【文档说明】中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与等腰三角形问题（教师版）.doc，共(21)页，362.000 KB，由MTyang资料小铺上传

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中考数学二轮压轴培优专题二次函数与等腰三角形问题1.已知二次函数y＝x2﹣(2m＋2)x＋m2＋2m(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；(2)二次函数的图象与y轴交于点A，顶点为B，将二次函数的图象沿y轴翻折，所得图象的顶点为B1，若△ABB1

是等边三角形，求m的值．【答案解析】解：(1)证明：令y＝0，则x2﹣(2m＋2)x＋m2＋2m＝0∵△＝[﹣(2m＋2)]2﹣4(m2＋2m)＝4m2＋8m＋4﹣4m2﹣8m＝4＞0，∴不论m为何值，该方程总有两个

不相等的实数根，∴不论m为何值，该二次函数的图象与x轴总有两个公共点．(2)∵抛物线y＝x2﹣(2m＋2)x＋m2＋2m与y轴交于点A，∴A(0，m2＋2m)；∵y＝x2﹣(2m＋2)x＋m2＋2m＝

[x﹣(m＋1)]2﹣1，∴该抛物线的顶点为B(m＋1，﹣1)，将该抛物线沿y轴翻折后得到的新抛物线的顶点为B1(﹣m﹣1，﹣1)；如图，设BB1交y轴于点D，由翻折可知，△ABB1是以y轴为对称轴的轴对称图形，且边BB1被y轴垂直平分，∴AD垂直平分BB1，∴

BB1∥x轴，D(0，﹣1)，∠ADB＝90°；当△ABB1是等边三角形时，则∠ABD＝60°，∴tan∠ABD＝3，∴，整理，得|m＋1|＝3，解得m＝﹣1＋3或m＝﹣1﹣3．2.如图，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c过点A(﹣1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C．(1)求

抛物线的解析式；(2)点P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；(3)在(2)条件下，是否存在点M为抛物线第一象限上的点，使得S△BCM＝S△BCP？若存在，求出点M的横坐标

；若不存在，请说明理由．【答案解析】解：(1)由题意得：y＝﹣(x＋1)•(x﹣3)，∴y＝﹣x2＋2x＋3；(2)设P(1，m)，∵PB2＝PC2，∴(3﹣1)2＋m2＝1＋(m﹣3)2，∴m＝1，∴P(1，1)；(3)假设

存在M点满足条件，作PQ∥BC交y轴于Q，作MN∥BC交y轴于N，∵PQ的解析式为y＝﹣x＋2，∴Q(0，2)，∵C(0，3)，S△BCM＝S△BCP，∴N(0，4)，∴直线MN的解析式为：y＝﹣x＋4，由﹣x2＋2x＋3＝﹣x＋4得，

x＝，∴M点横坐标为或．3.如图，抛物线y＝x2＋bx﹣1与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，交y轴于点C，顶点为D，对称轴为直线x＝﹣3，连接AC，BC．(1)求抛物线的解析式；(2)求△ABC的面积

；(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得△CDE为等腰三角形？如果存在，请直接写出点E的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案解析】解：(1)∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，∴b＝23，∴y＝x2＋23x﹣1；(2)令x2＋23x﹣1＝0，∴x＝﹣3＋2或x＝﹣3﹣2，∴A(﹣

3﹣2，0)，B(﹣3＋2，0)，∴BA＝4，∴△ABC的面积＝12×4×1＝2；(3)点E存在，理由如下：设E(﹣3，t)，由y＝x2＋23x﹣1，可求C(0，﹣1)，D(﹣3，﹣4)，△CDE为等腰三角形，分三种情况：①CD＝CE，∴3＋9＝3＋(t＋1)

2，∴t＝2或t＝﹣4，∴E(﹣3，2)或E(﹣3，﹣4)(舍)；②CD＝DE，3＋9＝(t＋4)2，∴t＝23﹣4或t＝﹣23﹣4，∴E(﹣3，23﹣4)或E(﹣3，﹣23﹣4)；③CE＝DE，3＋(t＋1)2＝(t＋4)2，∴t＝﹣2，

∴E(﹣3，﹣2)；综上所述：得△CDE为等腰三角形时，E点坐标为(﹣3，2)或(﹣3，23﹣4)或(﹣3，﹣23﹣4)或(﹣3，﹣2)．4.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)与x轴交于点A(1，0)和B，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝52．(1)求抛物线的

解析式；(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点(不与点B，C重合)，过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；(3)如图2，在(2)的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线与抛物线交于点E，且∠DQE＝2

∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案解析】解：(1)由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝x2﹣5x＋4①；(2)对于y＝x2﹣5x＋4

，令y＝x2﹣5x＋4＝0，解得x＝1或4，令x＝0，则y＝4，故点B的坐标为(4，0)，点C(0，4)，设直线BC的表达式为y＝kx＋t，则，解得，故直线BC的表达式为y＝﹣x＋4，设点P的坐标为(x，﹣x＋4)，则点Q的坐标为(x，x2﹣5x＋4)，则PQ＝(﹣x＋4)

﹣(x2﹣5x＋4)＝﹣x2＋4x，∵﹣1＜0，故PQ有最大值，当x＝2时，PQ的最大值为4＝CO，此时点Q的坐标为(2，﹣2)；∵PQ＝CO，PQ∥OC，故四边形OCPQ为平行四边形；(3)∵D是OC的中点，则点D(0，2)

，由点D、Q的坐标，同理可得，直线DQ的表达式为y＝﹣2x＋2，过点Q作QH⊥x轴于点H，则QH∥CO，故∠AQH＝∠ODA，而∠DQE＝2∠ODQ．∴∠HQA＝∠HQE，则直线AQ和直线QE关于直线QH对称，故设直线QE的表达式为y＝2x＋r，将点Q的坐标代入上式并解得r＝﹣6，故直线

QE的表达式为y＝2x﹣6②，联立①②并解得(不合题意的值已舍去)，故点E的坐标为(5，4)，设点F的坐标为(0，m)，由点B、E的坐标得：BE2＝(5﹣4)2＋(4﹣0)2＝17，同理可得，当BE＝BF时，即16＋m2＝17，解得m＝±1；当BE＝EF时，即25＋(m﹣4)2＝17，

方程无解；当BF＝EF时，即16＋m2＝25＋(m﹣4)2，解得m＝；故点F的坐标为(0，1)或(0，﹣1)或(0，)．5.如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝4，OC＝8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与

x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到

达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．【答案

解析】解：(1)由题意得，点A、B、C的坐标分别为(﹣2，0)、(4，0)、(0，8)，设抛物线的表达式为y＝ax2＋bx＋c，则，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2＋2x＋8；(2)存在，理由：当∠CP′M为直角时，则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似

时，则P′C∥x轴，则点P′的坐标为(1，8)；当∠PCM为直角时，在Rt△OBC中，设∠CBO＝α，则tan∠CBO＝2＝tanα，则sinα＝，cosα＝，在Rt△NMB中，NB＝4﹣1＝3，则BM＝35，同理可得，MN＝6，由点B、C的坐标

得，BC＝45，则CM＝BC﹣MB＝5，在Rt△PCM中，∠CPM＝∠OBC＝α，则PM＝＝，则PN＝MN＋PM＝6＋52＝172，故点P的坐标为(1，172)，故点P的坐标为(1，8)或(1，172)；(3)∵D为CO的中点，则点D(0，4)，作点C关于函数对称轴的对称点C′(

2，8)，作点D关于x轴的对称点D′(0，﹣4)，连接C′D′交x轴于点E，交函数的对称轴于点F，则点E、F为所求点，理由：G走过的路程＝DE＋EF＋FC＝D′E＋EF＋FC′＝C′D′为最短，由点C′、D′的坐标得，直线C′D′的表达式为y＝6x﹣4，对于y＝6x﹣4，当y＝6x﹣4

＝0时，解得x＝23，当x＝1时，y＝2，故点E、F的坐标分别为(23，0)、(1，2)；G走过的最短路程为C′D′＝2；(4)存在，理由：①当点Q在y轴的右侧时，设点Q的坐标为(x，﹣x2＋2x＋8)，故点Q作y

轴的平行线交x轴于点N，交过点C与x轴的平行线于点M，∵∠MQC＋∠RQN＝90°，∠RQN＋∠QRN＝90°，∴∠MQC＝∠QRE，∵∠ANQ＝∠QMC＝90°，QR＝QC，∴△ANQ≌△QMC(AAS)，∴QN＝CM，即x＝﹣x2＋2x＋8，解得x＝(不合题意的值已舍去)，故

点Q的坐标为(，)；②当点Q在y轴的左侧时，同理可得，点Q的坐标为(，)．综上，点Q的坐标为(，)或(，)．6.如图，抛物线y＝﹣12x2＋bx＋c与x轴交于A(﹣1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C．连接AC，BC，点P在抛物线上运动．(1)求抛物

线的表达式；(2)如图①，若点P在第四象限，点Q在PA的延长线上，当∠CAQ＝∠CBA＋45°时，求点P的坐标；(3)如图②，若点P在第一象限，直线AP交BC于点F，过点P作x轴的垂线交BC于点H，当△PFH为等腰三角形时，求线段PH的长．【答案解析】解

：(1)∵A(﹣1，0)，B(4，0)是抛物线y＝﹣12x2＋bx＋c与x轴的两个交点，且二次项系数a＝﹣12，∴根据抛物线的两点式知，y＝﹣12x2＋32x＋2．(2)根据抛物线表达式可求C(0，2)，即OC＝2．∴＝＝2，∵∠AOC＝∠COB＝90°，∴△AOC∽△COB，∴∠ACO＝∠C

BO，∴∠QAB＝∠QAC＋∠CAO＝∠CBA＋45°＋∠CAO＝∠ACO＋∠CAO＋45°＝135°，∴∠BAP＝180°﹣∠QAB＝45°，设P(m，n)，且过点P作PD⊥x轴于D，则△ADP是等腰

直角三角形，∴AD＝PD，即m＋1＝﹣n①，又∵P在抛物线上，∴②，联立①②两式，解得m＝6(﹣1舍去)，此时n＝﹣7，∴点P的坐标是(6，﹣7)．(3)设PH与x轴的交点为Q，P(a，﹣12a2＋32a＋2)，则H(a，﹣12

a+2)，PH＝﹣12a2＋2a，若FP＝FH，则∠FPH＝∠FHP＝∠BHQ＝∠BCO，∴tan∠APQ＝tan∠BCO＝2，∴AQ＝2PQ，即a＋1＝2(﹣12a2＋32a＋2)，解得a＝3(﹣1舍去)，此时PH＝32．若PF＝PH，过点F作FM⊥y轴于点M，∴∠PFH＝∠PHF，

∵∠CFA＝∠PFH，∠QHB＝∠PHF，∴∠CFA＝∠QHB，又∵∠ACF＝∠BQH＝90°，∴△ACF∽△BQH，∴CF＝12AC＝52，在Rt△CMF中，MF＝1，CM＝12，F(1，32)，∴AF：y=34x+34，将上式和抛物线解析式联立并解得x＝5

2(﹣1舍去)，此时PH＝158．若HF＝HP，过点C作CE∥AB交AP于点E(见上图)，∵∠CAF＋∠CFA＝90°，∠PAQ＋∠HPF＝90°，∠CFA＝∠HFP＝∠HPF，∴∠CAF＝∠PAQ，即AP

平分∠CAB，∴CE＝CA＝5，∴E(5，2)，∴AE：，联立抛物线解析式，解得x＝5﹣5(﹣1舍去)．此时PH＝35-5．∴当FP＝FH时，PH＝32；当PF＝PH时，PH＝158；当HF＝HP时，PH＝

35-5.7.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5，0)，点B(1，0)(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，连接BD．直线y＝﹣12x﹣52经过点A，

且与y轴交于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)点N是抛物线上的一点，当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时，求点N的坐标；(3)点F为线段AE上的一点，点G为线段OA上的一点，连接FG，并延长FG与线段BD交于点H(点H在第一象限)，当∠EFG＝3∠BAE且H

G＝2FG时，求出点F的坐标．【答案解析】解：(1)将A(﹣5，0)，B(1，0)代入抛物线y＝ax2＋bx＋5(a≠0)得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣4x＋5；(2)∵D(﹣2，9)，B(1，0)，点N是抛物线上的

一点且△BDN是以DN为腰的等腰三角形，∴此题有两种情形：①当DN＝DB时，根据抛物线的对称性得：A与N重合，∴N1(﹣5，0)，②当DN＝BN时(如图1)，N在BD的垂直平分线上，BD的垂直平分线交BD于I，交x轴于点Q，BD与y轴交点为K，∵∠KBO＋∠OKB＝90°，∠KBO＋∠IQ

B＝90°，∴∠OKB＝∠IQB，在Rt△OKB中，sin∠OKB＝1010，∴sin∠IQB＝1010，∵I是BD的中点，BD＝310，∴BI＝3210，∴BQ＝15，∴Q(﹣14，0)，I(﹣12，92)设yQI＝kx＋b，代入得：，解得：，∴yQI＝13x+143，联立得

：，解得：x＝，∴yQI＝，N2(，)，N3(，)，(3)如图1，在AE上取一点F，作AF的垂直平分线交x轴于点M，连接MF，则AM＝MF，在AO上M点的右侧作FG＝MF，∴∠FGM＝∠FMG，∴∠EFG＝∠BAE＋∠FGM＝

∠BAE＋∠FMG＝∠BAE＋2∠BAE＝3∠BAE，移动F点，当HG＝2FG时，点F为所求．过点F作FP垂直于x轴于点P，过点H作HR垂直于x轴于点R，∴△FPG∽△HRG，∴＝＝＝，GR＝2PG，HR＝2PF，设F(m，﹣12m﹣52)，则OP＝﹣m，PF＝12m＋52，HR＝2PF＝m＋5

，∵AP＝m＋5，∴AP＝2PF，∵AM＝AP﹣MP＝2PF﹣MP，MF＝AM，∴在Rt△PMF中，PM2＋PF2＝MF2，PM2＋PF2＝(2PF﹣MP)2，∴PM＝PF＝×＝m＋，∴GP＝m＋，∴GR＝2PG＝34m＋154，∴PR＝3PG＝3PM，∴AR＝AP＋P

R＝AP＋3PM＝2PF＋3×PF＝＝，∴OR＝，∴H(，m＋5)，∵B(1，0)，D(﹣2，9)，∴BD解析式为：yBD＝﹣3x＋3，把H代入上式并解得：m＝﹣，再把m＝﹣代入y＝﹣x﹣得：y＝﹣，∴F(﹣，﹣)．8.如图

，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c与x轴分别交于点A(﹣1，0)和点B，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的解析式及对称轴；(2)如图1，点D与点C关于对称轴对称，点P在对称轴上，若∠BPD＝90°，求点P的坐标；(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点，点N在抛

物线的对称轴上，当△BMN为等边三角形时，请直接写出点M的横坐标．【答案解析】解：(1)把A(﹣1，0)，点C(0，3)的坐标代入y＝﹣x2＋bx＋c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2＋2x＋3，对称轴x＝1．(2)如图1中，连接BD，设BD的中点T，连接PT，设P(

1，m)．∵点D与点C关于对称轴对称，C(0，3)，∴D(2，3)，∵B(3，0)，∴T(52，32)，BD＝10，∵∠BPD＝90°，DT＝TB，∴PT＝12BD＝102，∴(1﹣52)2＋(m﹣32)2＝(102)2，解得m＝1或2，∴P(1

，1)或(1，2)．(3)当点M在第一象限时，△BMN是等边三角形，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T，设N(1，t)，设抛物线的对称轴交x轴于E．∵△BMN是等边三角形，∴∠NMB＝∠NBM＝60°，∵∠

NBT＝90°，∴∠MBT＝30°，BT＝3BN，∵∠NMB＝∠MBT＋∠BTM＝60°，∴∠MBT＝∠BTM＝30°，∴MB＝MT＝MN，∵∠NBE＋∠TBJ＝90°，∠TBJ＋∠BTJ＝90°，∴∠NBE＝∠BTJ，∵∠BEN＝∠TJB＝90°，∴

△BEN∽△TJB，∴＝＝＝，∴BJ＝3t，TJ＝23，∴T(3＋3t，23)，∵NM＝MT，∴M(，)，∵点M在y＝﹣x2＋2x＋3上，∴＝﹣()2＋2×＋3，整理得，3t2＋(43＋2)t﹣12＋43＝0，解得t＝﹣23(舍弃)或233﹣23，∴

M(3﹣33，433﹣13)．如图3﹣2中，当点M在第四象限时，设N(1，n)，过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T．同法可得T(3﹣3n，﹣23)，M(，)，则有＝﹣()2＋2×＋3，整理得，3n2＋(2﹣43)n﹣12﹣43＝0，

解得n＝﹣233﹣23或23(舍弃)，∴M(3+33，﹣433﹣13)，综上所述，满足条件的点M的横坐标为3﹣33或3+33．9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x＋c(a≠0)与x轴交于A(﹣1，0)、B(3，0)两点，直线AC与y轴交于点C，与抛物线交于点

D，OA＝OC．(1)求该抛物线与直线AC的解析式；(2)若点E是x轴下方抛物线上一动点，连接AE、CE．求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标；(3)将原抛物线沿射线AD方向平移22个单位长度，得到新抛物线：y1＝a1x2＋b1x＋c1(a≠0)，新抛物

线与原抛物线交于点F，在直线AD上是否存在点P，使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案解析】解：(1)把A(﹣1，0)、B(3，0)代入y＝ax2﹣x＋c，得，解得，∴抛物线的解析

式为y＝12x2﹣x﹣32；∵OC＝OA＝1，∴C(0，1)，设直线AC的解析式为y＝kx＋1，则﹣k＋1＝0，解得k＝1，∴直线AC的解析式为y＝x＋1．(2)如图1，作EG⊥x轴交直线AC于点G，作EH⊥AD于点H.设E(x，12x2﹣x﹣32)(﹣1＜x＜3)，则G(x，x＋1)，∴E

G＝x＋1﹣(12x2﹣x﹣32)＝﹣12x2＋2x＋52．∵OA＝OC＝1，∠AOC＝90°，∴∠OCA＝45°，AC＝2，∵∠HGE＝∠OCA＝45°，∴EH＝EG•sin45°＝22(﹣12x2＋2x＋52)

，∴S△ACE＝12×2×22(﹣12x2＋2x＋52)＝﹣14x2＋x＋54＝﹣14(x﹣2)2＋94，∵﹣14＜0，且﹣1＜2＜3，∴当x＝2时，S△ACE最大＝94，此时E(2，﹣32)．∴△ACE面积的最大值为94，此时点E的坐标为(2

，﹣32)．(3)存在．如图2，在直线AC上取一点A′，使它的横坐标为1，则A′(1，2)，AA′＝22，∴点A′即为抛物线平移后点A的对应点，可知抛物线向右、向上各平移2个单位长度．∵y＝12x2﹣x

﹣32＝12(x﹣1)2﹣2，∴平移后的抛物线为y＝12(x﹣3)2，其顶点坐标为(3，0)；∵原抛物线与新抛物线都经过点B(3，0)，∴点B即为新抛物线与原抛物线的交点F．作A′K⊥x轴于点K，则∠

AKA′＝∠FKA′＝90°，AK＝A′K＝FK＝2，∴∠AA′K＝∠FA′K＝45°，∴∠AA′F＝90°．由，得或(不符合题意，舍去)，∴D(5，6)，∴FD＝210．①当FP1＝FD时，则点P1与点D关于点A′对称，∴P1(﹣3，﹣2)；②当P2D＝FD＝210时，∵CD＝2

×5＝52，∴CP2＝52﹣210，∴xp＝22×(52﹣210)＝5﹣25，yp＝5﹣25＋1＝6﹣25，P2(5﹣25，6﹣25)；③当DP3＝FP3时，∵∠P3DF＝∠FDP1，∠DFP3＝∠DP1F，∴△P3DF∽△FDP1，∴，∵DP1＝2×(5＋3)＝82，∴P3D＝

＝＝，∴CP3＝52﹣522＝522，∴xp＝522×22＝52，yp＝52+1＝72，∴P3(52，72)；④当P4D＝FD＝210时，则CP4＝52＋210，∴xp＝22×(52＋210)＝5＋25，yp＝5＋25＋1

＝6＋25，∴P4(5＋25，6＋25)．综上所述，点P的坐标为(﹣3，﹣2)或(5﹣25，6﹣25)或(52，72)或(5＋25，6＋25)．10.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C

．抛物线y＝x2＋bx＋c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧)．(1)求抛物线的解析式及点B坐标；(2)设该抛物线的顶点为点H，则S△BCH＝；(3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x

轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；(4)在(3)的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案解

析】解：(1)∵直线y＝﹣3x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、C，∴A(﹣1，0)，C(0，﹣3)，∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(﹣1，0)，C(0，﹣3)，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．当y＝0时，由x2﹣2x﹣3＝0，得x1

＝﹣1，x2＝3，∴B(3，0)．(2)设抛物线的对称轴交BC于点F，交x轴于点G．设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则3k﹣3＝0，解得k＝1，∴y＝x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝(x﹣1)2﹣4，∴抛物线的顶点H(1，﹣4)，当x＝1时，y＝1﹣3＝﹣2，∴F(1，﹣2)，∴FH＝﹣2﹣(

﹣4)＝2，∴S△BCH＝12FH•OG＋12FH•BG＝12FH•OB＝12×2×3＝3．故答案为：3．(3)设E(x，x2﹣2x﹣3)(0＜x＜3)，则M(x，x﹣3)，∴ME＝x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)＝﹣x2＋3x＝﹣(x﹣32)2＋94，∴当x＝32时，ME

最大＝94，此时M(32，﹣32)．(4)存在．如图3，由(2)得，当ME最大时，则D(32，0)，M(32，﹣32)，∴DO＝DB＝DM＝32；∵∠BDM＝90°，∴OM＝BM＝322．点P1、P2、P3、P4在x轴上，当点P1与原点O重合时，则P1M＝BM＝322，P1(0，0)；当BP2＝

BM＝322时，则OP2＝3﹣322，∴P2(3﹣322，0)；当点P3与点D重合时，则P3M＝P3B＝32，P3(32，0)；当BP4＝BM＝322时，则OP4＝3＋322，∴P4(3＋322，0)．综上所述，P1(0，0)，P2(3﹣322，0)，P3(32，

0)，P4(3＋322，0)．