【文档说明】人教版数学九年级上册专项培优练习十一《二次函数综合题专练》（含答案）.doc，共(17)页，257.500 KB，由MTyang资料小铺上传

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人教版数学九年级上册专项培优练习十一《二次函数综合题专练》1.如图，正方形ABCD边长为6，菱形EFGH的三个顶点E、G、H分别在正方形ABCD的边AB、CD、DA上，连接CF.(1)求证：∠HEA=∠CGF；(2)当AH=DG=2时，求证：菱形E

FGH为正方形；(3)设AH=x，DG=2x，△FCG的面积为y，试求y的最大值.2.如图，抛物线L：y=﹣(x﹣2)2+m2+2m与x轴交于A，B，直线y=kx﹣1与y轴交于E，与L的对称轴交于点F(n，3)，与L交于D，抛物线L的对称轴与L交于P.(

1)求k的值.(2)点P能否与点F关于x轴的对称点重合？若认为能，请求出m的值；若认为不能，说明理由.(3)小林研究了抛物线L的解析式后，得到了如下的结论：因为m可以取任意实数，所以点C可以在y轴上任意移动，即C点可以到达y轴的任何位置，你认为他说的有道理吗？说说你的

想法.(4)当抛物线L与直线y=kx﹣1有两个公共点时，直接写出适合条件的m的最大整数.3.如图，二次函数y=ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动

点，横坐标为x(2＜x＜6)，写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值．4.如图，抛物线y=x2﹣3x＋1.25与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点D是直线BC下方抛物线上一点，

过点D作y轴的平行线，与直线BC相交于点E.(1)求直线BC的解析式；(2)当线段DE的长度最大时，求点D的坐标.5.在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m

，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=﹣x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．6.已知抛物线C1：y=ax

2﹣4ax﹣5(a＞0).(1)当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；(2)①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2

的表达式；(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值.7.一次函数y=34x的图象如图所示，它与二次函数y=ax2﹣4ax＋c的图象交于A、B两点(其中点A在点B的左侧)，与这个二次函数图象的对称轴交于点C.(

1)求点C的坐标；(2)设二次函数图象的顶点为D.①若点D与点C关于x轴对称，且△ACD的面积等于3，求此二次函数的关系式；②若CD=AC，且△ACD的面积等于10，求此二次函数的关系式．8.如图，已知抛物线的顶

点为A(1，4)，抛物线与y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C、D两点.点P是x轴上的一个动点.(1)求此抛物线的解析式；(2)求C、D两点坐标及△BCD的面积；(3)若点P在x轴上方的抛物线上，满足2S△PCD=S△BCD，求点P的坐标.9.如图，

已知抛物线经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)点M是线段BC上的点(不与B，C重合)，过M作NM∥y轴交抛物线于N，若点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长；(3)在(2)的条件下，连接NB，NC，是否存在点m，使△BN

C的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．10.如图，已知抛物线y=x2＋bx与直线y=2x＋4交于A(a，8)，B两点，P是抛物线上A，B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E.(1)求抛物线的函数表达式.(

2)若C为AB的中点，求PC的长.(3)如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为(m，n)，请求出m，n之间的关系式.11.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2﹣4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧

)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)，若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的

取值范围.12.如图，抛物线y＝a(x－1)2＋c与x轴交于点A(1－3，0)和点B，将抛物线沿x轴向上翻折，顶点P落在点P′(1，3)处.(1)求原抛物线的函数表达式；(2)学校举行班徽设计比赛，九年级(5)班的小明在解答此题时顿生灵感：过点

P′作x轴的平行线交抛物线于C，D两点，将翻折后得到的新图象在直线CD以上的部分去掉，设计成一个“W”型的班徽，“5”的拼音开头字母为W，“W”图案似大鹏展翅，寓意深远；而且小明通过计算惊奇的发现这个“W”图案的高与宽(CD)的比非常接近黄金分割比5－12(约等于0

.618).请你计算这个“W”图案的高与宽的比到底是多少(参考数据：5≈2.236，6≈2.449，结果可保留根号).参考答案1.证明：(1)过F作FM⊥CD，垂足为M，连接GE，∵CD∥AB，∴∠AEG=∠MGE，∵GF∥HE，∴∠HEG=∠FGE，∴∠A

EH=∠FGM；(2)证明：在△HDG和△AEH中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D=∠A=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴HG=HE，在Rt△HDG和△AEH中，，∴Rt△HDG≌△AEH(HL)，∴∠DHG=∠AEH，∴∠DHG+∠AHE=90°∴∠GHE=90°，∴菱形EFGH为正方形

；(3)解：过F作FM⊥CD于M，在△AHE与△MFG中，，∴△AHE≌△MFG，∴MF=AH=x，∵DG=2x，∴CG=6﹣2x，∴y=12CG•FM=12•x•(6﹣2x)=﹣(x﹣32)2+94，∵a=﹣

1＜0，∴当x=32时，y最大=94.2.解：(1)抛物线L的对称轴是x=2，所以n=2，点F(2，3)，代入y=kx﹣1中，得3=2k﹣1，解得k=2；(2)不能，理由：点P的坐标为(2，m2+2m)，点F关于x轴的对称点F'的坐标是(2，﹣3)，若点P与点F'重合，则m

2+2m=﹣3，即：(m+1)2=﹣2.显然不可能；(3)没道理，因为，点C的纵坐标为yC=m2+2m﹣4=(m+1)2﹣5因为yC的最小值为﹣5，所以无论m取何值，点C都不能到达(0，﹣5)以下的位置.(4)直线y=kx﹣1的解析式为y=2x﹣1当﹣(x﹣2

)2+m2+2m=2x﹣1时，得x2﹣2x﹣(m2+2m﹣3)=0，△=22﹣4³1³(m2+2m﹣3)=﹣4[(m+1)2﹣5]当△≥0时，(m+1)2﹣5≥0，所以适合条件的m的最大整数值是1.3.解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入y=ax2＋bx，得

，解得：；(2)如图，过A作x轴的垂直，垂足为D(2，0)，连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，S△OAD=12OD•AD=12³2³4=4；S△ACD=12AD•CE=12³4³(x﹣2)=2x﹣4；S△BCD=12BD•CF=

12³4³(﹣12x2＋3x)=﹣x2＋6x，则S=S△OAD＋S△ACD＋S△BCD=4＋2x﹣4﹣x2＋6x=﹣x2＋8x，∴S关于x的函数表达式为S=﹣x2＋8x(2＜x＜6)，∵S=﹣x2＋8x=﹣(x﹣4)2＋16，∴当x=4时，四边形OACB的面积S有最大值，最

大值为16．4.解：(1)∵抛物线y=x2﹣3x＋54与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，∴令y=0，可得x=0.5或x=52，∴A点坐标为(0.5，0)，B点坐标为(52，0)；令x=0，则y=54，∴C点坐标为(0

，54).设直线BC的解析式为y=kx＋b，则有52k＋b=0，b=54，解得k=12，b=54.∴直线BC的解析式为y=﹣12x＋54；(2)设点D的横坐标为m，则坐标为(m，m2﹣3m＋54)，∴E点的坐标为(m，﹣12m＋54).设DE的长度为d.∵点D是直线BC下方抛物线上一点，

则d=(﹣12m＋54)﹣(m2﹣3m＋54)=﹣m2＋52m.∵a=﹣1＜0，∴当m=54时，d有最大值，d最大=2516，∴m2﹣3m＋54=(54)2﹣3³54＋54=﹣1516，∴点D的坐标为(54，﹣1516)5.解：(1)设此

抛物线的函数解析式为：y=ax2＋bx＋c(a≠0)，将A(﹣4，0)，B(0，﹣4)，C(2，0)三点代入函数解析式得：解得，所以此函数解析式为：y=12x2＋x﹣4；(2)∵M点的横坐标为m，且点M

在这条抛物线上，∴M点的坐标为：(m，12m2＋m﹣4)，∴S=S△AOM＋S△OBM﹣S△AOB=12³4³(﹣12m2﹣m＋4)＋12³4³(﹣m)﹣12³4³4=﹣m2﹣4m=﹣(m＋2)2＋4，∵﹣4＜m＜0，当m=﹣2

时，S有最大值为：S=﹣4＋8=4．答：m=﹣2时S有最大值S=4．(3)设P(x，12x2＋x﹣4)．当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ∥OB，且PQ=OB，∴Q的横坐标等于P的横坐标，又∵直线的解析式为y=﹣x，则Q

(x，﹣x)．由PQ=OB，得|﹣x﹣(12x2＋x﹣4)|=4，解得x=0，﹣4，﹣2±25．x=0不合题意，舍去．如图，当BO为对角线时，知A与P应该重合，OP=4．四边形PBQO为平行四边形则BQ=OP=4，Q横坐标为4，代入y=﹣x得出Q为(4，﹣4)．由此可得Q(﹣4，4)或

(﹣2＋25，2﹣25)或(﹣2﹣25，2＋25)或(4，﹣4)．6.解：(1)当a=1时，抛物线表达式为y=x2﹣4x﹣5=(x﹣2)2﹣9，∴对称轴为x=2，∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5

，∴抛物线与x轴的交点坐标为(﹣1，0)或(5，0)；(2)①抛物线C1表达式为y=ax2﹣4ax﹣5，整理，得y=ax(x﹣4)﹣5.∵当ax(x﹣4)=0时，y恒定为﹣5，∴抛物线C1一定经过两个定点(0，﹣5)，(4，﹣5).②这两个点连线为y=﹣5，将抛物线C1沿y

=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变，∴抛物线C2的表达式为y=﹣ax2＋4ax﹣5；(3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或﹣2.当y=2时，2=﹣4a＋8a﹣5，解得a=74；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a＋8a﹣5，解得a=34

.∴a=74或34.7.解：(1)y=ax2﹣4ax＋c=a(x﹣2)2﹣4a＋c，∴二次函数图象的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=34³2=32，∴C(2，32);(2)①∵点D与点C关于x轴对称，∴D(2，﹣32)，∴CD=

3，设A(m，34m)(m<2)，由S△ACD=3，得12³3³(2﹣m)=3，解得m=0，∴A(0，0)，由A(0，0)、D(2，﹣32)，得c=0，﹣4a＋c=﹣32，解得a=38，c=0，∴y=038x2﹣1.5

x；②如图，设A(m，34m)(m<2)，过点A作AE⊥CD于点E，则AE=2﹣m，CE=32﹣34m，AC=54(2﹣m)，∵CD=AC，∴CD=54(2﹣m)，由S△ACD=12³CD³AE=10得12³54(2﹣m)2=10，解得m=﹣2或m=6(舍去)，∴m

=﹣2，∴A(﹣2，﹣32)，CD=5，若a＞0，则点D在点C下方，∴D(2，﹣72)，由A(﹣2，﹣32)、D(2，﹣72)，得a=18，c=﹣3，∴y=18x2﹣12x﹣3.若a＜0，则点D在点C上方，∴D(2，132)，由A(﹣2，﹣32)，D(2，132)，得a=

﹣12，c=92，∴y=﹣12x2＋2x＋92.8.解：(1)∵抛物线的顶点为A(1，4)，∴设抛物线的解析式y=a(x﹣1)2＋4，把点B(0，3)代入得，a＋4=3，解得a=﹣1，∴抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；(2)由(1)知

，抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；令y=0，则0=﹣(x﹣1)2＋4，∴x=﹣1或x=3，∴C(﹣1，0)，D(3，0)；∴CD=4，∴S△BCD=12CD³|yB|=12³4³3=6；(3)由(2)知，S△BCD=12CD³|yB|=12

³4³3=6；CD=4，∵S△PCD=12S△BCD，∴S△PCD=12CD³|yP|=12³4³|yP|=3，∴|yP|=32，∵点P在x轴上方的抛物线上，∴yP＞0，∴yP=32，∵抛物线的解析式为y=﹣(x﹣1)2＋4；∴32=﹣(x﹣1)2＋4，∴x=1±102，∴P(1＋102，3

2)，或P(1﹣102，32).9.解：(1)y=﹣x2＋2x＋3(2)易求直线BC的解析式为y=﹣x＋3，∴M(m，﹣m＋3)，又∵MN⊥x轴，∴N(m，﹣m2＋2m＋3)，∴MN=(﹣m2＋2m＋3)﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m(0＜m＜3)(3)S△BNC=S△CMN＋S△MNB=12|

MN|²|OB|，∴当|MN|最大时，△BNC的面积最大，MN=﹣m2＋3m=﹣(m﹣32)2＋94，所以当m＝32时，△BNC的面积最大为154.10.解：(1)∵A(a，8)是抛物线和直线的交点，∴点A在直线上，∴8=2a＋4，解

得a=2.∴点A的坐标为(2，8).又∵点A在抛物线上，∴8=22＋2b，解得b=2.∴抛物线的函数表达式为y=x2＋2x.(2)联立抛物线和直线的函数表达式，得y＝x2＋2x，y＝2x＋4，解得x1＝2，y1＝8，x2＝－2，y2＝0

.∴点B的坐标为(－2，0).如图，过点A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点.当C为AB的中点时，OC为△ABQ的中位线，故点C在y轴上，OC=12AQ=4，∴点C的坐标为(0，4).又∵

PC∥x轴，∴点P的纵坐标为4.∵点P在抛物线上，∴4=x2＋2x，解得x1=－1－5，x2=5－1.∵点P在A，B之间的抛物线上，∴x=－1－5不合题意，舍去，∴点P的坐标为(5－1，4)，∴PC=5－1－0=5－1.(3)∵点D(m，

n)，且四边形PCDE为矩形，∴点C的横坐标为m，点E的纵坐标为n.∵点C，E都在直线y=2x＋4上，∴点C(m，2m＋4)，E(n－42，n).∵PC∥x轴，PE∥y轴，∴点P(n－42，2m+4).∵点P在抛物线上，∴2m＋4=(n－42)2＋2²n－42

，整理可得n2－4n－8m－16=0，即m，n之间的关系式为n2－4n－8m－16=0.11.解：(1)由y=x2﹣4x＋3得到y=(x﹣3)(x﹣1)，C(0，3)，∴A(1，0)，B(3，0).设直线BC的表达式

为y=kx＋b(k≠0)，则b=3，3k＋b=0，解得k=﹣1，b=3.∴直线BC的表达式为y=﹣x＋3；(2)由y=x2﹣4x＋3得到y=(x﹣2)2﹣1，∴抛物线y=x2﹣4x＋3的对称轴是x=2，顶点坐标是(2，﹣1).∵y1=y2，∴x1＋x2=4.令y=﹣1，代入y=﹣x＋3

，得x=4.∵x1＜x2＜x3(如答图)，∴3＜x3＜4，即7＜x1＋x2＋x3＜8.12.解：(1)∵点P与点P′(1，3)关于x轴对称，∴点P的坐标为(1，－3).设原抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－3，∵其过点A(1－3，0)，∴0＝a(1－3－1)2－

3，解得a＝1.∴原抛物线的函数表达式为y＝(x－1)2－3，即y＝x2－2x－2.(2)∵CD∥x轴，P′(1，3)在CD上，∴C，D两点纵坐标均为3.由(x－1)2－3＝3，解得x1＝1－6，x2＝1＋6，∴C

，D两点的坐标分别为(1－6，3)，(1＋6，3)，∴CD＝26.∴“W”图案的高与宽(CD)的比为326＝64(或约等于0.612).