【文档说明】中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与胡不归型最值问题（教师版）.doc，共(21)页，457.605 KB，由MTyang资料小铺上传

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中考数学二轮压轴培优专题二次函数与胡不归型最值问题1.在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于点A(﹣3，0)、B(1，0)，交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，连接AM，点E是线段AM

上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD＋PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ＋14OQ的最小值．【答案解析】解：(1)抛物线的

表达式为：y＝a(x＋3)(x﹣1)＝a(x2＋2x﹣3)＝ax2＋2ax﹣3a，即﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x＋3；(2)由抛物线的表达式得，点M(﹣1，4)，点N(0，3)，则tan∠MAC＝2，

则设直线AM的表达式为：y＝2x＋b，将点A的坐标代入上式并解得：b＝6，故直线AM的表达式为：y＝2x＋6，∵∠EFD＝∠DHA＝90°，∠EDF＝∠ADH，∴∠MAC＝∠DEF，则tan∠DEF＝2，则cos∠DEF＝55，设点E(x，﹣x2﹣2x

＋3)，则点D(x，2x＋6)，则FE＝EDcos∠DEF＝(﹣x2﹣2x＋3﹣2x﹣6)×55＝55(﹣x2﹣4x﹣3)，∵﹣55＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣2，故点D(﹣2，2)；①点C(﹣1

，0)关于y轴的对称点为点B(1，0)，连接BD交y轴于点P，则点P为所求点，PD＋PC＝PD＋PB＝DB为最小，则BD＝13；②过点O作直线OK，使sin∠NOK＝14，过点D作DK⊥OK于点K，交y轴于点Q，则点

Q为所求点，DQ＋14OQ＝DQ＋QK＝DK为最小值，则直线OK的表达式为：y＝15x，∵DK⊥OK，故设直线DK的表达式为：y＝﹣x＋b，将点D的坐标代入上式并解得：b＝2﹣，而直线DK的表达式为：y＝﹣x＋2﹣，故点Q(0，2﹣)，由直线KD的表达式知，QD与x轴负半轴的夹角(设为α)的正

切值为，则cosα＝，则DQ＝＝＝，而14OQ＝14(2﹣)，则DQ＋14OQ为最小值＝＋14(2﹣)＝．2.如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A(﹣1，0)，过B的

直线交y轴于点D，交抛物线于E，且tan∠ABE＝43．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得△BDP的面积最大，求出点P的坐标；(3)点M是线段BE上的一点，求AM＋45M

E的最小值，并求出此时点M的坐标．【答案解析】解：(1)抛物线y＝ax2＋bx﹣3与x轴交于A、B两点，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A(﹣1，0)，∴B(3，0)，∴，解得．∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．(2)∵B(3，0)，tan∠ABE＝43，∴OD＝4，即D(0，4

)．∴直线BE的解析式为：y＝﹣43x＋4．如图，过点P作PH⊥x轴，交AB于点H，设P(m，m2﹣2m﹣3)，则H(m，﹣43m＋4)，∴PH＝﹣43m＋4﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2＋23m＋7，∴S△BDP＝12×PH×3＝﹣32m2＋m＋212＝﹣

32(m﹣13)2＋323，∵﹣32＜0，∴当m＝13时，即P(13，﹣)时△BDP的面积最大．(3)如图，过点M作MS∥y轴，过点E作ES∥x轴，过A作AT⊥ES于点T，∵ES∥x轴，∴∠SEM＝∠EBA，∵tan∠EBA＝43，∴tan∠MES＝43，∴sin∠MES＝45，∴S

M＝45EM，∴AM＋45EM＝AM＋SM≥SA≥AT，∴AM＋45EM的最小值为AT．令x2﹣2x﹣3＝﹣43x＋4，解得x＝3(舍)或x＝﹣73，∴E(﹣73，)，∴AM＋45EM的最小值，此时M(﹣1，

163)．3.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴相交于点C(0，﹣2)，与x轴分别交于点B(3，0)和点A，且tan∠CAO＝1．(1)求抛物线解析式．(2)抛物线上是否存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，若存在，请求出点Q坐标，若不存在，

请说明理由；(3)抛物线的对称轴交x轴于点D，在y轴上是否存在一个点P，使22PC＋PD值最小，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【答案解析】解：(1)∵C(0，﹣2)，∴OC＝2，∵tan∠CAO＝1，∴＝1，∴OA＝2，A(﹣2，0)，将A(﹣2，0)，B(3，0)，C(0，

﹣2)代入y＝ax2＋bx＋c得：，解得，∴抛物线解析式为y＝13x2﹣13x﹣2；(2)存在一点Q，使得∠BAQ＝∠ABC，理由如下：过A作AM∥BC交y轴于M，交抛物线于Q，作M关于x轴的对称点M'，作直线AM'交抛物线于Q'，如图：∵AM∥BC，∴∠QAB＝∠ABC，即Q是满足题意的点，∵

B(3，0)，C(0，﹣2)，∴直线BC解析式是y＝23x﹣2，设直线AM解析式为y＝23x＋m，将A(﹣2，0)代入得﹣43＋m＝0，∴m＝43，∴直线AM解析式为y＝23x＋43，M(0，43)，解得(与A重合

，舍去)或，∴Q(5，143)，∵M、M'关于x轴对称，∴∠Q'AB＝∠QAB＝∠ABC，M'(0，﹣43)，∴Q'是满足题意的点，设直线AQ'为y＝kx﹣43，将A(﹣2，0)代入得﹣2k﹣43＝0，∴k＝﹣23，∴直线AQ'为y＝﹣23x﹣43，解得(舍去)或，∴Q(1

，﹣2)；综上所述，点Q坐标是(5，143)或(1，﹣2)；(3)在y轴上存在一个点P，使22PC＋PD值最小，理由如下：过P作PH⊥AC于H，过D作DH'⊥AC于H'，交y轴于P'，如图：∵y＝13x2﹣13x﹣2＝13(x﹣12)2﹣2512，∴抛物线对称轴是直线x＝12，∴D(12，0)，

∵OA＝OC＝2，∴△AOC是等腰直角三角形，∴∠OCA＝45°＝∠OAC，∴△PCH是等腰直角三角形，∴PH＝22PC，∴22PC＋PD最小即是PH＋PD最小，∴当P运动到P'，H和H'重合时，22PC＋PD的最小，最小值是DH'，∵∠OAC＝45°，DH'⊥AC，∴△ADH'是等腰直角三

角形，∴DH'＝22AD，∵A(﹣2，0)，D(12，0)，∴AD＝52，∴DH'＝542，即22PC＋PD的最小值是542．4.已知抛物线y＝x2﹣2x＋c交x轴于A，B两点，且点B的坐标为(3，0)，其对称轴交x轴于点C．(Ⅰ)求该抛物线

的顶点D的坐标；(Ⅱ)设P是线段CD上的一个动点(点P不与点C，D重合)．①过点P作y轴的垂线l交抛物线(对称轴右侧)于点Q，连接QB，QD，求△QBD面积的最大值；②连接PB，求PD＋5PB的最小值．【答案解析】解：(Ⅰ)

∵抛物线y＝x2﹣2x＋c经过点B(3，0)，∴9﹣6＋c＝0，解得c＝﹣3，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴抛物线的顶点D的坐标是(1，﹣4)；(Ⅱ)①过Q作QE

∥y轴交BD于E，如图：设直线BD解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，D(1，﹣4)代入得：，解得，∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，根据题意知Q在线段BD下方，设Q(m，m2﹣2m﹣3)，其中1＜m＜

3，则E(m，2m﹣6)，∴EQ＝2m﹣6﹣(m2﹣2m﹣3)＝﹣m2＋4m﹣3，∴S△QBD＝12EQ|xB﹣xD|＝12(﹣m2＋4m﹣3)×(3﹣1)＝﹣m2＋4m﹣3＝﹣(m﹣2)2＋1，∵﹣1＜0，1＜m＜3，∴m＝2时，S△QBD最大值为1，答：△QBD面积的最大

值是1；②连接AD，过A作AH⊥BD于H，过P作PF⊥BD于F，连接AP，如图：∵P在抛物线对称轴上，∴PA＝PB，在Rt△DBC中，BD＝25，∴sin∠BDC＝55，在Rt△DPF中，PF＝PDsin∠PDF＝55PD，∴PD＋5P

B＝5(55PD＋PB)＝5(PF＋PA)≥5AH，由2S△ABD＝ABCD＝BDAH得：AH＝855，∴PD＋5PB≥5×855＝8，即PD＋5PB的最小值是8．5.如图，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a(a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点

B的直线y＝﹣33x＋433与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点P(x，y)在该二次函数的图象上，且S△BCD＝S△ABP，求点P的坐标；(3)设F为线段BD上的

一个动点(异于点B和D)，连接AF．是否存在点F，使得2AF＋DF的值最小？若存在，分别求出2AF＋DF的最小值和点F的坐标，若不存在，请说明理由．【答案解析】解：把x＝﹣5代入y＝﹣33x＋433，解得y＝33，∴D(﹣5，33)，把D(﹣5，

33)代入y＝ax2﹣2ax﹣8a，解得a＝，∴抛物线的解析式为；(2)设直线BD与y轴交于点E，∴E(0，433)，由可得A(﹣2，0)，B(4，0)，C(0，)，由S△BCD＝S△ABP，∴12CE|xB﹣xD|＝12AB|yP|，∴

(﹣)×(4＋5)＝(4＋2)×|yP|，∴|yP|＝1033，∴yP＝±1033，∵抛物线的顶点为(1，﹣3)，∴yP＝1033，∴P点坐标为或；(3)存在点F，使得2AF＋DF的值最小，理由如下：过点D作DM平行于x轴，故∠BDM＝30°，过F作FH

⊥DM于H，∴sin30°＝12，∴HF＝12DF，∴2AF＋DF＝2(AF＋12DF)＝2(AF＋HF)＝2AH，当A、F、H三点共线时，即AH⊥DM时，2AF＋DF取最小值，∵A(﹣2，0)，∴F(﹣2，23)，∵D(﹣5，33)，∴AH＝33，∴

2AF＋DF的最小值为63．6.如图，抛物线y＝﹣2x2﹣62x＋72交x轴于A，B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，直线y＝2x＋72经过点A、C，点M是线段AC上的一动点(不与点A，C重合)．(1)求A，B两点的坐标；(2)当点P，C关于抛物线

的对称轴对称时，求PM＋63AM的最小值及此时点M的坐标；(3)连接BC，当△AOM与△ABC相似时，求出点M的坐标．【答案解析】解：(1)在y＝﹣x22﹣62x＋72中，令y＝0得：﹣2x2﹣62x＋7

2＝0，解得x＝﹣7或x＝1，∴A(﹣7，0)，B(1，0)；(2)过P作PN⊥x轴于N，交AC于M，如图：抛物线y＝﹣2x2﹣62x＋72的对称轴为直线x＝﹣3，在y＝﹣2x2﹣62x＋72中，令x＝0得y＝72，∴C(0，72)，∴AC＝73，

∴sin∠CAB＝63，在Rt△AMN中，MN＝AMsin∠CAB＝63AM，∴PM＋63AM最小，即是PM＋MN最小，由垂线段最短可知PM＋63AM的最小值即为PN的长，∵点P，C(0，72)关于抛物

线的对称轴直线x＝﹣3对称，∴PN与OC关于抛物线y＝﹣2x2﹣62x＋72的对称轴直线x＝﹣3对称，P(﹣6，72)，∴PN＝OC＝72，即PM＋63AM的最小值为72，由A(﹣7，0)，C(0，7

2)得直线AC解析式为y＝2x＋72，在y＝2x＋72中，令x＝﹣6得y＝2，∴M(﹣6，2)；(3)过M作MH⊥x轴于H，过M'作M'G⊥x轴于G，如图：∵A(﹣7，0)，B(1，0)，C(0，72)，∴AB＝8，AC＝73，∵∠MAO＝∠

BAC，∴△AOM与△ABC相似，分两种情况：①当△ABC∽AMO时，＝，∴＝，∴AM＝，∵MH⊥x轴，∴MH∥OC，∴△AMH∽△ACO，∴＝＝，即＝，∴AH＝，MH＝，∴OH＝OA﹣AH＝133，∴M(﹣，)，②当△ABC∽△AOM'时，∴＝，即＝，∴AM'＝，同理可得＝＝，∴＝，∴AG

＝，M'G＝，∴OG＝OA﹣AG＝，∴M'(﹣，)，综上所述，当△AOM与△ABC相似时，M坐标为(﹣，)或(﹣，)．7.如图所示，已知抛物线y＝﹣12x2﹣32x＋c与x轴交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点C，点A在点

B的左侧，且满足tan∠CABtan∠CBA＝1．(1)求A、B两点的坐标；(2)若点P是抛物线y＝﹣12x2﹣32x＋c上一点，且△PAC的内切圆的圆心正好落在x轴上，求点P的坐标；(3)若M为线段AO上任意一点，求MC＋55AM的最小值．【答案解析】解

：(1)设点A、B的横坐标分别为x1，x2，令y＝0可得﹣12x2﹣32x＋c＝0，∴x1x2＝﹣2c，∵tan∠CABtan∠CBA＝1，∴OC2＝OAOB＝(﹣x1)x2＝2C，即c2＝2c，解得c1

＝0(舍去)，c2＝2，∴抛物线y＝﹣12x2﹣32x＋2，令y＝0解得，x1＝﹣4，x2＝1，故点A(﹣4，0)，点B(1，0)；(2)△PAC的内切圆圆心正好落在x轴上，则x轴为∠CAP的角平分线，作点C关于x轴的对称点C'(0，﹣2)，设直线AC'的解析式为y＝kx＋b，将点A(﹣4，

0)，C'(0，﹣2)代入，得，解得，∴直线AC'的解析式为y＝x﹣2，联立抛物线与直线得，解得，，故点P坐标(2，﹣3)；(3)过点A作直线AD，使sin∠OAD＝55，过点M作ME⊥AD于点E，如图，在Rt△MAE中，s

in∠OAD＝55，∴ME＝55AM，∴MC＋55AM＝MC＋ME，当点M、C、E三点共线时，MC＋ME最小为CE，∵∠OMC＝∠EMA．∠MEA＝∠COM，∴∠EAM＝∠OCM，在Rt△OCM中，sin∠OCM＝sin∠OAD＝55，OC＝2，∴tan∠

OCM＝12，cos∠OAD＝255，∴OM＝1，CM＝5，∴AM＝4﹣1＝3，在Rt△AEM中，sin∠OAD＝55，AM＝3，∴EM＝3sin∠OAD＝355，∴MC＋ME＝355＋5＝855．故MC＋55AM的最小值855．8.已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a

与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC＝32OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，点E(m，n)为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点

，连接EF，当PA＝2PE时，求12EF＋510BF的最小值．(3)如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．【答案解析】解：(1)在y＝a

x2﹣4ax﹣12a中，令y＝0得ax2﹣4ax﹣12a＝0，解得x1＝﹣2，x2＝6，∴OA＝2，∵OC＝32OA，∴OC＝3，即C(0，3)，将C(0，3)代入y＝ax2﹣4ax﹣12a得a＝﹣14，∴抛物线的解析式为y＝﹣14x2＋x＋3；(2)过E作EH⊥x轴于

H，交BC于F'，过F作FQ⊥x轴于Q，如图：∵y＝﹣14x2＋x＋3对称轴为直线x＝2，∴P横坐标为2，即ON＝2，∴AN＝2﹣(﹣2)＝4，∵AP＝2PE，∴AN＝2NH，∴NH＝2，∴E横坐标为4，在y＝﹣14x2＋x＋3中令x＝4得y＝3，∴E(

4，3)，由(1)可知：OC＝3，OB＝6，Rt△BOC中，BC＝35，∴sin∠CBO＝55，∵EH⊥x轴，∴Rt△BFQ中，sin∠CBO＝55，∴FQ＝55BF，而12EF＋510BF＝12(EF＋55BF)，∴12E

F＋510BF最小即是EF＋55BF最小，也是EF＋FQ最小，此时E、F、Q共线，即F与F'重合，Q与H重合，EH的长度即是EF＋55BF的最小值，∵EH＝|yE|＝3，∴EF＋55BF的最小值为3，∴12EF＋510BF的最小值为32；(3)将线段CQ向上平移，当Q落到抛物线

上的Q1处时，线段CQ与抛物线有两个交点，继续将线段向上平移，当线段与抛物线只有一个交点，Q移动到Q2处，如图：∵y＝﹣14x2＋x＋3顶点M(2，4)，又C(0，3)，∴CM的解析式为y＝12x＋3，由MQ⊥CM，设MQ解析式

为y＝﹣2x＋b，将M(2，4)代入得：4＝﹣2×2＋b，∴b＝8，∴MQ解析式为y＝﹣2x＋8，在y＝﹣2x＋8中令y＝0得x＝4，∴Q(4，0)，而C(0，3)，∴CQ解析式为y＝﹣34x＋3，将线段CQ向上平移t个单位长度，与C1Q1重合时，则Q1(4，t)，代入y

＝﹣14x2＋x＋3得：t＝﹣14×16＋4＋3＝3，将线段CQ向上平移t个单位长度，与C2Q2重合时，C2Q2解析式为y＝﹣34x＋3＋t，由只有一个解，可得﹣14x2＋74x﹣t＝0的判别式Δ＝0，即(74)2﹣4×(﹣14)(﹣t)＝0，解得t＝，∴将

线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，3≤t＜．9.已知抛物线y＝ax2＋bx(a，b为常数，a≠0)与x轴的正半轴交于点A，其顶点C的坐标为(2，4)．(Ⅰ)求抛物线的解析式；(Ⅱ)点P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△PAC面积的最大值；(Ⅲ)

点Q是抛物线对称轴上的一个动点，连接QA，求QC＋5QA的最小值．【答案解析】解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx顶点C的坐标为(2，4)，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x，(2)过P作PQ交AC于Q，如答图1：∵抛物线的解析式为y＝﹣x2＋4x，∴令y＝0得x1＝0

，x2＝4，∴A(4，0)，设直线AC解析式为y＝kx＋b，将A(4，0)、C(2，4)代入得：，解得，∴直线AC解析式为y＝﹣2x＋8，设P(m，﹣m2＋4m)，则Q(m，﹣2m＋8)，∴PQ＝(﹣

m2＋4m)﹣(﹣2m＋8)＝﹣m2＋6m﹣8，∴S△PAC＝S△PAQ＋S△PCQ＝12PQ(xA﹣xC)＝12(﹣m2＋6m﹣8)×(4﹣2)＝﹣m2＋6m﹣8，当m＝3时，S△PAC最大为1，∴△PAC面积的最大值是1；(3)∵QC＋5QA

＝5(55QC＋QA)，∴要使QC＋5QA最小，即是55QC＋QA最小，设抛物线对称轴交x轴于D，以C为顶点，CD为一边，在对称轴左侧作∠ECD，使sin∠ECD＝55，过A作AB⊥CB于B，交CD于Q′，过Q作QF⊥CE于

F，如答图2：∵sin∠ECD＝55，QF⊥CE，∴QF＝55QC，∴55QC＋QA最小即是QF＋QA最小，此时F与B重合，Q与Q′重合，55QC＋QA的最小值即是AB的长度，∵∠BQ′C＝∠AQ′D，∠Q/BC＝∠Q′DA＝90°，

∴∠ECD＝∠Q′AD，∵sin∠ECD＝55，∴sin∠Q′AD＝55，可得tan∠Q′AD＝12，cos∠Q′AD＝255，而A(4，0)、C(2，4)知DA＝2，∴Q′A＝5，Q′D＝1，∴Q′C＝3，∵sin∠ECD＝55，∴Q′

B＝355，∴AB＝Q′A＋Q′B＝855，∴55QC＋QA最小为855，∴QC＋5QA最小为5(55QC＋QA)＝8．10.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(﹣2，0)，B(0，3)，C(1，0)，其对称轴与x轴交于点E，顶点坐标为

D．(1)求二次函数的表达式；(2)点P为抛物线的对称轴上的一个动点，且在第二象限内，若平面内存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点的四边形为菱形，求点Q的坐标；(3)若M为y轴上的一个动点，连接ME，求

12MB＋ME的最小值．【答案解析】解：(1)将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣32x2﹣32x＋3；(2)由函数的表达式知，函数的对称轴为x＝﹣12，故设点P的坐标为(12，

m)．∵C(1，0)，B(0，3)，∴BC2＝1＋3＝4，直线BC的表达式为y＝﹣3x＋3，①以C为圆心BC为半径画弧与对称轴有两个交点，此时CP＝BC，则(12＋1)2＋m2＝4，解得m＝±72，即此时点P的坐标为P1(﹣12，72)或P2(﹣12，﹣72)(舍去)；②以B为圆心BC为半径

画弧与对称轴有两个交点，此时BP＝BC，则(12)2＋(m﹣3)2＝4，解得m1＝3＋1215或m2＝3﹣1215，即此时点P的坐标为P3(﹣12，3＋1215)或P4(﹣12，3﹣1215)(舍去)；③线段

BC的垂直平分线与对称轴有一个交点，此时CP＝BP，则(12＋1)2＋m2＝(12)2＋(3﹣m)2，解得m＝36，即此时点P的坐标为P5(﹣12，36)；故点P的坐标为(﹣12，72)或(﹣12，3＋1215)或(﹣12，36)；当点P的坐标为P(﹣12，72)时，∵BC∥PQ，故直线PQ

的表达式为y＝﹣3x＋t，将点P的坐标代入上式得：72＝﹣3×(﹣12)＋t，解得t＝72-32，故直线PQ的表达式为y＝﹣3x＋72-32，则设点Q的坐标为(x，y)，其中y＝﹣3x＋72-32，由菱形的性质知，BP的中点即为CQ的中点，由

中点公式得：12(x﹣12)＝12(0＋1)，解得x＝﹣32，当x＝﹣32时，y＝﹣3x＋72-32＝3+72，故点Q的坐标为(﹣32，3+72)，同理可得，点P(﹣12，3＋1215)或(﹣12，36)时，对应的点Q的坐标分别为(12，1215)

或(32，563)，综上所述，满足条件的点Q的坐标为(﹣32，3+72)或(12，1215)或(32，563)；(3)如图，连接BC，作EH⊥BC于H，交OB于M，此时12BM＋ME最小．理由：∵OC＝1，OB＝3，∴tan∠CBO＝33，∴∠CBO＝30°，∴M

H＝12BM，∴12BM＋ME＝MH＋EM＝EH，∴此时12BM＋ME最短，在Rt△CEH中，∵∠CHE＝90°，CE＝32，∠HCE＝60°，∴EH＝343，∴12BM＋ME的最小值为343．