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《二次函数图象综合应用》(著名机构整理)-2020年中考数学专题复习

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【文档说明】《二次函数图象综合应用》(著名机构整理)-2020年中考数学专题复习.doc,共(16)页,3.029 MB,由小喜鸽上传

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以下为本文档部分文字说明:

1图象性质:二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面.若二次函数解析式为2yaxbxc(或2()yaxhk)(0a),则:开口方向00aa

向上向下,a越大,开口越小.对称轴2bxa(或xh).顶点坐标(2ba,24)4acba或(h,)k.单调性当0a时,在对称轴的左侧,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随x的增大而增大(如图1);图1知识

互联网思路导航题型一:二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用2当0a时,在对称轴的左侧,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随x的增大而减小(如图2)图2与坐标轴的交点①与y轴的交点:0c,;②与x轴

的交点:1200xx,,,,其中12xx,是方程200axbxca的两根.图象与x轴的交点个数①当240bac时,图象与x轴有两个交点.②当0时,图象与x轴只有一个交点.③当0时,图象与x轴没有交点.Ⅰ当0a时,

图象落在x轴的上方,无论x为任何实数,都有0y;Ⅱ当0a时,图象落在x轴的下方,无论x为任何实数,都有0y.【引例】二次函数2yaxbxc的图象如图所示,判断a,b,c,24bac,2ab,abc,abc的符号【解析】由图知:图象开口向上,所以0a;函数的

对称轴02bxa,所以0b;函数图象与y轴的交点小于0,所以0c;函数图象与x轴有两个不同的交点,所以240bac;同时12bxa,所以20ab;1x所对应的函数值小于0,所以0abc;1x所对应的函数值大于0,所以0ab

c【例1】⑴二次函数2yaxbxc的图象如图所示,则点ac,在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限⑵二次函数cbxaxy2的图象如图所示,则一次函数baxy与反比例函数xcy在同一平面直角坐标系中的大致图象为(

)例题精讲典题精练yxO1-1OyxxyO3xyOxyOxyOxyOA.B.C.D.⑶一次函数0abaxy、二次函数bxaxy2和反比例函数0kxky在同一直角坐标系中的图象如图所示,A点的坐标为02,,则下列结论中,正确的是()A.k

ab2B.kbaC.0>>baD.0>>ka【解析】⑴B.⑵B.⑶D.【例2】⑴如图,抛物线2yaxbxc,OAOC,下列关系中正确的是()A.1acbB.1abcC.1bcaD.1ac

b)⑵如图,抛物线2yaxbxc与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,若12OBOCOA,则b的值为.【解析】⑴A.提示:把0c,代入2yaxbxc即可.⑵12.提示:先把B0c,代入2yaxbxc,得1acb,再把0c,代入2

yaxcxc即可.【例3】⑴函数2yaxbxc与xy的图象如图所示,有以下结论:①acb42>0;②01cb;③063cb;④当1<x<3时,012<cxbx.其中正确的为.⑵已知二次

函数2(0)yaxbxca的图象如图所示,有下列8个结论:①0abc;②bac;③420abc;④23cb;⑤()abmamb,(1m的实数);⑥20ab;⑦240bac,⑧22()acb,其中正确的结论有()A.2

个B.3个C.4个D.5个CBAOyxxyOCABx=1-1OyxxyAOxy3311O4【解析】⑴③④⑵C.对称轴在y轴的右边得0ab(由开口向下得0a,故0b),抛物线与y轴交于正半轴得0c,∴0abc

,①不正确;当1x时,函数值为0abc,②不正确;当2x时,函数值420abc,③正确;其实0x和2x到对称轴1x的距离相等,函数值相等得42abcc,∴2ba代入0abc,32bc,即23cb,④正确;当1x,∵1m,2maxyabcambmc

,可知⑤正确;由对称轴12ba得20ab,故⑥正确;抛物线与x轴有两个交点,故240bac,故⑦不正确;0abc,0abc,故220acb,故⑧不正确.对于二次函数20yaxbxca(maxy表示y的最大值

,miny表示y的最小值)⑴若自变量x的取值范围为全体实数,如图①,函数在顶点处2bxa时,取到最值.⑵若2bmxna≤≤,如图②,当xm,maxyy;当xn,minyy.⑶若2bmxna≤≤,如图③,当xm,minyy;当x

n,maxyy.⑷若mxn≤≤,且2bmna≤≤,22bbnmaa,如图④,当2bxa,minyy;当xn,maxyy.x=-b2ax=-b2ax=-b2ax=-b2a④③②①【引例】⑴若x为任

意实数,求函数221yxx的最小值;⑵若12x≤≤,求221yxx的最大值、最小值;⑶若01x≤≤,求221yxx的最大值、最小值;思路导航例题精讲题型二:二次函数的最值5⑷若20x≤≤,求221yxx的最大值、最小值;⑸若x为整

数,求函数221yxx的最小值.【解析】⑴套用求最值公式(建议教师讲配方法):当112224bxa时,y的最小值是24748acba.⑵由图象可知:当12x≤≤时,函数221yxx单调递增,当1x时,y最小,且21112y,当2

x时,y最大,且222217y.⑶由图象可知:当01x≤≤时,函数221yxx是先减后增,∴当14x,y最小,且78y.∵当0x时,20011y;当1x时,211121y,∴当1x时,y最大,且2y.⑷由函数图象开口

向上,且120<4x≤≤,故当2x时,y取最大值为11,当0x时,y取最小值为1.⑸∵112224bxa,当0x时,y取最小值为1.【点评】由此题我们可以得到:求二次函数2(0)yaxbxca在给定区域内的最值,得看抛物线顶

点横坐标2bxa是否在给定区域内.若在,则在顶点处取到一个最值,若不在,则在端点处取得最大值和最小值(其实求出端点值和顶点值,这三个值中最大的为最大值,最小的为最小值).【例4】⑴已知m、n、k为非负实数,且121nkkm,则代数式68

22kk的最小值为.⑵已知实数xy,满足2330xxy,则xy的最大值为.⑶当3310122x≤≤时,二次函数223yxx的最小值为()A.4B.154C.12D.12【解析】⑴∵m、n、k为非负实数,且121nkkm,∴m、n、k最小为0,当n

=0时,k最大为:21;∴210k,故最小值为2.5.⑵4.提示:233yxx,令222314qxyxxx,当1x,q的最大值为4.本题属于x为全体实数,求二次函数的最值,配方法要熟练掌握.⑶B.提示:二次函数的对称轴为1122bxa,且抛物线的开

口向上,故12x时,y的最小值为154.【例5】如图,抛物线211yaxax经过点1928P,,且与抛物线221yaxax相交于典题精练6AB,两点.⑴求a值;⑵设211yaxax

与x轴分别交于MN,两点(点M在点N的左边),221yaxax与x轴分别交于EF,两点(点E在点F的左边),观察MNEF,,,四点的坐标,写出一条正确的结论,并通过计算说明;⑶设AB,两点的横坐标分别记为ABxx,,若在x轴上有一动点0Qx,,且ABxxx≤≤,过Q作一条垂直

于x轴的直线,与两条抛物线分别交于CD,两点,试问当x为何值时,线段CD有最大值?其最大值为多少?【解析】⑴∵点1928P,在抛物线211yaxax上,∴1191428aa,解得12a.⑵由⑴知

12a,∴抛物线2111122yxx,2211122yxx.当2111022xx时,解得12x,21x.∵点M在点N的左边,∴2Mx,1Nx.当2111022xx时,解得31x,42x.∵点E在点F的左边,∴1Ex,2Fx

.∵0MFxx,0NExx,∴点M与点F关于y轴对称,点N与点E关于y轴对称.⑶∵102a.∴抛物线1y开口向下,抛物线2y开口向上.根据题意,得12CDyy22211111122222xxxxx.又212211122

11122yxxyxx,消y可解得1222xx,,则当0x时,CD的最大值为2.【例6】⑴二次函数2yaxbxc的图象的一部分如图所示,求a的取值范围yxPA

OBMENFyxPAOBDQCMEFN7Oyx11⑵二次函数2yaxbxc的图象的一部分如图所示,试求abc的取值范围.-1-1Oyx【解析】⑴根据二次函数图象可知0a,又此二次函数图象经过(10),,(01),则有0abc,1c,得(1)ba,∵0a,据图

象得对称轴在y轴左侧,∴0b∴10a,∴1a于是有10a.⑵由图象可知0a.又顶点在y轴的右侧,在x轴的下方,则:02ba,2404acba,∴0b.又∵当0x时,1yc当0y时,1x,∴0abc

∴10ab∴10b.∴202abcabcbb∴220b,即20abc.8精讲:数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围

的应用;二次函数的图像信息:⑴根据抛物线的开口方向判断a的正负性.⑵根据抛物线的对称轴的位置判断a与b之间的关系.⑶根据抛物线与y轴的交点,判断c的大小.⑷根据抛物线与x轴有无交点,判断24bac的正负性.⑸根据抛物线所经过的特殊点的坐标,可得到关于abc,,的等式.⑹

根据抛物线的顶点,判断244acba的大小.例.2yaxbxc的图象如图所示.设|||||2||2|Mabcabcabab,则()Oyx1-1A.0MB.0MC.0MD.不能确定M为正,为负或为0分析:

依题意得0a,012ba,∴0b,20ab,20ab,又当1x时,0yabc,当1x时,0yabc,故()()(2)(2)2()0Mabcabcabababc,故选C.☆【探究2】数形结合思想在求

解二次函数的区间最值中的应用;(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容,但在目前中考改革创新,部分高中思想下放初中的大前提下,老师可以针对班里学生层次进行选讲)区间最值分三种类型:“轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”;1、轴定区间定:2、轴动区间定:例.求

2()22fxxax在[24],上的最大值和最小值.分析:先求最小值.因为()fx的对称轴是xa,可分以下三种情况:⑴当2a时,()fx在[24],上为增函数,所以min()(2)64fxfa;⑵当24a≤≤时,()fa为最小值,2min()2fxa;⑶当4a时,()fx

在[24],上为减函数,所以min()(4)188fxfa.综上所述:2min64,(2)()2,(24)188,(4)aafxaaaa≤≤最大值为(2)f与(4)f中较大者:(2)(4)(64)(188)124ffaaa

,9(1)当3a≥时,(2)(4)ff≥,则max()(2)64fxfa;(2)当3a时,(2)(4)ff,则max()(4)188fxfa.故max64,(3)()88,(3)aafxaa≥点评:本题属于二次函数在给定区间上的最值

问题,由于二次函数的系数含有参数,对称轴是变动的,属于“轴动区间定”,由于图象开口向上,所以求最小值要根据对称轴xa与区间[24],的位置关系,分三种情况讨论;最大值在端点取得时,只须比较(2)f与(4)f的大小,按两种情况讨论即可,实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、

右两种情况.3、轴定区间动:例.若函数2()22fxxx当1txt≤≤时的最小值为()gt,求函数()gt当[32]t,时的最值.分析:2()(1)1fxx,按直线1x与区间[1]tt,的不同

位置关系分类讨论:若1t,则2min()()(1)1fxftt;若11tt≤≤,即01t≤≤,则min()(1)1fxf;若11t,即0t,则2min()(1)1fxftt

.∴22(1)1(1)()1(0)1(0)ttgtttt≤≤1函数()gt在(0),内是减函数,在[01],内是常值函数,在(1),内是增函数,又(3)(2)gg,故在区间[32],

内,min()1gt(当01t≤≤时取得),max()(3)10gtg.小结:(i)解此类问题时,心中要有图象;(ii)含参数问题有两种:一种是“轴变区间定”,另一种是“轴定区间变”.讨论时,要紧紧

抓住对称轴与所给区间的相对位置关系,这是进行正确划分的关键.☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用;(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容,但在目前中考改革创新,部分高中思想下放初中的大前

提下,老师可以针对班里学生层次进行选讲)二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x轴交点的横坐标.因此,可以借助于二次函数及其图像,利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题.设二次方程002acbxax的两个实根1x、2x21xx<,

acb42,方程对应的二次函数为02acbxaxxf.1.当方程有一根大于m,另一根小于m时,对应二次函数xf的图像有下列两种情形:10方程系数所满足的充要条件:0<maf;2.当方程两根均大于m时,对应函数xf的图像有下列两

种情形:方程系数所满足的充要条件:0>,mab>2,0>maf;3.当方程两根均在区间nm,内,对应二次函数xf的图像有下列两种情形:方程系数所满足的充要条件:0>,nabm<<2,0>maf,0>naf;4.当两根中仅有一根在区

间nm,内,对应函数xf的图像有下列四种情形:方程系数所满足的充要条件:0<nfmf;5.当两根在区间nm,之外时:对应函数xf的图像有下列两种情形:11方程系数所满足的充要条件:0<maf,

0<naf;6.当两根分别在区间nm,、ts,内,且sn,对应函数xf的图像有下列两种情形:方程系数所满足的充要条件:0>maf,0<naf,0<saf,0>taf.小结:由函数图像与x轴交点的位置写出相应的充要条件,一般考虑三个方面:①判别式ac

b42的符号;②对称轴abx2的位置分布;③二次函数在实根分布界点处函数值的符号.例.若方程01222mmxx的两个根均大于2,求实数m的取值范围.分析:令1222mmxxxf,如图得充要条件:

20124220124422>>mmmfmm,解得4316m<.12训练1.已知:abc,且0abc,则二次函数2yaxbxc的图象可能是下列图象中的()xy-1-21-1yx1-11xy1xyABCD【解析】B.由abc

,且0abc,可得0a,0c,且过10,点,由abc,且abc=0,利用不等式性质,可以进一步推出下列不等关系:abab,∴112ba,∴11224ba.另一方法:∵ab,∴330ab,330ababc,从而

得到420abc.训练2.已知二次函数2211ykxkx与x轴交点的横坐标为1x、2x12xx,则对于下列结论:⑴当2x时,1y;⑵当2xx时,0y;⑶方程22110kxkx有

两个不相等的实数根1x、2x;⑷11x,21x;⑸22114kxxk,其中所有正确的结论是______.(只需填写序号)【解析】⑴⑶⑷.当2x时,代入得1y,故⑴正确;因为k的符号不确定,故开口不确定,因此无法确定当2x

x时,0y,故⑵不正确;联立方程22110ykxkxy可得22110kxkx,抛物线与x轴有两个交点,即方程22110kxkx有两个不相等的实数根.当1x时,yk,

若0k,0yk,若0k,0yk,故⑷正确.22114kxxk,故⑸不正确.训练3.如图所示,二次函数2(2)5yxaxa的图象交x轴于A和B,交y轴于C,当线段AB最短时,求线段OC的长.【解析】设1(Ax,0),2(Bx,0),思维拓展训练(选讲)

CBAxOy13则1x,2x是方程2(2)50xaxa的两根,则12ABxx222(2)4(5)824(4)8aaaaa当4a时,AB取最小值,即最短,此时,抛物线为221yxx,可求得C的纵坐标为1,即线段OC的长是1.训练

4.小明为了通过描点法作出函数21yxx的图象,先取自变量x的7个值满足:213276xxxxxxd,再分别算出对应的y值,列出表1:表1:x1x2x3x4x5x6x7xy13713213143记121myy,232myy,343

myy,454myy,…;121smm,232smm,343smm,…⑴判断1s、2s、3s之间关系;⑵若将函数“21yxx”改为“2(0)yaxbxca”,列出表2:表2:x1x2

x3x4x5x6x7xy1y2y3y4y5y6y7y其他条件不变,判断1s、2s、3s之间关系,并说明理由;⑶小明为了通过描点法作出函数2(0)yaxbxca的图象,列出表3:表3:x1x2x3x4x5x6x7xy10

50110190290420550由于小明的粗心,表3中有一个y值算错了,请指出算错的y值(直接写答案).【解析】⑴123sss;⑵123sss.证明:222121111112myyaxdbxdcaxbxcadxadbd2223

22122myyadxadbdadxdadbd2234331222myyadxadbdadxdadbd2245441223myyadxadbdadxdadbd22212

111222smmadxdadbdadxadbdad同理22322smmad,23432smmad.∴123sss.⑶表中的420改为410.14题型一二次函数图象与其解析式系数的关系巩固练习【练习1】⑴函数kyx与

22(0)ykxkk在同一坐标系中图象大致是图中的()BAxOyxOyxOyxOyDC⑵二次函数2yaxbxc的图象如图所示,则一次函数24ybxbac与反比例函数abcyx在同一坐标系

内的图象大致为()yxO1-1AyxOByxOCyxODyxO【解析】⑴A.⑵D.【练习2】如图所示,二次函数2yaxbxc的图象开口向上,图象经点12,和10,且与y轴交于负半轴.⑴下列四个结论:①0a;②0b;③0c;④0abc,其中正确的结

论的序号是.⑵给出下列四个结论:①0abc;②20ab;③1ac;④1a.其中正确的结论的序号是.【解析】⑴图象开口向上得0a;对称轴02ba可得0b;当0x时,0y,即0c;由1x时,0y

,即0abc.故①④.⑵由⑴可知0abc;对称轴12ba,∴20ab;∵点12,和10,在抛物线上,代入解析式得20abcabc两式相加得1ac,得1ac,∵0c,∴11c,即

1a.复习巩固2-11Oyx15故②③④.【练习3】如图,表示抛物线2yaxbxc的一部分图象,它与x轴的一个交点为A,与y轴交于点B.则b的取值范围是()A.20bB.10bC.102bD.01b【解析】B.【练习4】二次函数20y

axbxca的图象大致如图所示,⑴判别a,b,c和24bac的符号,并说明理由;⑵如果OAOC,求证:10acb【解析】⑴解:因为抛物线开口向上,0a.因为抛物线与y轴交于负半轴,0c.又因为抛物线对称轴在y轴的右侧,02ba

,即a,b异号,由0a,得0b.因为抛物线与x轴有两个交点,所以方程20axbxc有两个不相等的实根,所以其判别式240bac.⑵证明:由于C点坐标为0c,,而OAOC,所以A点坐标

为0c,,把0Ac,代入2yaxbxc,得20acbcc.因为0c,所以10acb.题型二二次函数的最值巩固练习【练习5】已知:关于x的一元二次方程22(2)0xnmxmmn①.⑴求证:方程①有两个实数根;⑵若1

0mn,求证方程①有一个实数根为1;⑶在⑵的条件下,设方程①的另一个根为a.当2x时,关于m的函数1ynxam与2222yxanmxmmn的图象交于点A、B(点A在点B的左侧),平行于y轴的直线l与1y、2y的图象分别交于点C、D.当l沿AB

由点A平移到点B时,求CD的最大值.【解析】⑴证明:22224nmmmnn.∵20n≥,∴0≥.∴方程①有两个实数根.⑵解:由10mn,得1mn当x=1时,等号左边212nmmmn121210nmmmnnmmnm

.等号右边=0.∴左边=右边.∴1x是方程①的一个实数根.⑶解:由求根公式,得22mnnx.-1-1BAOyxCBOAyxmy12344321-1-2-3-3-2-1Oy2y1BACDlO-1-2-3

-3-2-112344321ym16x=m或xmn∵1mn,∴am.当2x时,222122(1)22ynmmmmm,22222()()42(1)24ymnmmmmnmmmmm

如图,当l沿AB由点A平移到点B时,22211273363()24CDyymmm由12yy,得222224mmmm解得m=2或m=1.∴mA=2,mB=1.∵2<12<1,∴当m=12时,CD取得最大

值274.【测试1】设二次函数20yaxbxca图像如图所示,试判断:24abcabcabcbac、、、、、的符号.【解析】由图像可知0a,102ba,2404acba,2000abc

,0abc,0abc,于是20000040abcabcabcbac,,,,,.【测试2】若01x,求221yxx的最大值、最小值;【解析】由图像可知:当01x时,函数221yxx是先减后增,∴当14x

,y最小,且78y.∵当0x时,20011y当1x时,211121y,∴当1x时,y最大,且2y.课后测xy01-1

小喜鸽
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