否命题解决问题．3．若p⇒q，则p是q的充分条件，同时q也是p的必要条件；若p⇔q，则p与q互为充

要条件，应理解充分条件、必要条件、充要条件的形式化定义，整理出命题的“条件”与“结论”，画出“⇒”图是解决“充分条件与必要条件”问题的一种好的方法，注意运用．对论证充要条件题要分清“充分性”与“必要性

”，然后分别作出相应的证明．但要判断两个涉及具体内容的命题p与q之间的关系，掌握涉及的具体数学知识是关键．2023/5/31392023/5/3140