【文档说明】中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与矩形存在性问题(教师版).doc,共(19)页,452.510 KB,由MTyang资料小铺上传
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中考数学二轮压轴培优专题二次函数与矩形存在性问题1.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A,且点A的坐标为(3,0),过点A作垂直于x轴的直线l,P是该抛物线上一动点,其横坐标为m,过点P作PQ⊥l于点Q,M是直线l
上的一点,其纵坐标为﹣m+32.以PQ,QM为边作矩形PQMN.(1)求抛物线的解析式;(2)当点Q与点M重合时,求m的值;(3)当矩形PQMN是正方形,且抛物线的顶点在该正方形内部时,求m的值;(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,求m的取值范围.【答案解析】解
:(1)当x=2时,y=﹣32.∴点B的坐标为(2,﹣32),当y=0时,12x2﹣x﹣32=0.解得x1=﹣1,x2=3.∵抛物线y=12x2﹣x﹣32与x轴正半轴交于点A,∴点A的坐标为(3,0).由题意,得,解得,∴直线AB对应的函数关
系式为y=32x﹣92.(2)当点P与点A重合时,m+1=3.解得m=2.∴2m=4.∵点D的纵坐标为1.∴点E的坐标为(4,1).(3)将y=12x2﹣x﹣32配方,得y=12(x﹣1)2﹣2.∴抛物线的顶点坐标为
(1,﹣2).由题意,得点E的坐标为(2m,12m2﹣1).∵点E在该抛物线上,∴.解得,.当2m<1时,即m<12,顶点(1,﹣2)在EF的右边.∵,∴抛物线的顶点到EF的距离为.当2m>1时,即m>12,顶点(1,﹣2)在EF的左边.∵,∴抛物线的顶点到
EF的距离为.综上所述,抛物线的顶点到EF的距离为或.(4)当点F(2m,32m﹣3)在抛物线上时,32m﹣3=2m2﹣2m﹣32,解得m=34或1,当E在抛物线上时,m=,当点P与A重合时,m=2,观察图1,图2,图3可知,当或或m≥2时,矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交.也可以写成:当或
m≠1或m≥2时,矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交.2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A,且点A的坐标为(3,0),过点A作垂直于x轴的直线l.P是该抛物线上的任意一点,其横
坐标为m,过点P作PQ⊥l于点Q,M是直线l上的一点,其纵坐标为﹣m+32.以PQ,QM为边作矩形PQMN.(1)求b的值.(2)当点Q与点M重合时,求m的值.(3)当矩形PQMN是正方形,且抛物线的顶点在该正方形内部时,求m的值.(4)当抛物
线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时,直接写出m的取值范围.【答案解析】解:(1)把点A(3,0)代入y=﹣12x2+bx+32,得到0=﹣92+3b+32,解得b=1.(2)∵抛物线的解析式为y=﹣12x2+x+32,∴P(m,﹣12m2
+m+32),∵M,Q重合,∴﹣m+32=﹣12m2+m+32,解得m=0或4.(3)y=﹣12x2+x+32=﹣12(x﹣1)2+2,∴抛物线的顶点坐标为(1,2),由题意PQ=MQ,且抛物线的顶点在该正方形内部,∴3﹣m=﹣m+32﹣(﹣12m2+m+32)且﹣m+32>
2,得m<﹣12解得m=1﹣7或1+7(不合题意舍弃),∴m=1﹣7.(4)当点P在直线l的左边,点M在点Q下方时,抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小,则有﹣m+32<﹣12m2+m+32,∴m2﹣4m<0,解得0<m<4,观察图象可知.当0<
m<3时,抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小,如图4﹣1中,当3<m<4时,抛物线不在矩形PQMN内部,不符合题意,当m>4时,点M在点Q的上方,也满足条件,如图4﹣2中,综上所述,满足条件的m的值为
0<m<3或m>4.3.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=x2+bx+c(b、c是常数)经过点(0,﹣1)和(2,7),点A在这个抛物线上,设点A的横坐标为m.(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标.(2)
点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧),点B的横坐标为﹣1﹣2m.①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时,求OABC的面积.②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G,当顶点C在图象G上,记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h,求h与
m之间的函数关系式.(3)设点D的坐标为(m,2﹣m),点E的坐标为(1﹣m,2﹣m),点F在坐标平面内,以A、D、E、F为顶点构造矩形,当此抛物线与矩形有3个交点时,直接写出m的取值范围.【答案解析】解:(1)把(0,﹣1)和(2,7)代入y=x2+bx+c,得:,解得:,∴抛物线对应的函数表
达式为:y=x2+2x﹣1,∵y=x2+2x﹣1=(x+1)2﹣2,∴顶点C的坐标为(﹣1,﹣2);(2)①当x=﹣1﹣2m时,y=(﹣1﹣2m+1)2﹣2=4m2﹣2,∴B(﹣1﹣2m,4m2﹣2).当△ABC是以AB为底的等腰三角形时,则AC=BC,又∵点C
在抛物线对称轴x=﹣1上,∴点A、点B关于直线x=﹣1对称,∴A(2m﹣1,4m2﹣2),∵点A的横坐标为m,∴2m﹣1=m,解得:m=1,∴A(1,2),B(﹣3,2),∵由(1)得,C(﹣1,﹣2),∴S△ABC
=12[1﹣(﹣3)]×[2﹣(﹣2)]=8;②∵A(m,(m+1)2﹣2),B(﹣1﹣2m,4m2﹣2).∴当点A是最高点,即m>1或m<﹣13时,则h=(m+1)2﹣2﹣(﹣2)=(m+1)2;当点B是最高点,即﹣13<m<1时,则h=4m2﹣2﹣(﹣2)=4m2,综上
,h与m之间的函数关系式为:h=(m+1)2(m>1或m<﹣13)或h=4m2(﹣13<m<1);(3)①当m<﹣1时,则2﹣m>3,1﹣m>2,如图:此时矩形ADEF与抛物线有3个交点;②当﹣1≤m≤1时,则1≤2﹣m≤3,0≤1
﹣m≤2,如图:此时矩形ADEF与抛物线有2个交点;③当1<m<2时,则0<2﹣m<1,﹣1<1﹣m<0,如图:此时矩形ADEF与抛物线有2个交点;④当2<m<3时,则﹣1<2﹣m<0,﹣2<1﹣m<﹣1,如图:此时矩形ADEF与抛物线有2个交点;⑤当3≤m<4时,则﹣2<2﹣m≤﹣1
,﹣3<1﹣m≤﹣2,如图:此时矩形ADEF与抛物线有4个交点;⑥当m=4时,则2﹣m=﹣2,1﹣m=﹣3,如图:此时矩形ADEF与抛物线有3个交点(ED经过抛物线的顶点);⑦当m>4时,则2﹣m<﹣2,1﹣m<﹣3,如图:此时矩形ADEF与抛物线有
2个交点.综上,当m≤﹣1或m=4时,抛物线与矩形有3个交点.4.如图1,抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A(﹣2,0),B(6,0)两点,与y轴交于点C,点P是第一象限内抛物线上的一个动点,过点P作PD⊥x轴,垂足为D,PD交直线BC于点E,设点
P的横坐标为m.(1)求抛物线的表达式;(2)设线段PE的长度为h,请用含有m的代数式表示h;(3)如图2,过点P作PF⊥CE,垂足为F,当CF=EF时,请求出m的值;(4)如图3,连接CP,当四边形OCPD是矩形时,在抛物线的对称轴上存在点Q,
使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上,请直接写出满足条件的点Q的坐标.【答案解析】解:(1)∵抛物线y=ax2+x+c(a≠0)与x轴交于A(﹣2,0),B(6,0)两点,∴,解得:,∴抛物线的表达式为y=﹣14x2+x+
3;(2)∵抛物线y=﹣14x2+x+3与y轴交于点C,∴C(0,3),设直线BC的解析式为y=kx+b,把B(6,0)、C(0,3)代入,得:,解得:,∴直线BC的解析式为y=﹣12x+3,设点P的横坐标为m,则P(m,﹣14m2+m+3),E(m,﹣12m+3),∴h=
﹣14m2+m+3﹣(﹣12m+3)=﹣14m2+32m,∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点,∴0<m<6,∴h=﹣14m2+32m(0<m<6);(3)如图,过点E、F分别作EH⊥y轴于点H,FG⊥y轴于点G,∵P(m,﹣14m2+m+3),
E(m,﹣12m+3),∴PE=﹣14m2+32m,∵PF⊥CE,∴∠EPF+∠PEF=90°,∵PD⊥x轴,∴∠EBD+∠BED=90°,又∵∠PEF=∠BED,∴∠EPF=∠EBD,∵∠BOC=∠PFE=90°,∴△BOC∽△PFE,∴=,在Rt△BOC中,BC=
35,∴EF=55(﹣14m2+32m),∵EH⊥y轴,PD⊥x轴,∴∠EHO=∠EDO=∠DOH=90°,∴四边形ODEH是矩形,∴EH=OD=m,∵EH∥x轴,∴△CEH∽△CBO,∴=,即=,∴CE=52m,∵CF=EF,∴EF=CE=m,∴m=(﹣14m2+
32m),解得:m=0或m=1,∵0<m<6,∴m=1;(4)∵抛物线y=﹣14x2+x+3,∴抛物线对称轴为直线x=2,∵点Q在抛物线的对称轴上,∴设Q(2,t),设抛物线对称轴交x轴于点H,交CP边于点G,则GQ=3﹣t,
CG=2,∠CGQ=90°,①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时,如图,则CQ垂直平分OO′,即CQ⊥OD,∴∠COP+∠OCQ=90°,又∵四边形OCPD是矩形,∴CP=OD=4,OC=3,∠OCP=90°,∴∠PCQ+∠OCQ=90°,
∴∠PCQ=∠COP,∴tan∠PCQ=tan∠COP==,∴=tan∠PCQ=,∴=,解得:t=,∴Q(2,13);②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时,如图,连接CD交GH于点K,∵点O与点O′关于直线CQ对称,∴CQ垂
直平分OO′,∴∠OCQ=∠DCQ,∵GH∥OC,∴∠CQG=∠OCQ,∴∠DCQ=∠CQG,∴CK=KQ,∵C、P关于对称轴对称,即点G是CP的中点,GH∥OC∥PD,∴点K是CD的中点,∴K(2,32),∴GK=32,∴CK=KQ=32﹣t,在Rt△CKG中,CG2+GK2=
CK2,∴22+(32)2=(32﹣t)2,解得:t1=1(舍去),t2=﹣1,∴Q(2,﹣1);③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时,如图,过点O′作O′K⊥y轴于点K,连接OO′交CQ于点M,∵点O与点O′关于直线CQ对称,∴CQ垂直平分OO′,∴∠OCM=∠O′CM
,∠OMC=∠O′MC=90°,O′C=OC=3,∵∠O′KC=∠DOC=90°,∠O′CK=∠DCO,∴△O′CK∽△DCO,∴==,即==,∴O′K=125,CK=95,∴OK=OC+CK=3+95=245,∴O′(﹣125,245),∵点M是OO′的中点,∴M(﹣65,12
5),设直线CQ的解析式为y=k′x+b′,则,解得:,∴直线CQ的解析式为y=12x+3,当x=2时,y=12×2+3=4,∴Q(2,4);综上所述,点Q的坐标为(2,13)或(2,﹣1)或(2,4).5.如图,已知抛物线C1:y=a1x2+b1x+1c和C2:y=a2x2+b2x+c
2(|a1|=|a2|)都经过原点,顶点分别为A,B,与x轴的另一交点分别为M,N,如果四边形ANBM是平行四边形,则称抛物线C1和C2为对称抛物线.(1)观察图象,写出对称抛物线两条特征;(如:抛物线开口大小相同)(2)若抛物线C1的解析式为y=﹣x2+
2x,确定对称抛物线C2的解析式.(3)若MN=4,且四边形ANBM是矩形时,确定对称抛物线C1和C2的解析式.【答案解析】解:(1)观察函数图象,可得出对称抛物线的特征:点M,N关于原点O对称;两抛物线的顶点坐标
关于原点O对称.(2)∵抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x,∴点A的坐标为(1,1),∴点B的坐标为(﹣1,﹣1);当y=0时,﹣x2+2x=0,解得:x1=0,x2=2,∴点M的坐标为(2,0),∴点N的坐标为(﹣2,0).将B(﹣1,﹣1),N(﹣2,0)代入y=a2x2
+b2x中,得:,解得:,∴对称抛物线C2的解析式为y=x2+2x.(3)∵MN=4,∴OM=12MN=12×4=2,∴抛物线C1的对称轴为直线x=1,点M的坐标为(2,0),∴点N的坐标为(﹣2,0).设点A的坐标为(1,m),则AM2=(1﹣2)
2+m2,AN2=[1﹣(﹣2)]2+m2.∵四边形ANBM是矩形,∴△AMN为直角三角形,∴AM2+AN2=MN2,即(1﹣2)2+m2+[1﹣(﹣2)]2+m2=42,解得:m1=3,m2=﹣3,∴点A的坐标为(1,3)或(1,﹣3).当点A的坐标
为(1,3)时,将A(1,3),M(2,0)代入y=a1x2+b1x,得:,解得:,∴对称抛物线C1的解析式为y=﹣3x2+23x;当点A的坐标为(1,﹣3)时,将A(1,﹣3),M(2,0)代入y=a
1x2+b1x,得:,解得:,∴对称抛物线C1的解析式为y=3x2﹣23x;∵点A,B关于原点O对称,∴点B的坐标为(﹣1,﹣3)或(﹣1,3),同理,可得出对称抛物线C2的解析式为y=3x2+23x或y=﹣3x2﹣23x.综上所述,对称抛物线C1和C2的解析式为y=﹣3x2+23
x,y=3x2+23x或y=3x2﹣23x,y=﹣3x2﹣23x.6.如图,抛物线y=ax2+3x+c与x轴交于点A,B,直线y=x+1与抛物线交于点A,C(3,n).点P为对称轴左侧抛物线上一动点,其横坐标为m.(1)求
抛物线的解析式及其顶点的坐标.(2)已知直线l:x=m+5与直线AC交于点D,过点P(横坐标为m),作PE⊥l于点E,以PE,DE为边作矩形PEDF.①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时,m的取值范围为(请直接写出)②在①的条件下,求矩形PEDF的周长的最小值.【答案解析】解:(1
)∵y=x+1,当y=0时,x=﹣1,∴A(﹣1,0).∵直线y=x+1与抛物线交于点A,C(3,n).将C(3,n)代入y=x+1,得n=3+1=4,∴C(3,4).将A(﹣1,0),C(3,4)分别代入y=ax2+3x+c,得,解得,,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4.∵,∴抛物线
的顶点坐标为;(2)①14<m<32,由题意可知,P(m,﹣m2+3m+4),E(m+5,﹣m2+3m+4),D(m+5,m+6).∵抛物线的顶点在矩形PEDF内部,可得:,解得:,故答案为:14<m<32;②DF=PE=(5+m)﹣m=5,DE=m+6﹣(﹣m2+3m+4)=m
2﹣2m+2=(m﹣1)2+1.∵14<m<32,∴当m=1时,DE最小,最小值为1,∴矩形PEDF周长的最小值为2×1+2×5=12.7.已知二次函数y=﹣12x2+nx﹣12n2+2n﹣3,点A、点B均在此二次函数的图象上,点A的横坐标为n﹣1,点B的横坐标为2n﹣2,在点A和点B之间的图
象为G.(1)当n=2时,①求二次函数图象的顶点坐标;②当﹣1≤x≤3时,求y的取值范围.(2)AB所在的直线交y轴于点C,过点A作AD⊥y轴于点D,以AD、CD为邻边构造矩形ADCE,直接写出当抛物线的顶点落在矩形ADCE的边上时n的值.(3)当
图象G上存在两个点到直线y=3n﹣4的距离为3,直接写出满足条件的n的取值范围.【答案解析】解:(1)①当n=2时,y=﹣12x2+2x﹣1=﹣12(x﹣2)2+1,∴顶点为(2,1);②∵﹣1≤x≤3,∴当x
=﹣1时,函数有最小值﹣3.5,当x=2时,函数有最大值1,∴﹣3.5≤y≤1;(2)∵y=﹣12x2+nx﹣12n2+2n﹣3=﹣12(x﹣n)2+2n﹣3,∴顶点为(n,2n﹣3),∵点A的横坐标为n﹣1,∴A(n﹣1,2n﹣3.5),∵点B的横坐标为2n﹣2,∴B(2n﹣2,12n2+4n
﹣5),∵AD⊥y轴,∴D(0,2n﹣3.5),设直线AB的解析式为y=kx+b,∴,解得,∴y=(32﹣12n)x+12n2﹣2,∴C(0,12n2﹣2),∵以AD、CD为邻边构造矩形ADCE,∴E(n﹣1,12n2﹣2),当n﹣1>0时,顶点在直线AE的右侧,此时顶点不
能落在矩形ADCE的边上;当n﹣1<0,即n<1,顶点在CD边上时,n=0;(3)如图1,当2n﹣2≥n,即n≥2时,2n﹣72≥12n2+4n﹣5,解得n≥3或n≤1,∴当n≥3时,3n﹣4﹣2n+72≥3,3n﹣4﹣2n+3<3时,解得72≤n<4时,图象G
上存在两个点到直线y=3n﹣4的距离为3;如图2,当n﹣1>2n﹣2时,即n<1,2n﹣72﹣3n+4≥3,3n﹣4﹣(12n2+4n﹣5)≥3,解得n≤﹣52;综上所述:72≤n<4或n≤﹣52时,图象G上存在
两个点到直线y=3n﹣4的距离为3.8.九(1)班数学课题学习小组,为了研究学习二次函数问题,他们经历了实践一一应用一一探究的过程:(1)实践:他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量,测得隧道的路面宽为10m,隧道顶部最高处距地面6.25m,并画出了隧道截面图,建立了如图①所示的
直角坐标系,则该抛物线的解析式为.(2)应用:按规定,机动车辆通过隧道时,车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m.为了确保安全,问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙)?(3)探究:该
课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识,他们借助上述抛物线模型,提出了以下两个问题,请予解答:Ⅰ.如图②,在抛物线内作矩形ABCD,使顶点C、D落在抛物线上,顶点A、B落在x轴上.设矩形ABCD的周
长为l,求l的最大值.Ⅱ.如图③,过原点作一条y=x的直线OM,交抛物线于点M,交抛物线对称轴于点N,P为直线OM上一动点,过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q.问:在直线OM上是否存在点P,使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形?若存在,请求出P点
的坐标;若不存在,请说明理由.【答案解析】解:(1)根据坐标系可知此函数顶点坐标为(5,6.25),且图象过(10,0)点,代入顶点式得:y=a(x﹣5)2+6.25,∴0=a(10﹣5)2+6.25,解得:a=﹣0.25,∴y=﹣0.
25(x﹣5)2+6.25;故答案为:y=﹣0.25(x﹣5)2+6.25.(2)当最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时,∴10﹣3×2=4,4÷2=2,∴x=2代入解析式得:y=﹣0.25(2﹣5)2+6.25;y=4,4﹣3.5=0.5
,∴隧道能让最宽3m,最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶;(3)I.假设AO=x,可得AB=10﹣2x,∴AD=﹣0.25(x﹣5)2+6.25;∴矩形ABCD的周长为l为:l=2[﹣0.25(x﹣5)2+6.25]+2(10﹣2x)=
﹣0.5x2+x+20,∴l的最大值为:==20.5.Ⅱ如图④,当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形,∵P在y=x的图象上,过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q.∴∠POA=∠OPA=45°,∴Q点的纵坐标为5,∴5=,解得:m=5±5,如图⑤,当∠P3NQ3=90°时,过点Q3
作Q3K1⊥对称轴,当△NQ3K1为等腰直角三角形时,△NP3Q3为等腰直角三角形,Q点在OM的上方时,P3Q3=2Q3K1,P3Q3=﹣14x2+﹣x+52,Q3K1=5﹣x,Q点在OM的下方时,P4Q4=2Q4K
2,P4Q4=x﹣(﹣14x2+52),Q4K2=x﹣5,∴14x2﹣72x+10=0,解得:x1=4,x2=10,P3(4,4),P4(10,10).∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形,P
点的坐标为:(5﹣5,5﹣5)或(5+5,5+5)或(4,4)或(10,10).9.如图;已知抛物线y=ax2+3x+c与直线y=x+1交于两点A,B(3,n),且点A在x轴上.(1)求a,c,n的值;(2)设点P在抛物线上,其横坐标为m.直线l:x=m+5与直线AB交于点C,过点P作PD
⊥l于点D,以PD,CD为边作矩形PDCE,使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部.①直接写出:m的取值范围是;②求PD+CD的最小值.【答案解析】解:(1)对直线y=x+1,当x=3时,n=4,当y=0时,x=﹣1,∴点A(﹣1,0),B
(3,4),将点A和点B的坐标代入抛物线y=ax2+3x+c,得,解得:.(2)①∵a=﹣1,c=4,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4=﹣(x﹣32)2+254,∴P的坐标为(m,﹣m2+3m+4),顶点坐标为(32,254),∴点D的坐标为(m+5,﹣m2+3m+
4),∵直线l:x=m+5与直线AB交于点C,∴C(m+5,m+6),∵抛物线的顶点在矩形PDCE内部,∴,解得:14<m<32,∴m的取值范围为14<m<32.②∵P的坐标为(m,﹣m2+3m+4),点D的坐标
为(m+5,﹣m2+3m+4),C(m+5,m+6),∴PD=5,CD=m+6﹣(﹣m2+3m+4)=m2﹣2m+2,∴PD+CD=m2﹣2m+2+5=(m﹣1)2+6,∴当m=1时,PD+CD的最小值为6.10.已知
抛物线L:y=﹣x2+4x+a(a≠0).(1)抛物线L的对称轴为直线.(2)当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时,求a的取值范围.(3)当a<0时,直线x=a、x=﹣3a与抛物线L分别交于点A、C,以线段
AC为对角线作矩形ABCD,且AB⊥y轴.若抛物线L在矩形ABCD内部(包含边界)最高点的纵坐标等于2,求矩形ABCD的周长.(4)点M的坐标为(4,﹣1),点N的坐标为(﹣1,﹣1),当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点,直接写出a的取值范围.【答案解析】解:(1)∵y=﹣x2+4x+a=
﹣(x﹣2)2+4+a,∴抛物线的对称轴为直线x=2,故答案为:x=2;(2)∵抛物线开口向下,∴y=﹣3与抛物线有两个不同的交点,∵抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个,∴﹣3<4+a<3,即﹣7<a<﹣1;
(3)由题意可知A(a,﹣a2+5a),B(﹣3a,﹣a2+5a),C(﹣3a,﹣9a2﹣11a),D(a,﹣9a2﹣11a),由题意可得﹣9a2﹣11a=2,解得a=﹣1或a=﹣29,当a=﹣29时,AB=﹣4a=89,AD=﹣9a2﹣11a+a2﹣5a=﹣
8a2﹣16a=,∴矩形ABCD的周长=2×(+)=;当a=﹣1时,AB=4,AD=8,∴矩形ABCD的周长=2×(4+8)=24;综上所述:矩形ABCD的周长为24或;(4)当a>0时,界点(﹣1,﹣5+a)在点N处或
下方满足条件,此时﹣5+a≤﹣1,所以0<a≤4当a<0时,若界点(4,a)在x轴下方,MN上方,且界点(﹣1,﹣5+a)在点N处或其下方满足条件,解得﹣1<a<0,若顶点(2,4+a)与MN相切,满足条件,此时4+a=﹣1,解得a=﹣5.综上,﹣1<a≤4且a≠0或a=﹣5.