【文档说明】中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与对称变换综合问题(教师版).doc,共(23)页,516.881 KB,由MTyang资料小铺上传
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中考数学二轮压轴培优专题二次函数与对称变换综合问题1.如图,关于x的二次函数y=﹣x2+bx+3的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且过点D(﹣1,4).(1)求b的值及该二次函数图象的对称轴;(2)连接AC,AD,CD,求△ADC的
面积;(3)在AC上方抛物线上有一动点M,请直接写出△ACM的面积取到最大值时,点M的坐标.【答案解析】解:(1)把点D(﹣1,4)代入二次函数y=﹣x2+bx+3中得:﹣1﹣b+3=4,∴b=﹣2,∴y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,∴对称轴是:直线x=﹣1;
(2)如图1,连接OD,当y=0时,﹣(x+1)2+4=0,∴x1=﹣3,x2=1,∴A(﹣3,0),∵D(﹣1,4),C(0,3),∴△ADC的面积=S△AOD+S△CDO﹣S△AOC=12×3×4+12×3×1﹣12×3×3=3;(3)如图2,过点M作MN∥y轴,交AC于点N,∵A(﹣3,
0),C(0,3),∴设直线AC的解析式为y=kx+m,则,解得:,∴直线AC的解析式为:y=x+3,设点M的坐标为(t,﹣t2﹣2t+3),则N(t,t+3),∵点M是在AC上方抛物线上有一动点,∴﹣3<t<0,MN=
(﹣t2﹣2t+3)﹣(t+3)=﹣t2﹣3t,∴S△AMC=12•MN•OA=32(﹣t2﹣3t)=﹣32(t+32)2+278,∵﹣32<0,∴当t=32时,△ACM的面积有最大值,此时点M的坐标为(﹣32,154).2.如图
,在平面直角坐标系中,A(1,0),B(0,2),以AB为边向右作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,AB=AC,二次函数y=12x2+bx﹣2的图象经过点C.(1)求二次函数的解析式;(2)平移该二次函数图象的对称轴所在的直线l,若直线l恰好将△ABC的面积分为1:2两部分,请求出直
线l平移的最远距离;(3)将△ABC以AC所在直线为对称轴翻折,得到△AB'C,那么在二次函数图象上是否存在点P,使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形?若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由
.【答案解析】解:(1)过点C作CK⊥x轴交于点K,如图:∵∠BAO+∠CAK=90°,∠BAO+∠OBA=90°,∴∠CAK=∠OBA,又∠AOB=∠AKC=90°,AB=AC,∴△ABO≌△CAK(AAS),∴OB=AK=2,AO=CK=1,∴OK=AO+AK=1+2
=3,∴点C的坐标为(3,1),将点C的坐标代入y=12x2+bx﹣2得:1=12×9+3b﹣2,解得:b=﹣12,∴二次函数表达式为y=12x2﹣12x﹣2;(2)由y=12x2﹣12x﹣2可知抛物线的对称轴为直线x=12,且当直线l将△ABC的
面积分为左部分比右部分=2:1时,直线l平移的距离最远,如图:设此时直线l分别交边BC、AC分别为点M、N,由B(0,2),C(3,1)可得直线BC解析式为y=﹣13x+2,由A(1,0),C(3,1)可得直线AC解析式为y=12x﹣12,设点M的坐标为(t,﹣
13t+2),点N坐标为(t,12t﹣12),1≤t<3,∵直线l将△ABC的面积分为左部分比右部分=2:1,∴S△CMN=13S△ABC,又AB=5,∴12×(3﹣t)(﹣13t+2﹣12t+12)=13×12×5×5,解得t=3﹣2或3+2(舍去),∴直线l平移的距离最远是3﹣2﹣12
=52﹣2;(3)在二次函数图象上存在点P,使△PB'C是以B'C为直角边的直角三角形,理由如下:①当∠PCB'=90°时,如图:∵B,B'关于直线AC对称,∴∠BCA=∠B'CA=45°,∴∠BCB'=90°,即点P为直线BC
与抛物线的另外一个交点,由得:或,∴点P的坐标为;②当∠CB'P=90°时,过B'作BT⊥x轴于T,如图:∵B,B'关于直线AC对称,∠BAC=90°,∴BA=B'A,∵∠BAO=∠B'AT,∠BOA=90°=∠B'TA,∴△BOA≌△B'
TA(AAS),∴AT=AO=1,OB=B'T=2,∴OT=AO+AT=2,∴B'(2,﹣2),由①知,∠BCB'=90°,∴过B'作BC的平行线,与抛物线的交点即为P,∵直线BC解析式为y=﹣13x+2,B'(2
,﹣2),∴B'P解析式为y=﹣13x﹣43,由得或,∴点P的坐标为(﹣1,﹣1)或(43,﹣169),综上所述,点P的坐标为:或(﹣1,﹣1)或.3.定义:若两个函数的图象关于某一点Q中心对称,则称这两个函数关于点Q互为“对称函数”.例如,函数y=x2与y=﹣x2关于原点
O互为“对称函数”.(1)函数y=﹣x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为,函数y=(x﹣2)2﹣1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为;(2)已知函数y=x2﹣2x与函数G关于点Q(0,1)互为“对称函数”,
若函数y=x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小,求x的取值范围;(3)已知点A(0,1),点B(4,1),点C(2,0),二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a>0),与函数N关于点C互为
“对称函数”,将二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a(a>0)与函数N的图象组成的图形记为W,若图形W与线段AB恰有2个公共点,直接写出a的取值范围.【答案解析】解:(1)∵两个函数是关于原点O的“对称函数”,∴两个函数
的点分别关于原点中心对称,设函数y=﹣x+1上的任一点为(x,y),则它的对称点为(﹣x,﹣y),将(﹣x,﹣y)代入函数y=﹣x+1得:﹣y=x+1,∴y=﹣x﹣1.函数y=x+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y=﹣x﹣1;同理可得,函数y=
(x﹣2)2+1关于原点O的“对称函数”的函数解析式为y=﹣(x+2)2﹣1,故答案为:y=﹣x﹣1;y=﹣(x+2)2﹣1;(2)函数G的解析式为y=﹣(x+1)2+3,如图,函数y=x2﹣2x与函数G的函数值y都随
自变量x的增大而减小,∵“对称函数”的开口方向向下,∴在对称轴的右侧y随自变量x的增大而减小,函数y=x2﹣2x在对称轴的左边y随自变量x的增大而减小,∴函数y=x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而减小,自变量x的取值范围为﹣1<x<1;(3)①当“对称函数
”的顶点在AB上时,如图,∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a(x﹣1)2﹣4a,∴二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x=1,∵点C(2,0)为对称中心,∴函数N的对称轴为直线x=3,∴函数N的顶点坐标
为(3,1),∵(3,1)关于点C(2,0)对称的点为(1,﹣1),∴将(1,﹣1)代入y=ax2﹣2ax﹣3a得:a﹣2a﹣3a=﹣1,∴a=14,;②当两个函数的交点在AB上时,如图,二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为(﹣1,0)和(3,0),∵点C(2,0)为对称中心,∴函数
N与x轴的交点为(5,0)和(1,0),∴函数N的解析式为y=﹣ax2+6ax﹣5a,当y=1时,,解得:a=36;③当“伴随函数”经过点B时,如图,∵点B(4,1),∴1=﹣a×16+6a×4﹣5a,解得:a=13.综上,图形W与线段AB恰有2个公
共点,a的取值范围为a=14或a=36或a>13.4.如图所示,在矩形AOCD中,把点D沿AE对折,使点D落在OC上的F点.已知AO=8,AD=10.(1)求F点的坐标;(2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点,我们把这条直线称为抛物线的切线,已知抛物线
经过O,F,且直线y=6x﹣36是该抛物线的切线.求抛物线的解析式.并验证点M(5,﹣5)是否在该抛物线上.(3)在(2)的条件下,若点P是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点,试比较∠POF与∠MOF的大小(不必证明
),并写出此时点P的横坐标xP的取值范围.【答案解析】解:(1)由折叠可知AD=AF,∵AD=10,∴AF=10,∵AO=8,∴OF=6,∴F(6,0);(2)设y=ax2+bx,将F(6,0)代入可得b=﹣6a,∴y=ax2﹣
6ax,联立方程组,整理得ax2﹣6ax﹣6x+36=0,∴Δ=0,可得a=1,∴y=x2﹣6x,将点M(5,﹣5)代入y=x2﹣6x,等式成立,∴M点在抛物线上;(3)设P(xP,xP2﹣6xP),∵M(5,﹣5),过点M作MG⊥x轴交于G,过P点作PH⊥x轴交于
H,∴MG=OG=5,∴∠MOF=45°,当∠POH=45°时,xP=xP2﹣6xP,∴xP=0(舍)或xP=7,∴当xP=7时∠POF=∠MOF;当xP>7时∠POF>∠MOF;当3<xP<7时∠POF<∠MOF.5.如图,已知抛物线与坐
标轴相交于点A(﹣1,0),C(0,﹣3)两点,对称轴为直线x=1,对称轴与x轴交于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是抛物线上的点,当∠ACP=45°时,求点P的坐标;(3)点F为二次函数图象上与点C对称的点,点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在
以点F,A,M,N为顶点的平行四边形?若存在,直接写出点M的坐标,若不存在,说明理由.【答案解析】解:(1)∵抛物线对称轴为直线x=1,∴设抛物线y=a(x﹣1)2+k,把A(﹣1,0),C(0,﹣3)代入y=a(x﹣1)2+k得:,∴,∴y=(x﹣1)2﹣4;(2)如图过AC
作AQ⊥AC,且AQ=AC,过A作MN∥y轴,过C作CN⊥MN于N,过Q作QM⊥MN于M,∴∠ACQ=45°,点P即所求的点,∴∠QMA=∠CNA=90°,∠QAC=90°,∴∠1+∠2=90°,∠1+∠MQA=90°,∴∠2=∠MQA,∴△MQA≌△NAC(AAS),∴MA=NC
=1,MQ=AN=3,∴Q(2,1),设直线CQ的解析式为y=kx+b,∴,∴,∴yCQ=2x﹣3,∴,∴,,∴P(4,5);(3)∵y=(x﹣1)2﹣4,∴y=x2﹣2x﹣3,依题意设N(1,n),M(m,m2﹣2m﹣3),∵C(
0,﹣3),对称轴为直线x=1,∴F(2,﹣3),∵A(﹣1,0),F(2,﹣3),N(1,n),M(m,m2﹣2m﹣3),当以AF为对角线时,,∴m=0,∴M(0,﹣3),当以AN为对角线时,,∴m=﹣2,∴M(﹣2,5),当以AM为对角线时,,∴m=4,∴M(4,5),综上
所述:M(0,﹣3)或M(﹣2,5)或M(4,5).6.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点C(2,﹣3),且与x轴交于原点及点B(8,0),点A为抛物线的顶点.(1)求二次函数的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M,使△
ABM是等腰三角形?如果存在,请求出点M的坐标.如果不存在,请说明理由;(3)若点P为⊙O上的动点,且⊙O的半径为22,求12AP+PB的最小值.【答案解析】解:(1)由题意,解得:,∴二次函数的表达式为y=14
x2﹣2x;(2)过点A作直线AF⊥x轴于点F,由(1)得y=14(x﹣4)2﹣4,∴抛物线的顶点A(4,﹣4),①AM=BM,∵B(8,0),∴BF=4,∵∠AFB=90°,AF=BF=4,∴△ABF是等腰直角三角形,∴M在点F处,△ABM是等腰直角三角形,此时M为(4,
0),②AB=AM,由①得△ABF是等腰直角三角形,BF=4,∴AB=42,∴M为(4,﹣4﹣42)或(4,﹣4+42),③AB=BM,∵AB=BM,BF⊥AM,∴MF=AF,∴M为(4,4),综上所述,M为(4,0)
,(4,﹣4﹣42)或(4,﹣4+42)或(4,4);(3)如图2,以O为圆心,22为半径作圆,则点P在圆周上,在OA上取点D,使OD=2,连接PD,则在△APO和△PDO中,满足:==2,∠AOP=∠POD,∴△APO∽△PDO
,∴===2,从而得:PD=12AP,∴12AP+PB=PD+PB,∴当B、P、D三点共线时,PD+PB取得最小值,过点D作DG⊥OB于点G,由于OD=2,且△ABO为等腰直角三角形,则有DG=1,∠DOG=45°,∴12AP+PB的最小值为:12AP+PB=DB=52.7
.已知二次函数解析式为y=x﹣1(a≠0),该抛物线与y轴交于点A,其顶点记为B,点A关于抛物线对称轴的对称点记为C.已知点D在抛物线上,且点D的横坐标为2,DE⊥y轴交抛物线于点E.(1)求点D的纵坐标.(2)当△ABC是等腰直角三角形时,求出a的值.(3)当0≤x≤2时,函数的最大值与
最小值的差为2时,求a的取值范围.(4)设点R(a﹣3,﹣1),点A、R关于直线DE的对称点分别为N、M,当抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象中,y随x的增大而增大或y随x的增大而减小时,直接写出a的取值范围.【答案解析】解:(1)当x=2时,y=﹣3,∴D(2
,﹣3);(2)令x=0,则y=﹣1,∴A(0,﹣1),∵y=x﹣1=(x﹣)2﹣,∴顶点B(,﹣),∵抛物线的对称轴为直线x=,∴C(a+2,﹣1),∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB⊥BC,∴||=|﹣1+|,解得a=±2或a=﹣23,当a=2时,B(0,1),C(0
,﹣1),此时C点与A点重合,∴a=2(舍);∴a=﹣2或a=﹣23;(3)∵抛物线的对称轴为直线x=12a+1,①当12a+1<0时,a<﹣2,此时当x=0时,函数有最大值﹣1,当x=2时,函数有最
小值﹣3,∴函数的最大值与最小值的差为2;②当12a+1>2时,a>2,此时当x=0时,函数有最大值﹣1,当x=2时,函数有最小值﹣3,∴函数的最大值与最小值的差为2;③当0≤12a+1≤1时,﹣2≤a<0,此时当x=12a
+1,函数有最大值﹣,当x=2时,函数有最小值﹣3,∵函数的最大值与最小值的差为2,∴﹣+3=2,∴=1,解得a=﹣2;④当1<12a+1≤2时,0<a≤2,此时当x=0时,函数有最大值﹣1,当x=12a
+1时,函数有最小值﹣,∵函数的最大值与最小值的差为2,∴﹣1+=2,∴=3,解得a=2;综上所述:a≤﹣2或a≥2时,函数的最大值与最小值的差为2;(4)∵D(2,﹣3),DE⊥y轴,∴DE所在直线为y=﹣3,∵A(0,﹣1),R(a﹣3,﹣1),∴N(
0,﹣5),R(a﹣3,﹣5),当a>0且12a+1≥a﹣3时,∴0<a≤8,∵a﹣3>0,∴3<a≤8;此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象,y随x的增大而减小;当a>0且12a+1<a﹣3时,解得a>8,∵a﹣3>0,∴a>3,∵1a(a﹣3)2﹣12a+1•(a﹣3)﹣1
≤﹣5,解得a≥15;此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象,y随x的增大而减小;当a<0时,﹣≥﹣1,解得a<0,此时抛物线在以A、R、M、N为顶点的四边形内部的图象,y随x的增大而增大;综上所述:a≥15或a<0或3<a≤8时,符合题意.8.若直线y=﹣2x+4与y轴交于
点A,与x轴交于点B,二次函数y=ax2+3x+c的图象经过点A,交x轴于C、D两点,且抛物线的对称轴为直线x=32.(1)求二次函数的解析式;(2)过点C作直线CE∥AB交y轴于点E,点P是直线CE上一动点,点Q是第一象限抛物线上一动
点,求四边形APBQ面积的最大值与此时点Q的坐标;(3)在(2)的结论下,点E是抛物线的顶点,对称轴与x轴交于点G,直线EQ交x轴于点F,在抛物线的对称轴上是否存在一点M,使得∠MFQ+∠CAO=45°,求点M的坐标.【答案解析】解:(1)由直线y=﹣2x+4与y轴交
于点A,得A(0,4),又抛物线经过点A且对称轴为直线x=32,则c=4,由﹣=,得a=﹣1,∴二次函数的解析式为y=﹣x2+3x+4.(2)如图1,作QH⊥AB于点H,QN∥y轴交直线AB于点N.设点Q(x,﹣x2+3x+4),则F(x,﹣2x+4)
;当y=0时,由﹣x2+3x+4=0得,x1=﹣1,x2=4,∴C(﹣1,0),D(4,0);由﹣2x+4=0,得x=2,∴B(2,0),∴AB=25.∵∠HNQ=∠OAB,∴,∴HQ=55QN=55(﹣x2+3x+4+2x﹣
4)=55(﹣x2+5x),由CE∥AB,可得,∴S四边形APBQ=S△ABQ+S△ABP=﹣x2+5x+6=﹣(x﹣52)2+1214,∴当x=52时,四边形APBQ的面积最大,四边形APBQ的最大面积为1214,此时Q(52,2
14).(3)存在.如图2,由y=﹣x2+3x+4=﹣(x﹣32)2+254,得E(32,254),又Q(52,214),设直线EF的解析式为y=kx+b,则,解得,∴F(,0),GF===GE,∴△EGF是等腰直角三角形.若点M在直线EF下方,当时,则∠GFM=∠CAO,∴∠MFQ+∠CAO=4
5°,此时MG=×=,∴M(,).若点M在直线EF上方,作点M关于直线EF的对称点J,连接EJ,则△MEJ是等腰直角三角形,∴EJ∥x轴.∵EJ=EM=,∴J(,).设直线FJ的解析式为y=mx+n,则,解得,∴y=﹣4x+3
1,当x=32时,y=﹣4×32+31=25,此时,M(32,25).综上所述,点M的坐标为(,)或(,25)9.如图1所示,直线y=34x+3与x轴、y轴分别相交于点A,点B,点C(1,2)在经过点A,B的二次函数y=ax2+bx+
c的图象上.(1)求抛物线的解析式;(2)点P为线段AB上(不与端点重合)的一动点,过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q,求PQ+45PB取得最大值时点P的坐标;(3)如图2,连接BC并延长,交x轴于点D,E为第三象限抛物线上一点,连接DE,点G为x轴上一点,且G(﹣1,0),直线CG与D
E交于点F,点H在线段CF上,且∠CFD+∠ABH=45°,连接BH交OA于点M,已知∠GDF=∠HBO,求点H的坐标.【答案解析】解:(1)由题意得:A(﹣4,0),B(0,3),∴,∴,∴y=﹣﹣+3;(2)如图1,作
PD⊥OB于D,设Q(m,﹣﹣+3),P(m,m+3),∴PQ=﹣﹣+3﹣(=﹣﹣,∵PD∥OA,∴△BPD∽△BAO,∴=,∴=,∴PB=﹣,∴PQ+PB=﹣﹣m﹣m=﹣﹣,∴当m=﹣,∵+3=,∴P(﹣,);(3)如图2,作CN⊥AD于N,作MT⊥AB于T,∵C(1,2),G(﹣1,0),
∴CN=GN=2,∴∠CGN=∠NCG=45°,∴∠CFD+∠GDF=45°,∵∠CFD+∠ABH=45°,∴∠GDF=∠ABH,∵∠GDF=∠HBO,∴∠ABH=∠HBO,∴OM=MT,∵S△ABM+S△BOM
=S△AOB,∴,∴5OM+3OM=3×4,∴OM=32,∴M(﹣32,0),∴直线BM的解析式为:y=2x+3,∵C(1,2),G(﹣1,0),∴直线CG的解析式为:y=x+1,由2x+3=x+1得,x=﹣2,∴x+1=﹣1,∴H(﹣2,﹣1).10.
抛物线y=x2+bx+c过A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴相交于点C,点C、D关于抛物线的对称轴对称.(1)抛物线的解析式是,△ABD的面积为;(2)在直线AD下方的抛物线上存在点P,使△APD的面积最大,求出最大面积.(3)当t≤x≤t+1时,函数y=x2+bx+c的最小值为5,
求t的值.(4)若点M在y轴上运动,点N在x轴上运动,当以点D、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时,请直接写出此时M点的坐标.【答案解析】解:(1)把A(﹣1,0),B(3,0)分别代入y=x2+bx+c(a≠0)中,得,解得:,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3,∴C(0,﹣3),∵点C、D关于抛物线的对称轴对称,y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴抛物线的对称轴为x=1,点D(2,﹣3),∴△ABD的面积为12AB•OC=12×4×3=6,故答案为:y=x2﹣2x﹣3,6;(2)过点P作PM⊥x轴于点M,交AD于
点N.设直线AD的解析式为y=kx+a,把A(﹣1,0),D(2,﹣3)分别代入y=kx+a中,得,解得:,∴直线AD的解析式为y=﹣x﹣1,设点P的横坐标为m,则P(m,m2﹣2m﹣3),N(m,﹣m﹣1),∴PN=﹣m﹣1﹣(m2﹣2m﹣3)=﹣m2+m+2.∴S△
APD=S△APN+S△DPN=12PN•(xD﹣xA)=12×(﹣m2+m+2)×(2+1)=﹣32×(m2﹣m﹣2)=﹣32(m﹣12)2+278.∴当m=12时,△APD的最大面积为278;(3)∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴抛
物线开口向上,对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,﹣4),①当t+1<1时,t<0,当x=t+1时,y=(t+1﹣1)2﹣4=5为最小值,解得t=3(舍去)或t=﹣3;②当t≤1,t+1≥1时,0≤t≤1,此时,函数的最小值为﹣
4≠5;③当t>1时,x=t时,y=(t﹣1)2﹣4=5为最小值,解得t=4或t=﹣2(舍去),综上所述,t的值为﹣3或4;(4)①当∠DNM=90°,ND=NM时,如图,过点D作DE⊥x轴于E,∴DE=3,OE=2,∵∠MON=∠DEN=9
0°,∠DNM=90°,∴∠MNO=∠NDE,∵ND=NM,∴△MNO≌△NDE(AAS),∴OM=EN,ON=DE=3,∴OM=EN=ON﹣OE=3﹣2=1,∴M(0,1),如图,同理可得NE=OM=ON+OE=DE+
OE=3+2=5,∴M(0,5);②当∠DMN=90°,MN=MD时,∵点C、D关于抛物线的对称轴对称.∴CD⊥y轴,∴∠DCM=∠MON=90°=∠DMN,∴∠DMC=∠MNO,∵MN=MD,∴△MNO≌△DMC(AAS),∴OM=CD=2,∴M
(0,2)或(0,﹣2),③当∠NDM=90°时,过点D作DE⊥x轴于E,同理可得△DCM≌△DEN,则DC=DN,∵D(2,﹣3),∴DC=2,DN=3,与DC=DN矛盾,故此种情况不存在,综上所述,满足条件的M点的坐标为(0,1)或(0,5)或(0,2)或(0,﹣2).