【文档说明】《2.3 等腰三角形的性质定理》教学设计1-八年级上册数学浙教版.doc，共(3)页，46.000 KB，由小喜鸽上传

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线段的和差倍分证明问题在初中几何中证明线段相等的关系是一块重要的教学内容，基于八年级上的学生在证明线段相等问题上也基本主要利用三角形全等，或者利用在一个三角形里，等角对等边这些基本定理就能直接找到方向。线段的和差倍分关系的出现，由于很难直接从所学的定理定义中寻找证明线段不等关系的线索，这

类问题则成了学生的难题，也成了我们的教学难点。对于这类题目我在此谈谈它在八年级上的知识体系下的一般证明方法。1、利用定理即直接或者间接利用涉及线段的和差倍分关系的定力或推论进行证明。此类定理在现阶段仅有一个：直角

三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个定理一般就作为初步推论的依据较容易证明。2、利用等量线段代换对于稍简单的初级题型，原图形已经有现成的等量代换的线段存在，此题型通常证明一条线段等于另外两条线段的和或者差，只需要证明最长的线段等于其它

两条较短线段的和，问题就很容易解决。例1：△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．求证：BD=2CE．分析：由已知条件发现我们不难发现△ABD≌△ACF，于是证明BD=2CE就顺利转化

成说明FC=2CE,即我们找到了等量替换的线段证明：∵BE平分∠FBC，BE⊥CF，∴BF=BC，∴CE=EF，∴CF=2CE，∵∠BAC=90°，且AB=AC，∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，∴∠FBE=∠CBE=22.5°，∴∠F=

∠ADB=67.5°，∴△ABD≌△ACF（AAS），∴BD=CF，∴BD=2CE．但是问题往往还会再加深一步就会遇到已知图形中并不存在可以找到的将多线段的和差倍分问题替换的线段，那么常见的解决的方式又分成以下两种。3、拆分重组

法（不添辅助线）：就是将求证的几条线段重新拆分组合寻找新组成后的线段之间的关系从而解决问题例2、已知,在△ABC中,∠BAC的角平分线AD与BC边上的中垂线GD交于D,DE⊥AB,DF⊥AC,求证,（1）BE=CF（2）AB+AC=2AE分析：第一小题利用中垂线的性

质不难发现通过做辅助线利用三角形全等证明线段相等，而第二小题不少学生找不到突破口，对于等量线段代换法找不到直接与AB+AC长度相等的替换线段，同样2AE也无从找寻。此时就应该考虑两小题间的联系，利用第一小

题的结论，这里就应该考虑将线段重新拆分组合去寻找解题关键。证明：(1)连接DB,DC,∵GD是中垂线,∴DB=DC∵AD是角平分线,∴DF=DE而∠DEB=∠DFC=90°∴直角△DBE≌直角△DCF∴BE=CF（2）AB+AC=AE+BE+AC=AE+CF+

AC=AE+AF,∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC∴AE=AF∴AB+AC=AE+AF=2AE4、截长法或补短法（添加辅助线）：通过截长或者补短的方式，在相关的线段或者它的延长线上构造一条线段，使其能够表示几

条线段的和差倍分关系，从而将多条线段之间的问题转化成两条线段的关系。此方法是我们解决线段的和差倍分问题的基本思路例3、如图，在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线交BC于D，求证：AB+BD=AC．截

长法分析：由∠B=2∠C，得AC＞AB，通过在AC上取一点E，使得AB=AE，从而利用△ABD≌△AED，使AB=AE，BD=DE，要证AB+BD=AC，即转化为证AE+BD=AE+EC，即证明BD=EC。证明：在AC上取一点E，使AB=AE，连结DE．在

△ABD和△AED中ADADDAEBADAEAB∴△ABD≌△AED（SAS）．∴BD=DE，∠B=∠AED．又∠AED=∠EDC+∠C=∠B=2∠C，∴∠EDC=∠C．∴ED=EC．∴AB+BD=AC．补短法分析：因为∠B=2∠C，所以AB＜AC，可以在AB的

延长线上取一点E，使得AE=AC，构造出△AED≌△ACD，使AC=AE，DC=DE上，要证AB+BD=AC即转化为证明AB+BD=AB+BE，即证明BD=BE。证明：在AB的延长线上取一点E，使AC=AE，连结DE．在△AED和△ACD中，ABCDEABCDEACFGDBEA

DADDACBADACAE∴△AED≌△ACD（SAS）．∴∠C=∠E．又∠ABC=∠E+∠BDE=2∠C=2∠BDE，∴∠E=∠BDE．∴BE=BD．∴AB+BD=AE＝AC．同理也可以延长DB到点E，使AB=BE，即AB+BD=ED，只需证明ED=AC对于截长法还是补短法的选择也应该视具体

的题目而定，看选择哪种方式证明线段关系更便捷。5、面积法：利用三角形的面积来证明线段间的关系。通常涉及到的线段都是三角形的高线，用这种方法较简单。例4、求证：等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰

上的高。已知：如图AB=ACPE⊥ABPD⊥ACCF⊥AB求证：CF=PE+PD证明：S△APB=12AB·PES△APC=12AC·PDS△ABC=S△APB+S△APC∴12AB·CF=12AB·PE+12AB·PD即CF=PE+PD以上几种线段的和差倍分证明只是一般方法，当然实际问题当中我们

可以有更多方式去解决这类问题。实际上线段的和差倍分关系证明的一般方法同样可以应用到角的问题上。虽然几何证无定法，但是我们在平时的教与学当中了解掌握解这一类题的一般思路后，探索拓展这类题的其他解题方法，训练发散思维才能沉着突破各种几何问题。ABCDEAFEPD