【文档说明】中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与菱形存在性问题（教师版）.doc，共(21)页，456.367 KB，由MTyang资料小铺上传

转载请保留链接：https://www.ichengzhen.cn/view-235471.html

以下为本文档部分文字说明：

中考数学二轮压轴培优专题二次函数与菱形存在性问题1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线L1：y＝﹣x2＋bx＋c经过点A(2，2)，抛物线的对称轴是直线x＝1，顶点为点B．(1)求这条抛物线的解析式；(2)将抛物线L1平移到抛物线

L2，抛物线L2的顶点记为D，它的对称轴与x轴的交点记为E．已知点C(2，﹣1)，若以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，则请求出抛物线L2的顶点坐标．【答案解析】解：(1)∵抛物线L1：y＝﹣x2＋bx＋c经过点A(2，2)，抛物线的对称轴是

直线x＝1，∴，解得：，∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋2；(2)设抛物线L2的顶点记为D(m，n)，则E(m，0)，如图，∴DE＝|n|，DE∥y轴，∵A(2，2)，C(2，﹣1)，∴AC＝2﹣(﹣1)＝3，AC∥y轴，∴AC∥DE，又AD＝，

AE＝，∵以A、C、D、E为顶点的四边形为菱形，∴DE＝AC，即|n|＝3，∴n＝±3，①当n＝3时，D(m，3)，E(m，0)，∵AD＝AC＝3，∴AD2＝9，即(m﹣2)2＋(3﹣2)2＝9，解得：m＝2＋2

2或2﹣22，∴D(2＋22，3)或(2﹣22，3)；②当n＝﹣3时，D(m，﹣3)，E(m，0)，∵AE＝AC＝3，∴AE2＝9，即(m﹣2)2＋(0﹣2)2＝9，解得：m＝2＋5或2﹣5，∴D(2＋5，﹣3)或(2﹣5，﹣3)；综上所述，点D的坐标为(2＋22，3)或(2﹣22

，3)或(2＋5，﹣3)或(2﹣5，﹣3)．2.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋bx＋c的图象交x轴于A、B两点，与y轴交于点C，OB＝3OA＝3，点P是抛物线上一动点．(1)求抛物线的解析式及点C坐标；(2)如图1，若点P在

第一象限内，过点P作x轴的平行线，交直线BC于点E，求线段PE的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，交直线BC于点M，在y轴上是否存在点G，使得以M，P，C，G为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点G坐标

；若不存在，请说明理由．【答案解析】解：(1)∵OB＝3OA＝3，∴B(3，0)，A(﹣1，0)，将(3，0)，(﹣1，0)代入y＝﹣x2＋bx＋c得，解得，∴y＝﹣x2＋2x＋3，将x＝0代入y＝﹣x2＋2x＋3得y＝3，∴点C坐标为(0，3)．(2)设直线BC解析式为y＝kx＋b，将(3，0

)，(0，3)代入y＝kx＋b得，解得，∴y＝﹣x＋3，作PF⊥x轴交BC于点F，∵OB＝OC，∴∠CBO＝45°，∵PE∥x轴，∴∠PEF＝∠OBC＝45°，∴PF＝PE，设点P坐标为(m，﹣m2＋2m＋3)，则点F坐标为(m，﹣m＋3)．∴PF＝PE＝

﹣m2＋2m＋3﹣(﹣m＋3)＝﹣m2＋3m＝﹣(m﹣32)2＋94，∴m＝32时，PE的最大值为94，此时点P坐标为(32，154)．(3)①如图，PM＝CM，设点P坐标为(m，﹣m2＋2m＋3)，则M(m，﹣m＋3)，由(2)得PM＝﹣m2＋3m，∵点C坐标为(0，

3)，∴CM＝＝2m，∴﹣m2＋3m＝2m，解得m＝0(舍)或m＝3﹣2，∴GC＝CM＝32﹣2，∴OG＝OC＋CG＝3＋32﹣2＝32＋1，∴点G坐标为(0，32＋1)．②如图，PM＝CG时四边形PCGM为平行四边形，PG⊥CM时四边形PCGM为菱形，∵PM＝﹣m2＋3m，点C坐标为(0，

3)，∴点G坐标为(0，m2﹣3m＋3)，作GN⊥PM，∵∠CBO＝45°，∴∠GPN＝∠PMC＝∠BNQ＝45°，∴GN＝PN，即m＝﹣m2＋2m＋3﹣(m2﹣3m＋3)，解得m＝0(舍)或m＝2，∴点G坐标为(0，1)．③如图，PM＝CM，由①可得m2﹣3m＝2m，

解得m＝3＋2，∴PM＝CG＝CM＝32＋2，∴点G坐标为(0，1﹣32)．综上所述，点G坐标为(0，32＋1)或(0，1)或(0，1﹣32)．3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，顶点为D．(

1)求抛物线的解析式；(2)若在线段BC上存在一点M，使得∠BMO＝45°，过点O作OH⊥OM交BC的延长线于点H，求点M的坐标；(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，

求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A(﹣1，0)，B(3，0)两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣2x2＋4x＋6；(2)由(1)得，点C(0，6)，设直线BC的解析式为y＝kx＋c，∵直线BC经过点B(3，0)，C(

0，6)，∴，解得：∴直线BC的解析式为y＝﹣2x＋6，设点M的坐标为(m，﹣2m＋6)(0＜m＜3)，如图1，过点M作MN⊥y轴于点N，过点H作HK⊥y轴于点K，则∠MNO＝∠OKH＝90°，∵OH⊥OM，∴∠MOH＝90°，∵∠OMB＝4

5°，∴△MOH是等腰直角三角形，∴OM＝OH．∵∠MON＋∠KOH＝90°，∠OHK＋∠KOH＝90°，∴∠MON＝∠OHK，∴△OMN≌△HOK(AAS)，∴MN＝OK，ON＝HK．∴H(﹣2m＋6，﹣m)，∵点H(﹣2m＋6，﹣m)在直线y

＝﹣2x＋6上，∴﹣2(﹣2m＋6)＝﹣m，解得：m＝65，把m＝65代入y＝﹣2x＋6得：y＝185，∴当∠OMB＝45°时，点M的坐标为(65,185)；(3)存在，理由如下：∵抛物线的解析式为y＝﹣2x2＋4x＋6＝﹣2(x﹣1)2＋8，顶点为D，∴点D的

坐标为(1，8)，分两种情况讨论：①当CD为菱形的边时，如图2，过C作CE⊥DQ于E∵C(0，6)，D(1，8)，∴CD＝5，∴DQ＝CD＝5，∴Q点的坐标为(1，8﹣5)或(1，8＋5)；②当CD为菱形的对角线时，如图3，设点Q(1，m)，P(0，n)，∵C(0，6)，D(1，8)，∴m＋

n＝6＋8＝14，∴n＝14﹣m，∴P(0，14﹣m)，∴PC＝14﹣m﹣6＝8﹣m，∵CQ＝，PC＝CQ，∴8﹣m＝，解得：m＝274，∴点Q的坐标为(1，274)；综上所述，点Q的坐标为(1，8﹣

5)或(1，8＋5)或(1，274)．4.如图，已知直线y=﹣32x+92与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y＝ax2＋3x＋c经过B、C两点，与x轴的另一个交点为A，点E的坐标为(0,3)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点E，F关于抛物线的对称轴直线l对称，

Q点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案解析】解：(1)在y=﹣32x+92中，令x＝0得y＝92，令y＝0得x＝3，∴B(3，0)，C(0，92)，把B

(3，0)，C(0，92)代入y＝ax2＋3x＋c得：，解得，∴抛物线的函数表达式是y＝﹣32x2＋3x＋92；(2)在抛物线上存在点P，使得以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，理由如下：∵y＝﹣32x2＋3x＋92＝﹣32(x﹣1)2＋6，∴抛物线的

对称轴是直线x＝1，∵E(0，3)，F关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴F(2，3)，设Q(1，t)，P(m，﹣32m2＋3m＋92)，①当EF，PQ是对角线时，EF的中点即是PQ的中点，如图：∴，解得m＝1，∵E(0，3)

，F关于抛物线的对称轴直线x＝1对称，∴EQ＝FQ，∴以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，∴P(1，6)；②当EQ，FP为对角线时，EQ，FP的中点重合，如图：∴，解得，∴P(﹣1，0)，Q(1，0)，

而F(2，3)，∴FQ＝2＝PQ，∴以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，∴P(﹣1，0)；③当EP，FQ为对角线，EP，FQ的中点重合，如图：∴，解得，∴P(3，0)，Q(1，0)，而F(2，3)，∴FP

＝QP＝2，∴以E、F、P、Q为顶点的四边形是菱形，∴P(3，0)，综上所述，P的坐标是(1，6)或(﹣1，0)或(3，0)．5.如图，直线y＝﹣2x＋8分别交x轴，y轴于点B，C，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过B，C两点，其顶点为M，对称轴MN与直线BC交于点N．

(1)直接写出抛物线的解析式；(2)如图1，点P是线段BC上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交抛物线于点Q，问：是否存在点P，使四边形MNPQ为菱形？并说明理由；(3)如图2，点G为y轴负半轴上的一动点，过点G作EF∥BC，直线EF与抛物线交于

点E，F，与直线y＝﹣4x交于点H，若，求点G的坐标．【答案解析】解：(1)∵直线y＝﹣2x＋8分别交x轴，y轴于点B，C，∴B(4，0)，C(0，8)，∵抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过B，C两点，∴，解得：，∴抛物线的解析式为

y＝﹣x2＋2x＋8；(2)不存在点P，使四边形MNPQ为菱形．理由如下：设P(t，﹣2t＋8)，∵PD⊥x轴，∴PD∥y轴，即PQ∥y轴，则Q(t，﹣t2＋2t＋8)，∴PQ＝﹣t2＋2t＋8﹣(﹣2t＋8)＝﹣t2＋4t，∵y＝﹣x2＋2x＋8＝﹣(x﹣1

)2＋9，∴抛物线的顶点为M(1，9)，对称轴为直线x＝1，∴N(1，6)，∴MN＝9﹣6＝3，MN∥y轴，∴PQ∥MN，要使四边形MNPQ为菱形，必须PQ＝MN＝PN，由﹣t2＋4t＝3，解得：t＝1或t＝3，当t＝1时，点P与点N

重合，点Q与点M重合，舍去；当t＝3时，P(3，2)，Q(3，5)，∴PQ＝5﹣2＝3，∴PQ＝MN，∵PQ∥MN，∴四边形MNPQ是平行四边形，∵PN＝25，∴PN≠MN，故四边形MNPQ不能为菱形．(3)如图(2)，连接MG，过点

H、E、F分别作y轴的垂线，垂足依次为K、L、T，设G(0，m)，∵EF∥BC，直线BC：y＝﹣2x＋8，∴直线EF的解析式为y＝﹣2x＋m，∵直线EF与直线y＝﹣4x交于点H，∴，解得：，∴H(﹣12m，2m)，∴HK＝﹣12m，GK＝﹣m，在Rt△

GHK中，HG＝﹣52m，∵直线EF与抛物线交于点E，F，∴﹣x2＋2x＋8＝﹣2x＋m，整理得：x2﹣4x＋m﹣8＝0，∴xE＋xF＝4，xExF＝m﹣8，在Rt△BOC中，OB＝4，OC＝8，∴BC＝45，∴sin∠BC

O＝55，∵EF∥BC，∴∠FGT＝∠EGL＝∠BCO，∴sin∠FGT＝sin∠EGL＝sin∠BCO＝55，∴EG＝﹣5xE，FG＝5xF，∴﹣＝＝＝，∵﹣＝，∴＝，解得：m＝﹣8，∴点G的坐标为(0，﹣8)．6.如图，已知

直线y＝43x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．(1)求抛物线的表达式；(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的

坐标；(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案解析】解：(1)当x＝0时，y＝4，∴C(0，4)，当y＝0时，43x＋4＝0，∴x＝﹣3，∴A(﹣3，0)，∵对称轴为

直线x＝﹣1，∴B(1，0)，∴设抛物线的表达式：y＝a(x﹣1)(x＋3)，∴4＝﹣3a，∴a＝﹣43，∴抛物线的表达式为：y＝﹣43(x﹣1)(x＋3)＝﹣43x2﹣83x＋4；(2)如图1，作DF⊥AB于F，交AC于E，∴D

(m，﹣43m2﹣83m＋4)，E(m，43m＋4)，∴DE＝﹣43m2﹣83m＋4﹣(43m＋4)＝﹣43m2﹣4m，∴S△ADC＝12DE•OA＝32(﹣43m2﹣4m)＝﹣2m2﹣6m，∵S△ABC＝8，∴S＝﹣2m2﹣6m＋8＝﹣2(m＋32)2＋12.5，∴当m＝﹣32时，S最大＝1

2.5，当m＝﹣32时，y＝5，∴D(﹣32，5)；(3)设P(﹣1，n)，∵以A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形，∴PA＝PC，即：PA2＝PC2，∴(﹣1＋3)2＋n2＝1＋(n﹣4)2，∴n＝，∴P(﹣1，)，∵xP＋xQ＝xA＋xC，yP＋yQ＝yA＋yC∴xQ＝﹣3﹣(﹣

1)＝﹣2，yQ＝4﹣＝，∴Q(﹣2，)．7.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c(a≠0)与x轴交于点A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．OA、OB的长是不等式组的整数解(OA＜OB)，点D(2，m)在抛物线上．(1)求抛物线的解析式及m

的值；(2)y轴上的点E使AE和DE的值最小，则OE＝；(3)将抛物线向上平移，使点C落在点F处．当AD∥FB时，抛物线向上平移了个单位；(4)点M在在y轴上，平面直角坐标系内存在点N使以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标．【答案解析】解：(1)所

给不等式组的解集为2≤x＜4，其整数解为2，3，∵OA、OB的长是所给不等式组的整数解，且OA＜OB，∴OA＝2，OB＝3，则A(﹣2，0)，B(3，0)，∵点A、B在抛物线上，∴，解得a=1,c=-6，∴所求的抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣6，∵点D

(2，m)在抛物线上，∴m＝22﹣2﹣6＝﹣4；(2)如图1所示，连接AD交y轴于点E，则此时AE＋ED最小，设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵点A(﹣2，0)，D(2，﹣4)在直线AD上，∴，解得，∴直线

AD的函数解析式为y＝﹣x﹣2，当x＝0时，y＝﹣2，即E(0．﹣2)，∴OE＝|﹣2|＝2，故答案为：2；(3)如图1，∵AD∥FB，∴△AEO∽△BFO，∴＝，∵OE＝OA＝2，∴OF＝OB＝3，∵C(0，﹣6)，∴OC＝|﹣6|＝6，∴CF＝CO＋O

F＝6＋3＝9，∴抛物线向上平移9个单位，故答案为：9；(4)∵以A、B、M、N为顶点的四边形是菱形，对角线互相垂直且平分，由∵OA≠OB，∴AB与MN不能作为一组对角线，∴分两种情况：①以AM与BN为对角线时，如图2①和图2②，如图2①

，AB＝OA＋OB＝2＋3＝5，∵四边形ABMN是菱形，∴MN∥AB∥x轴，MN＝MB＝AB＝5，在Rt△MBO中，OM＝4，∴M(0，4)，∴N(﹣5，4)，如图2②，同理可得：N(﹣5，﹣4)，②以AN与BM为对角线时，如图2③和图2④

，如图2③，菱形的边长仍为5，MN∥x轴，∵MO＝21，∴M(0，21)，∴N(5，21)，如图2④，同理可得：N(5，﹣21)，综上所述，①②两种情况，符合条件的点N的坐标为：N1(﹣5，﹣4)、N2(﹣5，4)、N3(5，21)、N4(5，﹣21)．8.在平面直角坐标系xOy中，抛物线

y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴相交于A(2，0)，B两点，与y轴交于点C(0，6)，点E为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；(2)若将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180°，点C、E的对应点

分别是点C'、E'，当以C、E、C'、E'为顶点的四边形是菱形时，求点M的坐标及旋转后的抛物线的表达式，【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝4，抛物线与x轴相交于A(2，0)，B两点，∴点B(

6，0)，设抛物线的解析式为：y＝a(x﹣2)(x﹣6)，∵抛物线图象过点C(0，6)，∴6＝a(0﹣2)(0﹣6)，∴a＝12，∴抛物线的解析式为：y＝12(x﹣2)(x﹣6)＝12x2﹣4x＋6，∵y＝1

2x2﹣4x＋6＝12(x﹣4)2﹣2，∴顶点E坐标为(4，﹣2)；(2)∵将该抛物线的图象绕x轴上一点M旋转180°，点C、E的对应点分别是点C'、E'，∴CM＝C'M，EM＝E'M，∴四边形CEC'E'是平行四边形，设点M(m，0)，∵点C(0，6

)，点E(4，﹣2)，CM＝C'M，EM＝E'M，∴点C'(2m，﹣6)，点E'(2m﹣4，2)，∵以C、E、C'、E'为顶点的四边形是菱形，∴CE＝C'E，∴＝，∴m1＝﹣2，m2＝6，∴点M(﹣2，0)或(6，0)，当M(﹣2，0)时，点

E'(﹣8，2)，∴旋转后的抛物线解析式为：y＝﹣12(x＋8)2＋2；当M(6，0)时，点E'(8，2)，∴旋转后的抛物线解析式为：y＝﹣12(x﹣8)2＋2；综上所述：点M(﹣2，0)或(6，0)，旋转后的抛

物线解析式为：y＝﹣12(x＋8)2＋2或y＝﹣12(x﹣8)2＋2．9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(﹣1，0)，B(4，0)．(1)求抛物线的解析式；(2)连接

BC，在直线BC上方的抛物线上有一动点D，连接AD，与直线BC相交于点E，当DE：AE＝4：5时，求tan∠DAB的值；(3)点P是直线BC上一点，在平面内是否存在点Q，使以点P，Q，C，A为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案解析】解：将A(﹣1，0)

，B(4，0)代入y＝ax2＋bx＋3，得，解得，∴解析式为；(2)当x＝0时，，∴C(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(4，0)，C(0，3)分别代入得，解得：，∴直线BC的解析式为：y=﹣34+3，过点D作y轴的平行线，交直线

BC与点F，交x轴于点H，过点A作y轴的平行线，交直线BC与点G，∵A(﹣1，0)，∴当x＝﹣1时，y＝154，∴G(-1,154)，AG=154，∵AG∥y轴∥DF，∴△DEF∽△AEG，∴，∴＝，

∴DF＝3，设，，∴，解得：t1＝t2＝2，∴D(2,92)，∴DH=92，AH＝1＋2＝3，在Rt△ADH中，tan∠DAB=32；(3)存在，分三种情况：①如图2，四边形ACPQ是菱形，则PC＝AC，设P(x，﹣34x＋3)，∵A(﹣1，0)，C(0，3)，∴得：x＝±4510，当x＝﹣451

0时，P(﹣4510，3510+3)，∴Q(﹣4510﹣1，3510)，当x＝4510时，P(4510，﹣3510+3)，∴Q(4510﹣1，﹣3510)；②如图3，四边形APCQ是菱形，∵BC＝AB＝5，∴B在AC的垂直平分线上，∴P与B重合，∴Q(﹣5，3)

；③如图4，四边形ACQP是菱形，同理得P(1.6，95)，∴Q(2.6，245)；综上，点Q的坐标为(﹣4510﹣1，3510)或(4510﹣1，﹣3510)或(﹣5，3)或(2.6，245)．10.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交

于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；(3)试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线

l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【答案解析】解：(1)将A(﹣3，0)，B(1，0)代入y＝x2＋bx＋c得：，解得：，∴y＝x2＋2x﹣3；(2)如图1

，过点P作PM∥y轴交直线AC于点M，∵A(﹣3，0)，C(0，﹣3)，设直线AC的解析式为：y＝kx＋n，∴，∴，∴AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，∵P点的横坐标为m，∴P的坐标是(m，m2＋2m﹣3)，则M的坐标是(m，﹣m﹣3)，∴PM＝﹣m﹣3﹣(m2＋2m﹣3)＝

﹣m2﹣3m，∵点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，∴﹣3＜m＜0，∴S＝12PMOA＝32(﹣m2﹣3m)＝﹣32m2﹣92m(﹣3＜m＜0)；(3)分两种情况：①如图2，四边形CDEB是菱形，设D(t，﹣t

﹣3)，则E(t＋1，﹣t)，∵四边形CDEB是菱形，∴CD＝BC，∴(t﹣0)2＋(﹣t﹣3＋3)2＝12＋32，∴t＝±5，∵t＜0，∴t＝﹣5，∴E(﹣5＋1，5)；②如图3，四边形CBDE是菱形，设D(t，﹣t﹣3)，则E(t﹣1，﹣t﹣6)，∵四边形CBDE是菱形，∴CE

＝BC，∴(t﹣1﹣0)2＋(﹣t﹣6＋3)2＝12＋32，∴t＝0(舍)或﹣2，∴E(﹣3，﹣4)；综上所述，点E的坐标为(﹣5＋1，)或(﹣3，﹣4)．