中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与等腰三角形问题(教师版)

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【文档说明】中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与等腰三角形问题(教师版).doc,共(21)页,362.000 KB,由MTyang资料小铺上传

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以下为本文档部分文字说明:

中考数学二轮压轴培优专题二次函数与等腰三角形问题1.已知二次函数y=x2﹣(2m+2)x+m2+2m(m是常数).(1)求证:不论m为何值,该二次函数图象与x轴总有两个公共点;(2)二次函数的图象与y轴交于点A,顶点为B,将二次函数的图象沿y轴翻折,所得图象的顶点为B1,若△ABB1

是等边三角形,求m的值.【答案解析】解:(1)证明:令y=0,则x2﹣(2m+2)x+m2+2m=0∵△=[﹣(2m+2)]2﹣4(m2+2m)=4m2+8m+4﹣4m2﹣8m=4>0,∴不论m为何值,该方程总有两个

不相等的实数根,∴不论m为何值,该二次函数的图象与x轴总有两个公共点.(2)∵抛物线y=x2﹣(2m+2)x+m2+2m与y轴交于点A,∴A(0,m2+2m);∵y=x2﹣(2m+2)x+m2+2m=

[x﹣(m+1)]2﹣1,∴该抛物线的顶点为B(m+1,﹣1),将该抛物线沿y轴翻折后得到的新抛物线的顶点为B1(﹣m﹣1,﹣1);如图,设BB1交y轴于点D,由翻折可知,△ABB1是以y轴为对称轴的轴对称图形,且边BB1被y轴垂直平分,∴AD垂直平分BB1,∴

BB1∥x轴,D(0,﹣1),∠ADB=90°;当△ABB1是等边三角形时,则∠ABD=60°,∴tan∠ABD=3,∴,整理,得|m+1|=3,解得m=﹣1+3或m=﹣1﹣3.2.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c过点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C.(1)求

抛物线的解析式;(2)点P为抛物线对称轴上一动点,当△PCB是以BC为底边的等腰三角形时,求点P的坐标;(3)在(2)条件下,是否存在点M为抛物线第一象限上的点,使得S△BCM=S△BCP?若存在,求出点M的横坐标

;若不存在,请说明理由.【答案解析】解:(1)由题意得:y=﹣(x+1)•(x﹣3),∴y=﹣x2+2x+3;(2)设P(1,m),∵PB2=PC2,∴(3﹣1)2+m2=1+(m﹣3)2,∴m=1,∴P(1,1);(3)假设

存在M点满足条件,作PQ∥BC交y轴于Q,作MN∥BC交y轴于N,∵PQ的解析式为y=﹣x+2,∴Q(0,2),∵C(0,3),S△BCM=S△BCP,∴N(0,4),∴直线MN的解析式为:y=﹣x+4,由﹣x2+2x+3=﹣x+4得,

x=,∴M点横坐标为或.3.如图,抛物线y=x2+bx﹣1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧),交y轴于点C,顶点为D,对称轴为直线x=﹣3,连接AC,BC.(1)求抛物线的解析式;(2)求△ABC的面积

;(3)在抛物线的对称轴上是否存在点E,使得△CDE为等腰三角形?如果存在,请直接写出点E的坐标,如果不存在,请说明理由.【答案解析】解:(1)∵抛物线的对称轴为直线x=﹣3,∴b=23,∴y=x2+23x﹣1;(2)令x2+23x﹣1=0,∴x=﹣3+2或x=﹣3﹣2,∴A(﹣

3﹣2,0),B(﹣3+2,0),∴BA=4,∴△ABC的面积=12×4×1=2;(3)点E存在,理由如下:设E(﹣3,t),由y=x2+23x﹣1,可求C(0,﹣1),D(﹣3,﹣4),△CDE为等腰三角形,分三种情况:①CD=CE,∴3+9=3+(t+1)

2,∴t=2或t=﹣4,∴E(﹣3,2)或E(﹣3,﹣4)(舍);②CD=DE,3+9=(t+4)2,∴t=23﹣4或t=﹣23﹣4,∴E(﹣3,23﹣4)或E(﹣3,﹣23﹣4);③CE=DE,3+(t+1)2=(t+4)2,∴t=﹣2,

∴E(﹣3,﹣2);综上所述:得△CDE为等腰三角形时,E点坐标为(﹣3,2)或(﹣3,23﹣4)或(﹣3,﹣23﹣4)或(﹣3,﹣2).4.如图,已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和B,与y轴交于点C,对称轴为直线x=52.(1)求抛物线的

解析式;(2)如图1,若点P是线段BC上的一个动点(不与点B,C重合),过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q,连接OQ,当线段PQ长度最大时,判断四边形OCPQ的形状并说明理由;(3)如图2,在(2)的条件下,D是OC的中点,过点Q的直线与抛物线交于点E,且∠DQE=2

∠ODQ.在y轴上是否存在点F,使得△BEF为等腰三角形?若存在,求点F的坐标;若不存在,请说明理由.【答案解析】解:(1)由题意得:,解得,故抛物线的表达式为y=x2﹣5x+4①;(2)对于y=x2﹣5x+4

,令y=x2﹣5x+4=0,解得x=1或4,令x=0,则y=4,故点B的坐标为(4,0),点C(0,4),设直线BC的表达式为y=kx+t,则,解得,故直线BC的表达式为y=﹣x+4,设点P的坐标为(x,﹣x+4),则点Q的坐标为(x,x2﹣5x+4),则PQ=(﹣x+4)

﹣(x2﹣5x+4)=﹣x2+4x,∵﹣1<0,故PQ有最大值,当x=2时,PQ的最大值为4=CO,此时点Q的坐标为(2,﹣2);∵PQ=CO,PQ∥OC,故四边形OCPQ为平行四边形;(3)∵D是OC的中点,则点D(0,2)

,由点D、Q的坐标,同理可得,直线DQ的表达式为y=﹣2x+2,过点Q作QH⊥x轴于点H,则QH∥CO,故∠AQH=∠ODA,而∠DQE=2∠ODQ.∴∠HQA=∠HQE,则直线AQ和直线QE关于直线QH对称,故设直线QE的表达式为y=2x+r,将点Q的坐标代入上式并解得r=﹣6,故直线

QE的表达式为y=2x﹣6②,联立①②并解得(不合题意的值已舍去),故点E的坐标为(5,4),设点F的坐标为(0,m),由点B、E的坐标得:BE2=(5﹣4)2+(4﹣0)2=17,同理可得,当BE=BF时,即16+m2=17,解得m=±1;当BE=EF时,即25+(m﹣4)2=17,

方程无解;当BF=EF时,即16+m2=25+(m﹣4)2,解得m=;故点F的坐标为(0,1)或(0,﹣1)或(0,).5.如图所示,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,且OA=2,OB=4,OC=8,抛物线的对称轴与直线BC交于点M,与

x轴交于点N.(1)求抛物线的解析式;(2)若点P是对称轴上的一个动点,是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由;(3)D为CO的中点,一个动点G从D点出发,先到

达x轴上的点E,再走到抛物线对称轴上的点F,最后返回到点C.要使动点G走过的路程最短,请找出点E、F的位置,写出坐标,并求出最短路程.(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点,点R在x轴上,是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.【答案

解析】解:(1)由题意得,点A、B、C的坐标分别为(﹣2,0)、(4,0)、(0,8),设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c,则,解得,故抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+8;(2)存在,理由:当∠CP′M为直角时,则以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似

时,则P′C∥x轴,则点P′的坐标为(1,8);当∠PCM为直角时,在Rt△OBC中,设∠CBO=α,则tan∠CBO=2=tanα,则sinα=,cosα=,在Rt△NMB中,NB=4﹣1=3,则BM=35,同理可得,MN=6,由点B、C的坐标

得,BC=45,则CM=BC﹣MB=5,在Rt△PCM中,∠CPM=∠OBC=α,则PM==,则PN=MN+PM=6+52=172,故点P的坐标为(1,172),故点P的坐标为(1,8)或(1,172);(3)∵D为CO的中点,则点D(0,4),作点C关于函数对称轴的对称点C′(

2,8),作点D关于x轴的对称点D′(0,﹣4),连接C′D′交x轴于点E,交函数的对称轴于点F,则点E、F为所求点,理由:G走过的路程=DE+EF+FC=D′E+EF+FC′=C′D′为最短,由点C′、D′的坐标得,直线C′D′的表达式为y=6x﹣4,对于y=6x﹣4,当y=6x﹣4

=0时,解得x=23,当x=1时,y=2,故点E、F的坐标分别为(23,0)、(1,2);G走过的最短路程为C′D′=2;(4)存在,理由:①当点Q在y轴的右侧时,设点Q的坐标为(x,﹣x2+2x+8),故点Q作y

轴的平行线交x轴于点N,交过点C与x轴的平行线于点M,∵∠MQC+∠RQN=90°,∠RQN+∠QRN=90°,∴∠MQC=∠QRE,∵∠ANQ=∠QMC=90°,QR=QC,∴△ANQ≌△QMC(AAS),∴QN=CM,即x=﹣x2+2x+8,解得x=(不合题意的值已舍去),故

点Q的坐标为(,);②当点Q在y轴的左侧时,同理可得,点Q的坐标为(,).综上,点Q的坐标为(,)或(,).6.如图,抛物线y=﹣12x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(4,0),与y轴交于点C.连接AC,BC,点P在抛物线上运动.(1)求抛物

线的表达式;(2)如图①,若点P在第四象限,点Q在PA的延长线上,当∠CAQ=∠CBA+45°时,求点P的坐标;(3)如图②,若点P在第一象限,直线AP交BC于点F,过点P作x轴的垂线交BC于点H,当△PFH为等腰三角形时,求线段PH的长.【答案解析】解

:(1)∵A(﹣1,0),B(4,0)是抛物线y=﹣12x2+bx+c与x轴的两个交点,且二次项系数a=﹣12,∴根据抛物线的两点式知,y=﹣12x2+32x+2.(2)根据抛物线表达式可求C(0,2),即OC=2.∴==2,∵∠AOC=∠COB=90°,∴△AOC∽△COB,∴∠ACO=∠C

BO,∴∠QAB=∠QAC+∠CAO=∠CBA+45°+∠CAO=∠ACO+∠CAO+45°=135°,∴∠BAP=180°﹣∠QAB=45°,设P(m,n),且过点P作PD⊥x轴于D,则△ADP是等腰

直角三角形,∴AD=PD,即m+1=﹣n①,又∵P在抛物线上,∴②,联立①②两式,解得m=6(﹣1舍去),此时n=﹣7,∴点P的坐标是(6,﹣7).(3)设PH与x轴的交点为Q,P(a,﹣12a2+32a+2),则H(a,﹣12

a+2),PH=﹣12a2+2a,若FP=FH,则∠FPH=∠FHP=∠BHQ=∠BCO,∴tan∠APQ=tan∠BCO=2,∴AQ=2PQ,即a+1=2(﹣12a2+32a+2),解得a=3(﹣1舍去),此时PH=32.若PF=PH,过点F作FM⊥y轴于点M,∴∠PFH=∠PHF,

∵∠CFA=∠PFH,∠QHB=∠PHF,∴∠CFA=∠QHB,又∵∠ACF=∠BQH=90°,∴△ACF∽△BQH,∴CF=12AC=52,在Rt△CMF中,MF=1,CM=12,F(1,32),∴AF:y=34x+34,将上式和抛物线解析式联立并解得x=5

2(﹣1舍去),此时PH=158.若HF=HP,过点C作CE∥AB交AP于点E(见上图),∵∠CAF+∠CFA=90°,∠PAQ+∠HPF=90°,∠CFA=∠HFP=∠HPF,∴∠CAF=∠PAQ,即AP

平分∠CAB,∴CE=CA=5,∴E(5,2),∴AE:,联立抛物线解析式,解得x=5﹣5(﹣1舍去).此时PH=35-5.∴当FP=FH时,PH=32;当PF=PH时,PH=158;当HF=HP时,PH=

35-5.7.如图,已知抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)与x轴交于点A(﹣5,0),点B(1,0)(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,连接BD.直线y=﹣12x﹣52经过点A,

且与y轴交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)点N是抛物线上的一点,当△BDN是以DN为腰的等腰三角形时,求点N的坐标;(3)点F为线段AE上的一点,点G为线段OA上的一点,连接FG,并延长FG与线段BD交于点H(点H在第一象限),当∠EFG=3∠BAE且H

G=2FG时,求出点F的坐标.【答案解析】解:(1)将A(﹣5,0),B(1,0)代入抛物线y=ax2+bx+5(a≠0)得:,解得:,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣4x+5;(2)∵D(﹣2,9),B(1,0),点N是抛物线上的

一点且△BDN是以DN为腰的等腰三角形,∴此题有两种情形:①当DN=DB时,根据抛物线的对称性得:A与N重合,∴N1(﹣5,0),②当DN=BN时(如图1),N在BD的垂直平分线上,BD的垂直平分线交BD于I,交x轴于点Q,BD与y轴交点为K,∵∠KBO+∠OKB=90°,∠KBO+∠IQ

B=90°,∴∠OKB=∠IQB,在Rt△OKB中,sin∠OKB=1010,∴sin∠IQB=1010,∵I是BD的中点,BD=310,∴BI=3210,∴BQ=15,∴Q(﹣14,0),I(﹣12,92)设yQI=kx+b,代入得:,解得:,∴yQI=13x+143,联立得

:,解得:x=,∴yQI=,N2(,),N3(,),(3)如图1,在AE上取一点F,作AF的垂直平分线交x轴于点M,连接MF,则AM=MF,在AO上M点的右侧作FG=MF,∴∠FGM=∠FMG,∴∠EFG=∠BAE+∠FGM=

∠BAE+∠FMG=∠BAE+2∠BAE=3∠BAE,移动F点,当HG=2FG时,点F为所求.过点F作FP垂直于x轴于点P,过点H作HR垂直于x轴于点R,∴△FPG∽△HRG,∴===,GR=2PG,HR=2PF,设F(m,﹣12m﹣52),则OP=﹣m,PF=12m+52,HR=2PF=m+5

,∵AP=m+5,∴AP=2PF,∵AM=AP﹣MP=2PF﹣MP,MF=AM,∴在Rt△PMF中,PM2+PF2=MF2,PM2+PF2=(2PF﹣MP)2,∴PM=PF=×=m+,∴GP=m+,∴GR=2PG=34m+154,∴PR=3PG=3PM,∴AR=AP+P

R=AP+3PM=2PF+3×PF==,∴OR=,∴H(,m+5),∵B(1,0),D(﹣2,9),∴BD解析式为:yBD=﹣3x+3,把H代入上式并解得:m=﹣,再把m=﹣代入y=﹣x﹣得:y=﹣,∴F(﹣,﹣).8.如图

,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A(﹣1,0)和点B,与y轴交于点C(0,3).(1)求抛物线的解析式及对称轴;(2)如图1,点D与点C关于对称轴对称,点P在对称轴上,若∠BPD=90°,求点P的坐标;(3)点M是抛物线上位于对称轴右侧的点,点N在抛

物线的对称轴上,当△BMN为等边三角形时,请直接写出点M的横坐标.【答案解析】解:(1)把A(﹣1,0),点C(0,3)的坐标代入y=﹣x2+bx+c,得到,解得,∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3,对称轴x=1.(2)如图1中,连接BD,设BD的中点T,连接PT,设P(

1,m).∵点D与点C关于对称轴对称,C(0,3),∴D(2,3),∵B(3,0),∴T(52,32),BD=10,∵∠BPD=90°,DT=TB,∴PT=12BD=102,∴(1﹣52)2+(m﹣32)2=(102)2,解得m=1或2,∴P(1

,1)或(1,2).(3)当点M在第一象限时,△BMN是等边三角形,过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T,设N(1,t),设抛物线的对称轴交x轴于E.∵△BMN是等边三角形,∴∠NMB=∠NBM=60°,∵∠

NBT=90°,∴∠MBT=30°,BT=3BN,∵∠NMB=∠MBT+∠BTM=60°,∴∠MBT=∠BTM=30°,∴MB=MT=MN,∵∠NBE+∠TBJ=90°,∠TBJ+∠BTJ=90°,∴∠NBE=∠BTJ,∵∠BEN=∠TJB=90°,∴

△BEN∽△TJB,∴===,∴BJ=3t,TJ=23,∴T(3+3t,23),∵NM=MT,∴M(,),∵点M在y=﹣x2+2x+3上,∴=﹣()2+2×+3,整理得,3t2+(43+2)t﹣12+43=0,解得t=﹣23(舍弃)或233﹣23,∴

M(3﹣33,433﹣13).如图3﹣2中,当点M在第四象限时,设N(1,n),过点B作BT⊥BN交NM的延长线于T.同法可得T(3﹣3n,﹣23),M(,),则有=﹣()2+2×+3,整理得,3n2+(2﹣43)n﹣12﹣43=0,

解得n=﹣233﹣23或23(舍弃),∴M(3+33,﹣433﹣13),综上所述,满足条件的点M的横坐标为3﹣33或3+33.9.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣x+c(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0)、B(3,0)两点,直线AC与y轴交于点C,与抛物线交于点

D,OA=OC.(1)求该抛物线与直线AC的解析式;(2)若点E是x轴下方抛物线上一动点,连接AE、CE.求△ACE面积的最大值及此时点E的坐标;(3)将原抛物线沿射线AD方向平移22个单位长度,得到新抛物线:y1=a1x2+b1x+c1(a≠0),新抛物

线与原抛物线交于点F,在直线AD上是否存在点P,使以点P、D、F为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案解析】解:(1)把A(﹣1,0)、B(3,0)代入y=ax2﹣x+c,得,解得,∴抛物线的解析

式为y=12x2﹣x﹣32;∵OC=OA=1,∴C(0,1),设直线AC的解析式为y=kx+1,则﹣k+1=0,解得k=1,∴直线AC的解析式为y=x+1.(2)如图1,作EG⊥x轴交直线AC于点G,作EH⊥AD于点H.设E(x,12x2﹣x﹣32)(﹣1<x<3),则G(x,x+1),∴E

G=x+1﹣(12x2﹣x﹣32)=﹣12x2+2x+52.∵OA=OC=1,∠AOC=90°,∴∠OCA=45°,AC=2,∵∠HGE=∠OCA=45°,∴EH=EG•sin45°=22(﹣12x2+2x+52)

,∴S△ACE=12×2×22(﹣12x2+2x+52)=﹣14x2+x+54=﹣14(x﹣2)2+94,∵﹣14<0,且﹣1<2<3,∴当x=2时,S△ACE最大=94,此时E(2,﹣32).∴△ACE面积的最大值为94,此时点E的坐标为(2

,﹣32).(3)存在.如图2,在直线AC上取一点A′,使它的横坐标为1,则A′(1,2),AA′=22,∴点A′即为抛物线平移后点A的对应点,可知抛物线向右、向上各平移2个单位长度.∵y=12x2﹣x

﹣32=12(x﹣1)2﹣2,∴平移后的抛物线为y=12(x﹣3)2,其顶点坐标为(3,0);∵原抛物线与新抛物线都经过点B(3,0),∴点B即为新抛物线与原抛物线的交点F.作A′K⊥x轴于点K,则∠

AKA′=∠FKA′=90°,AK=A′K=FK=2,∴∠AA′K=∠FA′K=45°,∴∠AA′F=90°.由,得或(不符合题意,舍去),∴D(5,6),∴FD=210.①当FP1=FD时,则点P1与点D关于点A′对称,∴P1(﹣3,﹣2);②当P2D=FD=210时,∵CD=2

×5=52,∴CP2=52﹣210,∴xp=22×(52﹣210)=5﹣25,yp=5﹣25+1=6﹣25,P2(5﹣25,6﹣25);③当DP3=FP3时,∵∠P3DF=∠FDP1,∠DFP3=∠DP1F,∴△P3DF∽△FDP1,∴,∵DP1=2×(5+3)=82,∴P3D=

==,∴CP3=52﹣522=522,∴xp=522×22=52,yp=52+1=72,∴P3(52,72);④当P4D=FD=210时,则CP4=52+210,∴xp=22×(52+210)=5+25,yp=5+25+1

=6+25,∴P4(5+25,6+25).综上所述,点P的坐标为(﹣3,﹣2)或(5﹣25,6﹣25)或(52,72)或(5+25,6+25).10.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A,与y轴交于点C

.抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点,且与x轴交于另一点B(点B在点A右侧).(1)求抛物线的解析式及点B坐标;(2)设该抛物线的顶点为点H,则S△BCH=;(3)若点M是线段BC上一动点,过点M的直线ED平行y轴交x

轴于点D,交抛物线于点E,求ME长的最大值及点M的坐标;(4)在(3)的条件下:当ME取得最大值时,在x轴上是否存在这样的点P,使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,请直接写出所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.【答案解

析】解:(1)∵直线y=﹣3x﹣3与x轴、y轴分别交于点A、C,∴A(﹣1,0),C(0,﹣3),∵抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣1,0),C(0,﹣3),∴,解得,∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.当y=0时,由x2﹣2x﹣3=0,得x1

=﹣1,x2=3,∴B(3,0).(2)设抛物线的对称轴交BC于点F,交x轴于点G.设直线BC的解析式为y=kx﹣3,则3k﹣3=0,解得k=1,∴y=x﹣3;∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,∴抛物线的顶点H(1,﹣4),当x=1时,y=1﹣3=﹣2,∴F(1,﹣2),∴FH=﹣2﹣(

﹣4)=2,∴S△BCH=12FH•OG+12FH•BG=12FH•OB=12×2×3=3.故答案为:3.(3)设E(x,x2﹣2x﹣3)(0<x<3),则M(x,x﹣3),∴ME=x﹣3﹣(x2﹣2x﹣3)=﹣x2+3x=﹣(x﹣32)2+94,∴当x=32时,ME

最大=94,此时M(32,﹣32).(4)存在.如图3,由(2)得,当ME最大时,则D(32,0),M(32,﹣32),∴DO=DB=DM=32;∵∠BDM=90°,∴OM=BM=322.点P1、P2、P3、P4在x轴上,当点P1与原点O重合时,则P1M=BM=322,P1(0,0);当BP2=

BM=322时,则OP2=3﹣322,∴P2(3﹣322,0);当点P3与点D重合时,则P3M=P3B=32,P3(32,0);当BP4=BM=322时,则OP4=3+322,∴P4(3+322,0).综上所述,P1(0,0),P2(3﹣322,0),P3(32,

0),P4(3+322,0).

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