【文档说明】中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与交点综合问题（教师版）.doc，共(17)页，263.865 KB，由MTyang资料小铺上传

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中考数学二轮压轴培优专题二次函数与交点综合问题1.如图，已知二次函数y＝x2＋2x＋c与x轴正半轴交于点B(另一个交点为A)，与y轴负半轴交于点C，且OC＝3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)设直线AC的解析式为y＝

kx＋b，求点A的坐标，并结合图象写出不等式x2＋2x＋c≥kx＋b的解集；(3)已知点P(﹣3，1)，Q(2，2t＋1)，且线段PQ与抛物线y＝x2＋2x＋c有且只有一个公共点，直接写出t的取值范围．【答案解析】解：(1)设B(m，0)，则O

B＝m，∵OC＝3OB，∴OC＝3m，C(0，﹣3m)，将B(m，0)，C(0，﹣3m)代入y＝x2＋2x＋c得：，解得(此时B不在x轴正半轴，舍去)或，∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x﹣3；(2)在y＝x2＋2x﹣3中，令y＝0得x2＋

2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或x＝1，∴A(﹣3，0)，由图象可知，当x≤﹣3或x≥0时，抛物线在直线上方，即x2＋2x＋c≥kx＋b，∴不等式x2＋2x＋c≥kx＋b的解集为x≤﹣3或x≥0；(3)设直线x＝2与抛物线y＝x2＋2x

﹣3交于K，如图：由图可知，当Q在K及K下方时，线段PQ与抛物线y＝x2＋2x﹣3有且只有一个公共点，在y＝x2＋2x﹣3中，令x＝2得y＝22＋2×2﹣3＝5，∴2t＋1≤5，解得t≤2，答：线段PQ与抛物线y＝x2＋2x＋c有且只有一个公共点，t的取值

范围是t≤2．2.如图，二次函数y＝﹣x2﹣2x＋4﹣a2的图象与一次函数y＝﹣2x的图象交于点A、B(点B在右侧)，与y轴交于点C，点A的横坐标恰好为a，动点P、Q同时从原点O出发，沿射线OB分别以每秒5和25个单位长度运动，经过t秒后，以PQ为对角线作矩形PMQN，且矩形四边

与坐标轴平行．(1)求a的值及t＝1秒时点P的坐标；(2)当矩形PMQN与抛物线有公共点时，求时间t的取值范围；(3)在位于x轴上方的抛物线图象上任取一点R，作关于原点(0，0)的对称点为R′，当点M恰在抛物线上时，求R′M长度的最小值，并求此时点R

的坐标．【答案解析】解：(1)当x＝a时，y＝﹣2a，∴A(a，﹣2a)，∴﹣2a＝﹣a2﹣2a＋4﹣a2，解得a＝±2，由题意可知a＝﹣2，∴y＝﹣x2﹣2x＋2，当t＝1时，OP＝5，设P(m，﹣2m)，∴5m＝5，

∴m＝1，∴P(1，﹣2)；(2)由题意可知，OP＝5t，OQ＝25t，∴P(t，﹣2t)，Q(2t，﹣4t)，∵四边形PMQN是矩形，∴M(2t，﹣2t)，N(t，﹣4t)，在矩形移动的过程中，M点最先与抛物线有交点，点N是抛物线与矩形最后有交

点，当M点在抛物线上时，﹣4t2﹣4t＋2＝﹣2t，解得t＝12或t＝﹣1(舍)，当N点在抛物线上时，﹣t2﹣2t＋2＝﹣4t，解得t＝1＋3或t＝﹣1﹣3(舍)，∴12≤t≤1＋3时，矩形PMQN与抛物线有公共点；(3)设R(m，﹣m2﹣2m＋2)，∴

R'(﹣m，m2＋2m﹣2)，由(2)知，M(1，﹣1)，∴R′M＝＝，当(m＋1)2＝32时，R'M有最小值，∴m＝62﹣1或m＝﹣62﹣1，当y＝0时，﹣x2﹣2x＋2＝0，解得x＝﹣1＋3或x＝﹣1﹣3，∴抛物线与x轴的交点为(﹣1＋3，0)，(﹣1﹣3，0)，∵R点在x轴上方，∴﹣1﹣3＜

m＜﹣1＋3，∴m＝62﹣1或m＝﹣62﹣1，∴R(62﹣1，32)或(﹣62﹣1，32)．3.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2(a＋1)x＋a＋2(a≠0)．(1)当a＝﹣18时，求抛物线的对称轴及顶

点坐标；(2)请直接写出二次函数图象的对称轴是直线(用含a的代数式表示)及二次函数图象经过的定点坐标是．(3)若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；(4)已知点A(0，﹣3)、B(5，﹣3)，若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．【答案解析】解：(1)

a＝﹣18时，y＝﹣18x2﹣74x＋158∴对称轴为直线x＝﹣7，把x＝﹣7代入y＝﹣18x2﹣74x＋158得，y＝8，∴顶点坐标为(﹣7，8)；(2)∵y＝ax2﹣2(a＋1)x＋a＋2(a≠0)．∴对称轴为直线x＝1＋1a，∵y＝ax2﹣2(a

＋1)x＋a＋2＝a(x﹣1)2﹣2(x﹣1)＝(x﹣1)[a(x﹣1)﹣2]，∴二次函数经过的定点坐标为(1，0)；故答案为：(1，0)；(3)由(2)知：二次函数图象的对称轴为直线x＝1＋1a，分两种情况：①当a＜0时，1＋1a＜1，在自变

量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，∴当x＝1时，y＝0，而当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，所以此种情况不成立；②当a＞0时，1＋1a＞1，i)当1＜1＋1a≤3时，即a≥12，当x＝5时，二次函数的最大值为y＝25a﹣10(a＋1)＋a＋2＝8，∴a＝1，此时二次函

数的解析式为y＝x2﹣4x＋3；ii)当1＋1a＞3时，在自变量x的值满足1≤x≤5的情况下，y随x的增大而减小，即x＝1有最大值，所以此种情况不成立；综上所述：此时二次函数的解析式为：y＝x2﹣4x＋3

；(4)分三种情况：①当抛物线的顶点在线段AB上时，抛物线与线段AB只有一个公共点，即当y＝﹣3时，ax2﹣2(a＋1)x＋a＋2＝﹣3，ax2﹣2(a＋1)x＋a＋5＝0，Δ＝4(a＋1)2﹣4a(a＋5)＝0，∴a＝13，当a＝13时，13x2﹣83x＋1

63＝0，解得：x1＝x2＝4(符合题意，如图1)，②当a＞0时，如图2，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴，解得：﹣5＜a＜516，∴0＜a＜516；③当a＜0时，如图3，当x＝0时，y＞﹣3；当x＝5时，y＜﹣3，∴，解得：﹣5

＜a＜516，∴﹣5＜a＜0；综上所述，a的取值范围是：a＝13或0＜a＜516或﹣5＜a＜0．4.已知二次函数y＝a(x﹣1)(x﹣1﹣a)(a为常数，且a≠0)．(1)求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点；(2)若点(0，y1)，(3，y2)在函数图象上，比较y1与y2的大小

；(3)当0＜x＜3时，y＜2，直接写出a的取值范围．【答案解析】解：(1)证明：令y＝0，即a(x﹣1)(x﹣1﹣a)＝0，∵a≠0，∴x﹣1＝0或x﹣1﹣a＝0，即x1＝1，x2＝1＋a，∵1≠1＋a，∴方程有两个不相等的实数根，∴该函数的图象

与x轴总有两个公共点；(2)∵点(0，y1)，(3，y2)在函数图象上，∴y1＝a2＋a，y2＝﹣2a2＋4a．∴y1﹣y2＝a2＋a＋2a2﹣4a＝3a2﹣3a．∴当a＜0或a＞1时，y1＞y2，当a＝1时，y1＝y2，当0＜a＜1时，y1＜y2；(3

)∵二次函数v＝a(x﹣1)(x﹣1﹣a)，整理可得：y＝ax2﹣a(a＋2)x＋a(a＋1)，由(1)可知：当y＝0时，解得：x＝1，x＝1＋a，∴二次函数的图象交轴于(﹣1，0)和(1＋a，0)两点，对称轴x＝，当x＝时

，y＝a(﹣1)(﹣1﹣a)＝a××(﹣)＝﹣∴二次函数图象的顶点坐标为(，﹣)，由(2)可知：当x＝0时，y1＝a2＋a，当t＝3时，y2＝﹣2a2＋4a，当a＞0时，二次函数的图象开口向上，∵0＜x＜3，∴，解得

：﹣2≤a≤1，∴0＜a≤I，当a＜0时，二次函数图象开口向下，∵对称轴x＝，当0＜＜3，即_2＜a＜0时，二次函数图象在顶点处取得最大值，∴﹣＜2解得：a＞﹣2，∴﹣2＜a＜0，当≤0，即a≤﹣2，由题意可知，a2＋a≤2，解得：﹣2≤a≤1，

即a＝﹣2，综上所述，当0＜x＜3时，y＜2，a的取值范围是：﹣2≤a≤1，且a≠0．5.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点(1)求分别以A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两

点为顶点的二次函数表达式；(2)求b的值，判断此二次函数图象与x轴的交点情况，并说明理由；(3)设(m，0)是该函数图象与x轴的一个公共点．当﹣3＜m＜﹣1时，结合函数图象，写出a的取值范围．【答案解析】解：(1)当顶点为A时，设二次函数的解析式为y＝a(x＋2)2＋1，把B的坐标代入得，﹣

3＝16a＋1，解得a＝﹣14，故当A为顶点时的二次函数表达式为y＝﹣14(x＋2)2＋1；当顶点为B时，设二次函数的解析式为y＝a(x﹣2)2﹣3，把A的坐标代入得，1＝16a﹣3，解得a＝14，故当B为顶点时的二次函数表达式为y＝14(x﹣2)2﹣3

；(2)把(﹣2，1)，(2，﹣3)代入y＝ax2＋bx＋c中，得：，两式相减得﹣4＝4b，∴b＝﹣1；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(﹣2，1)，B(2，﹣3)两点，∴此二次函数图象与x轴有

两个交点．(3)∵b＝﹣1，∴y＝ax2﹣x＋c，∵经过A(﹣2，1)，∴4a＋2＋c＝1，∴c＝﹣1﹣4a，由题意得：am2﹣m＋c＝0，∴am2﹣m﹣1﹣4a＝0，△＝1﹣4a(﹣1﹣4a)＝1＋4a＋16a

2，当a＞0时，则当x＝﹣1时，y＝a＋1﹣1﹣4a＜0，解得a＞0；当a＜0时，则当x＝﹣3时，y＝9a＋3﹣1﹣4a＝5a＋2＜0，解得a＜﹣25．则a＜﹣25．综上：a＞0或a＜﹣25．6.在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是(0，﹣3)，(0，4)，点

P(m，0)(m≠0)是x轴上一个动点，过点A作直线AC⊥BP于点D，直线AC与x轴交于点C，过点P作PE∥y轴，交AC于点E．(1)当点P在x轴的正半轴上运动时，是否存在点P，使△OCD与△OBD相似？若存在，请

求出m的值；若不存在，请说明理由．(2)小明通过研究发现：当点P在x轴上运动时，点E(x，y)也相应的在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上运动，为了确定函数解析式小明选取了一些点P的特殊的位置，计算了点E(x，y)的坐标，列表如下：x﹣230

23y0﹣30请填写表中空格，并根据表中数据求出二次函数的函数解析式；(3)把(2)中所求的抛物线向左平移n个单位长度，把直线y＝﹣2x﹣4向下平移n个单位长度，如果平移后的抛物线对称轴右边部分与平移后的直线有公共点，那么请直接

写出n的取值范围．【答案解析】解：(1)存在点P，使△OCD与△OBD相似，理由如下：如图，∵BP⊥AC，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∵∠OAC＋∠ACO＝90°，∴∠ABD＝∠ACO，当∠COD＝∠BDO时，OP＝PD，△OCD∽△DBO，连接A

P，则∠AOD＝∠ADO，∴AO＝AD，∵A(0，﹣3)，B(0，4)，∴OB＝4，OA＝AD＝3，∵AP＝AP，∴△AOP≌△ADP(SAS)，∴∠BAP＝∠DAP，OP＝DP，∴BP：OP＝BP：PD＝AB：A

D，∵P(m，0)，OP＝PD＝m，AB＝OB＋OA＝7，AD＝AO＝3，∴BP：m＝7：3，∴BP＝73m，由△BOP∽△BDA得，OP：AD＝OB：BD，BD＝BP＋PD＝103m，∴m：3＝4：(103m)，解得m＝

3510(负值舍去)；∴m的值为3510．(2)点P与点C重合时，点P与点E重合，分两种情况：①当m＞0时，如图，∵∠APB＝90°，PO⊥AB，∴Rt△OPB∽Rt△OAP，∴OP：OA＝OB：OP，∴OP：3＝4：OP，∴OP＝23，∴P(23，0

)，即点E的坐标为(23，0)；同理，当m＜0时，如图，点E的坐标为(﹣23，0)；当点P与原点重合，点E与点A重合时，点E的坐标为(0，﹣3)；填写表格如下：x﹣23023y0﹣30∴抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)关于y轴对称，b＝0，c＝﹣3，∴

12a﹣3＝0，解得a＝14，∴抛物线的解析式为：y＝14x2﹣3．(3)∵抛物线y＝14x2﹣3向左平移n个单位后为：y＝14(x＋n)2﹣3，∴抛物线的顶点为(﹣n，﹣3)，直线y＝﹣2x﹣4向下平移n个单位为：y＝﹣2x﹣4﹣n，将顶点(﹣n

，﹣3)代入y＝﹣2x﹣4﹣n得，﹣2(﹣n)﹣4﹣n＝﹣3，解得n＝1，∴平移后的抛物线对称轴右边部分与平移后的直线有公共点时n的取值范围为n＞1．7.在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2＋2mx﹣6m(x≤2m，m为常数)的图象记作G，图象G上点A的横坐标为2m．平面内有点C(

﹣2，﹣2)．当AC不与坐标轴平行时，以AC为对角线构造矩形ABCD，AB与x轴平行，BC与y轴平行．(1)当m＝﹣2，求图象G的最高点坐标；(2)若图象G过点(3，﹣9)，求出m的取值范围；(3)若矩形ABCD为正方形时，求点A坐标；(4)图象G与矩形ABCD的边有两个公共点时

，直接写出m的取值范围．【答案解析】解：(1)m＝﹣2时，y＝﹣x2﹣4x＋12＝﹣(x＋2)2＋16(x≤﹣4)，∴抛物线开口向下，顶点坐标为(﹣2，16)，∵﹣4＜﹣2，∴x＝﹣4时，y＝﹣16＋16＋12＝12为函

数最大值，∴图象G的最高点坐标为(﹣4，12)．(2)∵y＝﹣x2＋2mx﹣6m＝﹣(x﹣m)2＋m2﹣6m，∴抛物线对称轴为直线x＝m，将x＝3代入y＝﹣x2＋2mx﹣6m＝﹣9，∴抛物线过定点(3

，﹣9)，∴2m≥3，解得m≥32．(3)将x＝2m代入y＝﹣x2＋2mx﹣6m得y＝﹣6m，∴点A坐标为(2m，﹣6m)，∵C(﹣2，﹣2)，∴|xA﹣xC|＝|yA﹣yC|，∴2m＋2＝﹣6m＋2或2m＋2＝﹣2＋6m，解得m＝0或m＝1，∴点A坐标为

(0，0)或(2，﹣6)．(4)点A为抛物线与矩形交点，当m＞0时，抛物线对称轴在线段AD左侧，y轴右侧，当﹣6m＜﹣2时，AB在CD下方，m＞13，∴当抛物线顶点(m，m2﹣6m)在CD下方时满足题意，∴m2﹣6m＜﹣2，解得3﹣7＜m

＜3＋7，当﹣1＜m≤0时，AD在BC右侧，抛物线对称轴在AD右侧，抛物线在矩形内部的部分y随x增大而增大，满足题意，当m＜﹣1时，图象G与矩形只有1交点为A，综上所述，3﹣7＜m＜3＋7或﹣1＜m≤0．8.定义：若两个函数的图象关于某一点P中心对称，则

称这两个函数关于点P互为“伴随函数”．例如，函数y＝x2与y＝﹣x2关于原点O互为“伴随函数”．(1)函数y＝x＋1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为，函数y＝(x﹣2)2＋1关于原点O的“伴随函数”的

函数解析式为；(2)已知函数y＝x2﹣2x与函数G关于点P(m，3)互为“伴随函数”．若当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，求m的取值范围；(3)已知点A(0，1)

，点B(4，1)，点C(2，0)，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N关于点C互为“伴随函数”，将二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a(a＞0)与函数N的图象组成的图形记为W，若图形W与线段AB恰有2个公共点，直接写出a的取值范围．【答案解析】解：(1)∵两

个函数是关于原点O的“伴随函数”，∴两个函数的点分别关于原点中心对称，设函数y＝x＋1上的任一点为(x，y)，则它的对称点为(﹣x，﹣y)，将(﹣x，﹣y)代入函数y＝x＋1得：﹣y＝﹣x＋1，∴y＝x﹣1

．函数y＝x＋1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝x﹣1；同理可得，函数y＝(x﹣2)2＋1关于原点O的“伴随函数”的函数解析式为y＝﹣(x＋2)2﹣1，故答案为：y＝x﹣1；y＝﹣(x＋2)2﹣1；

(2)如图，当m＜x＜7时，函数y＝x2﹣2x与函数G的函数值y都随自变量x的增大而增大，∵“伴随函数”的开口方向向下，∴在对称轴的左侧y随自变量x的增大而增大，∴m＜7，同时“伴随函数”的对称轴应与直线x＝7重合或在直线x＝7的左侧，∴m≥，∴m≥4，综上，函数y＝x2﹣2x与函数G的

函数值y都随自变量x的增大而增大，m的取值范围为4≤m＜7；(3)a的取值范围为a＝14或a＝36或a＞13．理由：①当“伴随函数”的顶点在AB上时，如图，∵y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a(x﹣1)2﹣4a，∴二次函数y＝

ax2﹣2ax﹣3a的对称轴为直线x＝1，∵点C(2，0)为对称中心，∴函数N的对称轴为直线x＝3，∴函数N的顶点坐标为(3，1)，∵(3，1)关于点C(2，0)对称的点为(1，﹣1)，∴将(1，﹣1)代入y＝ax2﹣2ax﹣3a得：a﹣2a﹣3a＝﹣1，∴a＝

14；②当两个函数的交点在AB上时，如图，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴的交点为(﹣1，0)和(3，0)，∵点C(2，0)为对称中心，∴函数N与x轴的交点为(5，0)和(1，0)，∴函数N的解析式为y＝﹣ax2＋6ax﹣5a，当y＝1时，，解得：a＝36；③当“伴随函数”经过点B时，如图，

∵点B(4，1)，∴1＝﹣a×16＋6a×4﹣5a，解得：a＝13．综上，图形W与线段AB恰有2个公共点，a的取值范围为a＝14或a＝36或a＞13．9.对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如

下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离”，记作d(M，N)．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d(M，N)＝0．一次函数y＝kx＋2的图象为L，L与

y轴交点为D，在△ABC中，A(0，1)，B(﹣1，0)，C(1，0)．(1)求d(点D，△ABC)＝；当k＝1时，求d(L，△ABC)＝；(2)若d(L，△ABC)＝0，直接写出k的取值范围；(3)函数y＝x＋b的图象记为

W，若d(W，△ABC)≤2，则b的取值范围是．【答案解析】解：(1)将x＝0代入y＝kx＋2得y＝2，∴D(0，2)，∴d(点D，△ABC)＝点D(0，2)到点A(0，1)的距离，即AD＝2﹣1＝1，当

k＝1时，y＝x＋2，直线L与AB平行，如图，作AE⊥直线y＝x＋2，∵三角形ADE为等腰直角三角形，AD＝1，∴AF＝22，故答案为：1，22．(2)若d(L，△ABC)＝0，则直线L与三角形ABC有交点，当直线L经过点B时，将(﹣1，0)代入y＝kx＋2得0＝﹣k＋2，解得k＝2，∴k≥2满

足题意，当直线L经过点C时，将(1，0)代入y＝kx＋2得0＝k＋2，解得k＝﹣2，∴k≤﹣2满足题意，故答案为：k≥2或k≤﹣2．(3)将x＝0代入y＝x＋b得y＝b，∴直线y＝x＋b与y轴交点为(0，b)，如图，当b＞0

时，设直线y＝x＋b与y轴交点为M，与x轴交点为N，作AG⊥MN于点G，∵直线MN∥AB，∴当AG＝2时，AM＝2AG＝22，∴点M坐标为(0，1＋22)，∴b＝1＋22，当b＜0时，设直线y＝x＋b与y轴交点为Q，与x轴交点为P，作C

H⊥PQ于点H，同理，当CH＝2时，CP＝2CH＝22，∴OQ＝OP＝OC＋CP＝1＋22，∴b＝﹣1﹣22，∴﹣1﹣22≤b≤1＋22时符合题意．故答案为：﹣1﹣22≤b≤1＋22．10.若一个函数

图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点”，例如直线y＝x＋2的图象上的(﹣1，1)即为反值点．(1)判断反比例函数y=9x的图象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；(2)判断关于x的函数(a是常数)的图

象上是否存在反值点？若存在，求出反值点的坐标，若不存在，说明理由；(3)将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移m(m为常数，且m＞0)个单位后，若在其图象上存在两个反值点，求m的取值范围．【答案解析】解：(1)反比例函数y=9x的图象上存在反值点．理

由如下：∵一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点“，∴当y＝﹣x时，即-x=-9x，解得：x＝3或x＝﹣3，当x＝3时，y=-3，当x＝﹣3时，y=3，∴反值点的坐标为(3，﹣3)或(﹣

3，3)；(2)关于x的函数(a是常数)的图象上不存在反值点．理由如下：∵一个函数图象上存在横纵坐标互为相反数的点，我们将其称之为“反值点，∴若y＝﹣x，则，整理，得：x2＋2x＋a2＋2＝0，∴Δ＝22﹣4(a2＋2)＝﹣4(a2＋1)，∵a2＋1＞0，∴

﹣4(a2＋1)＜0，∴此方程无实数根，∴假设不成立，∴关于x的函数(a是常数)的图象上不存在反值点；(3)由题意可知：将二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象向上平移m(m为常数，且m＞0)个单位后所得函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3＋m

，∵在其图象上存在两个反值点，∴x2﹣2x﹣3＋m＝﹣x，整理，得：x2﹣x＋m﹣3＝0，∴Δ＝(﹣1)2﹣4×1×(m﹣3)＝13﹣4m＞0，解得：m<134，∵m＞0，∴m的取值范围是0<m<134.