【文档说明】中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与矩形存在性问题（教师版）.doc，共(19)页，452.510 KB，由MTyang资料小铺上传

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中考数学二轮压轴培优专题二次函数与矩形存在性问题1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2＋bx＋32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l

上的一点，其纵坐标为﹣m＋32．以PQ，QM为边作矩形PQMN．(1)求抛物线的解析式；(2)当点Q与点M重合时，求m的值；(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．【答案解析】解

：(1)当x＝2时，y＝﹣32．∴点B的坐标为(2，﹣32)，当y＝0时，12x2﹣x﹣32＝0．解得x1＝﹣1，x2＝3．∵抛物线y＝12x2﹣x﹣32与x轴正半轴交于点A，∴点A的坐标为(3，0)．由题意，得，解得，∴直线AB对应的函数关

系式为y＝32x﹣92．(2)当点P与点A重合时，m＋1＝3．解得m＝2．∴2m＝4．∵点D的纵坐标为1．∴点E的坐标为(4，1)．(3)将y＝12x2﹣x﹣32配方，得y＝12(x﹣1)2﹣2．∴抛物线的顶点坐标为

(1，﹣2)．由题意，得点E的坐标为(2m,12m2﹣1)．∵点E在该抛物线上，∴．解得，．当2m＜1时，即m<12，顶点(1，﹣2)在EF的右边．∵，∴抛物线的顶点到EF的距离为．当2m＞1时，即m>12，顶点(1，﹣2)在EF的左边．∵，∴抛物线的顶点到

EF的距离为．综上所述，抛物线的顶点到EF的距离为或．(4)当点F(2m，32m﹣3)在抛物线上时，32m﹣3＝2m2﹣2m﹣32，解得m＝34或1，当E在抛物线上时，m＝，当点P与A重合时，m＝2，观察图1，图2，图3可知，当或或m≥2时，矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交．也可以写成：当或

m≠1或m≥2时，矩形CDEF的一组邻边与该抛物线相交．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2＋bx＋32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横

坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m＋32．以PQ，QM为边作矩形PQMN．(1)求b的值．(2)当点Q与点M重合时，求m的值．(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．(4)当抛物

线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．【答案解析】解：(1)把点A(3，0)代入y＝﹣12x2＋bx＋32，得到0＝﹣92＋3b＋32，解得b＝1．(2)∵抛物线的解析式为y＝﹣12x2＋x＋32，∴P(m，﹣12m2

＋m＋32)，∵M，Q重合，∴﹣m＋32＝﹣12m2＋m＋32，解得m＝0或4．(3)y＝﹣12x2＋x＋32＝﹣12(x﹣1)2＋2，∴抛物线的顶点坐标为(1，2)，由题意PQ＝MQ，且抛物线的顶点在该正方形内部，∴3﹣m＝﹣m＋32﹣(﹣12m2＋m＋32)且﹣m＋32＞

2，得m＜﹣12解得m＝1﹣7或1＋7(不合题意舍弃)，∴m＝1﹣7．(4)当点P在直线l的左边，点M在点Q下方时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，则有﹣m＋32＜﹣12m2＋m＋32，∴m2﹣4m＜0，解得0＜m＜4，观察图象可知．当0＜

m＜3时，抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，如图4﹣1中，当3＜m＜4时，抛物线不在矩形PQMN内部，不符合题意，当m＞4时，点M在点Q的上方，也满足条件，如图4﹣2中，综上所述，满足条件的m的值为

0＜m＜3或m＞4．3.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b、c是常数)经过点(0，﹣1)和(2，7)，点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．(1)求此抛物线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．(2)

点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧)，点B的横坐标为﹣1﹣2m．①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G，当顶点C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与

m之间的函数关系式．(3)设点D的坐标为(m，2﹣m)，点E的坐标为(1﹣m，2﹣m)，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写出m的取值范围．【答案解析】解：(1)把(0，﹣1)和(2，7)代入y＝x2＋bx＋c，得：，解得：，∴抛物线对应的函数表

达式为：y＝x2＋2x﹣1，∵y＝x2＋2x﹣1＝(x＋1)2﹣2，∴顶点C的坐标为(﹣1，﹣2)；(2)①当x＝﹣1﹣2m时，y＝(﹣1﹣2m＋1)2﹣2＝4m2﹣2，∴B(﹣1﹣2m，4m2﹣2)．当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，则AC＝BC，又∵点C

在抛物线对称轴x＝﹣1上，∴点A、点B关于直线x＝﹣1对称，∴A(2m﹣1，4m2﹣2)，∵点A的横坐标为m，∴2m﹣1＝m，解得：m＝1，∴A(1，2)，B(﹣3，2)，∵由(1)得，C(﹣1，﹣2)，∴S△ABC

＝12[1﹣(﹣3)]×[2﹣(﹣2)]＝8；②∵A(m，(m＋1)2﹣2)，B(﹣1﹣2m，4m2﹣2)．∴当点A是最高点，即m＞1或m＜﹣13时，则h＝(m＋1)2﹣2﹣(﹣2)＝(m＋1)2；当点B是最高点，即﹣13＜m＜1时，则h＝4m2﹣2﹣(﹣2)＝4m2，综上

，h与m之间的函数关系式为：h＝(m＋1)2(m＞1或m＜﹣13)或h＝4m2(﹣13＜m＜1)；(3)①当m＜﹣1时，则2﹣m＞3，1﹣m＞2，如图：此时矩形ADEF与抛物线有3个交点；②当﹣1≤m≤1时，则1≤2﹣m≤3，0≤1

﹣m≤2，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；③当1＜m＜2时，则0＜2﹣m＜1，﹣1＜1﹣m＜0，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；④当2＜m＜3时，则﹣1＜2﹣m＜0，﹣2＜1﹣m＜﹣1，如图：此时矩形ADEF与抛物线有2个交点；⑤当3≤m＜4时，则﹣2＜2﹣m≤﹣1

，﹣3＜1﹣m≤﹣2，如图：此时矩形ADEF与抛物线有4个交点；⑥当m＝4时，则2﹣m＝﹣2，1﹣m＝﹣3，如图：此时矩形ADEF与抛物线有3个交点(ED经过抛物线的顶点)；⑦当m＞4时，则2﹣m＜﹣2，1﹣m＜﹣3，如图：此时矩形ADEF与抛物线有

2个交点．综上，当m≤﹣1或m＝4时，抛物线与矩形有3个交点．4.如图1，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点

P的横坐标为m．(1)求抛物线的表达式；(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，

使原点O关于直线CQ的对称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，∴，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣14x2＋x＋

3；(2)∵抛物线y＝﹣14x2＋x＋3与y轴交于点C，∴C(0，3)，设直线BC的解析式为y＝kx＋b，把B(6，0)、C(0，3)代入，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣12x＋3，设点P的横坐标为m，则P(m，﹣14m2＋m＋3)，E(m，﹣12m＋3)，∴h＝

﹣14m2＋m＋3﹣(﹣12m＋3)＝﹣14m2＋32m，∵点P是第一象限内抛物线上的一个动点，∴0＜m＜6，∴h＝﹣14m2＋32m(0＜m＜6)；(3)如图，过点E、F分别作EH⊥y轴于点H，FG⊥y轴于点G，∵P(m，﹣14m2＋m＋3)，

E(m，﹣12m＋3)，∴PE＝﹣14m2＋32m，∵PF⊥CE，∴∠EPF＋∠PEF＝90°，∵PD⊥x轴，∴∠EBD＋∠BED＝90°，又∵∠PEF＝∠BED，∴∠EPF＝∠EBD，∵∠BOC＝∠PFE＝90°，∴△BOC∽△PFE，∴＝，在Rt△BOC中，BC＝

35，∴EF＝55(﹣14m2＋32m)，∵EH⊥y轴，PD⊥x轴，∴∠EHO＝∠EDO＝∠DOH＝90°，∴四边形ODEH是矩形，∴EH＝OD＝m，∵EH∥x轴，∴△CEH∽△CBO，∴＝，即＝，∴CE＝52m，∵CF＝EF，∴EF＝CE＝m，∴m＝(﹣14m2＋

32m)，解得：m＝0或m＝1，∵0＜m＜6，∴m＝1；(4)∵抛物线y＝﹣14x2＋x＋3，∴抛物线对称轴为直线x＝2，∵点Q在抛物线的对称轴上，∴设Q(2，t)，设抛物线对称轴交x轴于点H，交CP边于点G，则GQ＝3﹣t，

CG＝2，∠CGQ＝90°，①当点O′恰好落在该矩形对角线OD所在的直线上时，如图，则CQ垂直平分OO′，即CQ⊥OD，∴∠COP＋∠OCQ＝90°，又∵四边形OCPD是矩形，∴CP＝OD＝4，OC＝3，∠OCP＝90°，∴∠PCQ＋∠OCQ＝90°，

∴∠PCQ＝∠COP，∴tan∠PCQ＝tan∠COP＝＝，∴＝tan∠PCQ＝，∴＝，解得：t＝，∴Q(2，13)；②当点O′恰好落在该矩形对角线CD上时，如图，连接CD交GH于点K，∵点O与点O′关于直线CQ对称，∴CQ垂

直平分OO′，∴∠OCQ＝∠DCQ，∵GH∥OC，∴∠CQG＝∠OCQ，∴∠DCQ＝∠CQG，∴CK＝KQ，∵C、P关于对称轴对称，即点G是CP的中点，GH∥OC∥PD，∴点K是CD的中点，∴K(2，32)，∴GK＝32，∴CK＝KQ＝32﹣t，在Rt△CKG中，CG2＋GK2＝

CK2，∴22＋(32)2＝(32﹣t)2，解得：t1＝1(舍去)，t2＝﹣1，∴Q(2，﹣1)；③当点O′恰好落在该矩形对角线DC延长线上时，如图，过点O′作O′K⊥y轴于点K，连接OO′交CQ于点M，∵点O与点O′关于直线CQ对称，∴CQ垂直平分OO′，∴∠OCM＝∠O′CM

，∠OMC＝∠O′MC＝90°，O′C＝OC＝3，∵∠O′KC＝∠DOC＝90°，∠O′CK＝∠DCO，∴△O′CK∽△DCO，∴＝＝，即＝＝，∴O′K＝125，CK＝95，∴OK＝OC＋CK＝3＋95＝245，∴O′(﹣125，245)，∵点M是OO′的中点，∴M(﹣65，12

5)，设直线CQ的解析式为y＝k′x＋b′，则，解得：，∴直线CQ的解析式为y＝12x＋3，当x＝2时，y＝12×2＋3＝4，∴Q(2，4)；综上所述，点Q的坐标为(2，13)或(2，﹣1)或(2，4)．5.如图，已知抛物线C1：y＝a1x2＋b1x＋1c和C2：y＝a2x2＋b2x＋c

2(|a1|＝|a2|)都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果四边形ANBM是平行四边形，则称抛物线C1和C2为对称抛物线．(1)观察图象，写出对称抛物线两条特征；(如：抛物线开口大小相同)(2)若抛物线C1的解析式为y＝﹣x2＋

2x，确定对称抛物线C2的解析式．(3)若MN＝4，且四边形ANBM是矩形时，确定对称抛物线C1和C2的解析式．【答案解析】解：(1)观察函数图象，可得出对称抛物线的特征：点M，N关于原点O对称；两抛物线的顶点坐标

关于原点O对称．(2)∵抛物线C1的解析式为y＝﹣x2＋2x，∴点A的坐标为(1，1)，∴点B的坐标为(﹣1，﹣1)；当y＝0时，﹣x2＋2x＝0，解得：x1＝0，x2＝2，∴点M的坐标为(2，0)，∴点N的坐标为(﹣2，0).将B(﹣1，﹣1)，N(﹣2，0)代入y＝a2x2

＋b2x中，得：，解得：，∴对称抛物线C2的解析式为y＝x2＋2x．(3)∵MN＝4，∴OM＝12MN＝12×4＝2，∴抛物线C1的对称轴为直线x＝1，点M的坐标为(2，0)，∴点N的坐标为(﹣2，0)．设点A的坐标为(1，m)，则AM2＝(1﹣2)

2＋m2，AN2＝[1﹣(﹣2)]2＋m2．∵四边形ANBM是矩形，∴△AMN为直角三角形，∴AM2＋AN2＝MN2，即(1﹣2)2＋m2＋[1﹣(﹣2)]2＋m2＝42，解得：m1＝3，m2＝﹣3，∴点A的坐标为(1，3)或(1，﹣3)．当点A的坐标

为(1，3)时，将A(1，3)，M(2，0)代入y＝a1x2＋b1x，得：，解得：，∴对称抛物线C1的解析式为y＝﹣3x2＋23x；当点A的坐标为(1，﹣3)时，将A(1，﹣3)，M(2，0)代入y＝a

1x2＋b1x，得：，解得：，∴对称抛物线C1的解析式为y＝3x2﹣23x；∵点A，B关于原点O对称，∴点B的坐标为(﹣1，﹣3)或(﹣1，3)，同理，可得出对称抛物线C2的解析式为y＝3x2＋23x或y＝﹣3x2﹣23x．综上所述，对称抛物线C1和C2的解析式为y＝﹣3x2＋23

x，y＝3x2＋23x或y＝3x2﹣23x，y＝﹣3x2﹣23x．6.如图，抛物线y＝ax2＋3x＋c与x轴交于点A，B，直线y＝x＋1与抛物线交于点A，C(3，n)．点P为对称轴左侧抛物线上一动点，其横坐标为m．(1)求

抛物线的解析式及其顶点的坐标．(2)已知直线l：x＝m＋5与直线AC交于点D，过点P(横坐标为m)，作PE⊥l于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF．①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，m的取值范围为(请直接写出)②在①的条件下，求矩形PEDF的周长的最小值．【答案解析】解：(1

)∵y＝x＋1，当y＝0时，x＝﹣1，∴A(﹣1，0)．∵直线y＝x＋1与抛物线交于点A，C(3，n)．将C(3，n)代入y＝x＋1，得n＝3＋1＝4，∴C(3，4)．将A(﹣1，0)，C(3，4)分别代入y＝ax2＋3x＋c，得，解得，，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋3x＋4．∵，∴抛物线

的顶点坐标为；(2)①14<m<32，由题意可知，P(m，﹣m2＋3m＋4)，E(m＋5，﹣m2＋3m＋4)，D(m＋5，m＋6)．∵抛物线的顶点在矩形PEDF内部，可得：，解得：，故答案为：14<m<32；②DF＝PE＝(5＋m)﹣m＝5，DE＝m＋6﹣(﹣m2＋3m＋4)＝m

2﹣2m＋2＝(m﹣1)2＋1．∵14<m<32，∴当m＝1时，DE最小，最小值为1，∴矩形PEDF周长的最小值为2×1＋2×5＝12．7.已知二次函数y＝﹣12x2＋nx﹣12n2＋2n﹣3，点A、点B均在此二次函数的图象上，点A的横坐标为n﹣1，点B的横坐标为2n﹣2，在点A和点B之间的图

象为G．(1)当n＝2时，①求二次函数图象的顶点坐标；②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．(2)AB所在的直线交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，直接写出当抛物线的顶点落在矩形ADCE的边上时n的值．(3)当

图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3，直接写出满足条件的n的取值范围．【答案解析】解：(1)①当n＝2时，y＝﹣12x2＋2x﹣1＝﹣12(x﹣2)2＋1，∴顶点为(2，1)；②∵﹣1≤x≤3，∴当x

＝﹣1时，函数有最小值﹣3.5，当x＝2时，函数有最大值1，∴﹣3.5≤y≤1；(2)∵y＝﹣12x2＋nx﹣12n2＋2n﹣3＝﹣12(x﹣n)2＋2n﹣3，∴顶点为(n，2n﹣3)，∵点A的横坐标为n﹣1，∴A(n﹣1，2n﹣3.5)，∵点B的横坐标为2n﹣2，∴B(2n﹣2，12n2＋4n

﹣5)，∵AD⊥y轴，∴D(0，2n﹣3.5)，设直线AB的解析式为y＝kx＋b，∴，解得，∴y＝(32﹣12n)x＋12n2﹣2，∴C(0，12n2﹣2)，∵以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，∴E(n﹣1，12n2﹣2)，当n﹣1＞0时，顶点在直线AE的右侧，此时顶点不

能落在矩形ADCE的边上；当n﹣1＜0，即n＜1，顶点在CD边上时，n＝0；(3)如图1，当2n﹣2≥n，即n≥2时，2n﹣72≥12n2＋4n﹣5，解得n≥3或n≤1，∴当n≥3时，3n﹣4﹣2n＋72≥3，3n﹣4﹣2n＋3＜3时，解得72≤n＜4时，图象G

上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3；如图2，当n﹣1＞2n﹣2时，即n＜1，2n﹣72﹣3n＋4≥3，3n﹣4﹣(12n2＋4n﹣5)≥3，解得n≤﹣52；综上所述：72≤n＜4或n≤﹣52时，图象G上存在

两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3．8.九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的

直角坐标系，则该抛物线的解析式为．(2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车之间的空隙)？(3)探究：该

课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周

长为l，求l的最大值．Ⅱ．如图③，过原点作一条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点

的坐标；若不存在，请说明理由．【答案解析】解：(1)根据坐标系可知此函数顶点坐标为(5，6.25)，且图象过(10，0)点，代入顶点式得：y＝a(x﹣5)2＋6.25，∴0＝a(10﹣5)2＋6.25，解得：a＝﹣0.25，∴y＝﹣0.

25(x﹣5)2＋6.25；故答案为：y＝﹣0.25(x﹣5)2＋6.25．(2)当最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶时，∴10﹣3×2＝4，4÷2＝2，∴x＝2代入解析式得：y＝﹣0.25(2﹣5)2＋6.25；y＝4，4﹣3.5＝0.5

，∴隧道能让最宽3m，最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶；(3)I．假设AO＝x，可得AB＝10﹣2x，∴AD＝﹣0.25(x﹣5)2＋6.25；∴矩形ABCD的周长为l为：l＝2[﹣0.25(x﹣5)2＋6.25]＋2(10﹣2x)＝

﹣0.5x2＋x＋20，∴l的最大值为：＝＝20.5．Ⅱ如图④，当以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，∵P在y＝x的图象上，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．∴∠POA＝∠OPA＝45°，∴Q点的纵坐标为5，∴5＝，解得：m＝5±5，如图⑤，当∠P3NQ3＝90°时，过点Q3

作Q3K1⊥对称轴，当△NQ3K1为等腰直角三角形时，△NP3Q3为等腰直角三角形，Q点在OM的上方时，P3Q3＝2Q3K1，P3Q3＝﹣14x2＋﹣x＋52，Q3K1＝5﹣x，Q点在OM的下方时，P4Q4＝2Q4K

2，P4Q4＝x﹣(﹣14x2＋52)，Q4K2＝x﹣5，∴14x2﹣72x＋10＝0，解得：x1＝4，x2＝10，P3(4，4)，P4(10，10)．∴使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形，P

点的坐标为：(5﹣5，5﹣5)或(5＋5，5＋5)或(4，4)或(10，10)．9.如图；已知抛物线y＝ax2＋3x＋c与直线y＝x＋1交于两点A，B(3，n)，且点A在x轴上．(1)求a，c，n的值；(2)设点P在抛物线上，其横坐标为m．直线l：x＝m＋5与直线AB交于点C，过点P作PD

⊥l于点D，以PD，CD为边作矩形PDCE，使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部．①直接写出：m的取值范围是；②求PD＋CD的最小值．【答案解析】解：(1)对直线y＝x＋1，当x＝3时，n＝4，当y＝0时，x＝﹣1，∴点A(﹣1，0)，B

(3，4)，将点A和点B的坐标代入抛物线y＝ax2＋3x＋c，得，解得：．(2)①∵a＝﹣1，c＝4，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋3x＋4＝﹣(x﹣32)2＋254，∴P的坐标为(m，﹣m2＋3m＋4)，顶点坐标为(32,254)，∴点D的坐标为(m＋5，﹣m2＋3m＋

4)，∵直线l：x＝m＋5与直线AB交于点C，∴C(m＋5，m＋6)，∵抛物线的顶点在矩形PDCE内部，∴，解得：14＜m＜32，∴m的取值范围为14＜m＜32．②∵P的坐标为(m，﹣m2＋3m＋4)，点D的坐标

为(m＋5，﹣m2＋3m＋4)，C(m＋5，m＋6)，∴PD＝5，CD＝m＋6﹣(﹣m2＋3m＋4)＝m2﹣2m＋2，∴PD＋CD＝m2﹣2m＋2＋5＝(m﹣1)2＋6，∴当m＝1时，PD＋CD的最小值为6．10.已知

抛物线L：y＝﹣x2＋4x＋a(a≠0)．(1)抛物线L的对称轴为直线．(2)当抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个时，求a的取值范围．(3)当a＜0时，直线x＝a、x＝﹣3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段

AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴．若抛物线L在矩形ABCD内部(包含边界)最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长．(4)点M的坐标为(4，﹣1)，点N的坐标为(﹣1，﹣1)，当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．【答案解析】解：(1)∵y＝﹣x2＋4x＋a＝

﹣(x﹣2)2＋4＋a，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，故答案为：x＝2；(2)∵抛物线开口向下，∴y＝﹣3与抛物线有两个不同的交点，∵抛物线L上到x轴的距离为3的点只有两个，∴﹣3＜4＋a＜3，即﹣7＜a＜﹣1；

(3)由题意可知A(a，﹣a2＋5a)，B(﹣3a，﹣a2＋5a)，C(﹣3a，﹣9a2﹣11a)，D(a，﹣9a2﹣11a)，由题意可得﹣9a2﹣11a＝2，解得a＝﹣1或a＝﹣29，当a＝﹣29时，AB＝﹣4a＝89，AD＝﹣9a2﹣11a＋a2﹣5a＝﹣

8a2﹣16a＝，∴矩形ABCD的周长＝2×(＋)＝；当a＝﹣1时，AB＝4，AD＝8，∴矩形ABCD的周长＝2×(4＋8)＝24；综上所述：矩形ABCD的周长为24或；(4)当a＞0时，界点(﹣1，﹣5＋a)在点N处或

下方满足条件，此时﹣5＋a≤﹣1，所以0＜a≤4当a＜0时，若界点(4，a)在x轴下方，MN上方，且界点(﹣1，﹣5＋a)在点N处或其下方满足条件，解得﹣1＜a＜0，若顶点(2，4＋a)与MN相切，满足条件，此时4＋a＝﹣1，解得a＝﹣5．综上，﹣1＜a≤4且a≠0或a＝﹣5．