【文档说明】中考数学二轮压轴培优专题 二次函数与矩形存在性问题（原卷版）.doc，共(10)页，98.850 KB，由MTyang资料小铺上传

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中考数学二轮压轴培优专题二次函数与矩形存在性问题1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2＋bx＋32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l，P是该抛物线上一动点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵

坐标为﹣m＋32．以PQ，QM为边作矩形PQMN．(1)求抛物线的解析式；(2)当点Q与点M重合时，求m的值；(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值；(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，求m的取值范围．2.如图，

在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣12x2＋bx＋32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为(3，0)，过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其

纵坐标为﹣m＋32．以PQ，QM为边作矩形PQMN．(1)求b的值．(2)当点Q与点M重合时，求m的值．(3)当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．(4)当抛物线在矩形PQMN内的部分

所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．3.在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2＋bx＋c(b、c是常数)经过点(0，﹣1)和(2，7)，点A在这个抛物线上，设点A的横坐标为m．(1)求此抛物

线对应的函数表达式并写出顶点C的坐标．(2)点B在这个抛物线上(点B在点A的左侧)，点B的横坐标为﹣1﹣2m．①当△ABC是以AB为底的等腰三角形时，求OABC的面积．②将此抛物线A、B两点之间的部分(包括A、B两点)记为图象G，当顶点

C在图象G上，记图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式．(3)设点D的坐标为(m，2﹣m)，点E的坐标为(1﹣m，2﹣m)，点F在坐标平面内，以A、D、E、F为顶点构造矩形，当此抛物线与矩形有3个交点时，直接写

出m的取值范围．4.如图1，抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)与x轴交于A(﹣2，0)，B(6，0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．

(1)求抛物线的表达式；(2)设线段PE的长度为h，请用含有m的代数式表示h；(3)如图2，过点P作PF⊥CE，垂足为F，当CF＝EF时，请求出m的值；(4)如图3，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对

称点O′恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．5.如图，已知抛物线C1：y＝a1x2＋b1x＋1c和C2：y＝a2x2＋b2x＋c2(|a1|＝|a2|)都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一交点分别为M，N，如果

四边形ANBM是平行四边形，则称抛物线C1和C2为对称抛物线．(1)观察图象，写出对称抛物线两条特征；(如：抛物线开口大小相同)(2)若抛物线C1的解析式为y＝﹣x2＋2x，确定对称抛物线C2的解析式．(3)若MN

＝4，且四边形ANBM是矩形时，确定对称抛物线C1和C2的解析式．6.如图，抛物线y＝ax2＋3x＋c与x轴交于点A，B，直线y＝x＋1与抛物线交于点A，C(3，n)．点P为对称轴左侧抛物线上一动点，其横

坐标为m．(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标．(2)已知直线l：x＝m＋5与直线AC交于点D，过点P(横坐标为m)，作PE⊥l于点E，以PE，DE为边作矩形PEDF．①当抛物线的顶点在矩形PEDF内部时，m的取值范围为(请直接写出)②在①的条件下，求

矩形PEDF的周长的最小值．7.已知二次函数y＝﹣12x2＋nx﹣12n2＋2n﹣3，点A、点B均在此二次函数的图象上，点A的横坐标为n﹣1，点B的横坐标为2n﹣2，在点A和点B之间的图象为G．(1)当n＝2时，①求二次函数图象的顶点坐标；②当﹣1≤x≤3时，求y的取值范围．

(2)AB所在的直线交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，以AD、CD为邻边构造矩形ADCE，直接写出当抛物线的顶点落在矩形ADCE的边上时n的值．(3)当图象G上存在两个点到直线y＝3n﹣4的距离为3，直接写出满足条件的n的取值范围．8.九(1)班数学课题学习小组，为了研究学习二

次函数问题，他们经历了实践一一应用一一探究的过程：(1)实践：他们对一条公路上横截面为抛物线的单向双车道的隧道进行测量，测得隧道的路面宽为10m，隧道顶部最高处距地面6.25m，并画出了隧道截面图，建立了如图①所示的直

角坐标系，则该抛物线的解析式为．(2)应用：按规定，机动车辆通过隧道时，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少为0.5m．为了确保安全，问该隧道能否让最宽3m、最高3.5m的两辆厢式货车居中并列行驶(两车并列行驶时不考虑两车之间

的空隙)？(3)探究：该课题学习小组为进一步探索抛物线的有关知识，他们借助上述抛物线模型，提出了以下两个问题，请予解答：Ⅰ．如图②，在抛物线内作矩形ABCD，使顶点C、D落在抛物线上，顶点A、B落在x轴上．设矩形ABCD的周长为l，求l的最大值．Ⅱ．如图③，过原点作一

条y＝x的直线OM，交抛物线于点M，交抛物线对称轴于点N，P为直线OM上一动点，过P点作x轴的垂线交抛物线于点Q．问：在直线OM上是否存在点P，使以P、N、Q为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．9.如图；已知抛物线y＝ax2

＋3x＋c与直线y＝x＋1交于两点A，B(3，n)，且点A在x轴上．(1)求a，c，n的值；(2)设点P在抛物线上，其横坐标为m．直线l：x＝m＋5与直线AB交于点C，过点P作PD⊥l于点D，以PD，CD

为边作矩形PDCE，使得抛物线的顶点在矩形PDCE内部．①直接写出：m的取值范围是；②求PD＋CD的最小值．10.已知抛物线L：y＝﹣x2＋4x＋a(a≠0)．(1)抛物线L的对称轴为直线．(2)当抛物线L上到x轴的距

离为3的点只有两个时，求a的取值范围．(3)当a＜0时，直线x＝a、x＝﹣3a与抛物线L分别交于点A、C，以线段AC为对角线作矩形ABCD，且AB⊥y轴．若抛物线L在矩形ABCD内部(包含边界)最高点的纵坐标等于2，求矩形ABCD的周长．(4

)点M的坐标为(4，﹣1)，点N的坐标为(﹣1，﹣1)，当抛物线L与线段MN有且只有一个公共点，直接写出a的取值范围．