【文档说明】《二次函数图象综合应用》（著名机构整理）-2020年中考数学专题复习.doc，共(16)页，3.029 MB，由小喜鸽上传

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1图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2yaxbxc（或2()yaxhk）（0a），则：开口方向00aa向上向下，a越大，开口越小．对称轴2b

xa（或xh）．顶点坐标(2ba，24)4acba或(h，)k．单调性当0a时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大（如图1）；图1知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关

系二次函数图象综合应用2当0a时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小（如图2）图2与坐标轴的交点①与y轴的交点：0c，；②与x轴的交点：1200xx，，，，其中12xx，是方程

200axbxca的两根．图象与x轴的交点个数①当240bac时，图象与x轴有两个交点．②当0时，图象与x轴只有一个交点．③当0时，图象与x轴没有交点．Ⅰ当0a时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有0y；Ⅱ当0a

时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有0y．【引例】二次函数2yaxbxc的图象如图所示，判断a，b，c，24bac，2ab，abc，abc的符号【解析】由图知：图象开口向上，所以0a；函数的对称轴02bxa

，所以0b；函数图象与y轴的交点小于0，所以0c；函数图象与x轴有两个不同的交点，所以240bac；同时12bxa，所以20ab；1x所对应的函数值小于0，所以0abc；1x

所对应的函数值大于0，所以0abc【例1】⑴二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则点ac，在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限⑵二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则一次函数baxy与反比例函数xcy在同一平面直角坐标系中的大致图象为

（）例题精讲典题精练yxO1-1OyxxyO3xyOxyOxyOxyOA．B．C．D．⑶一次函数0abaxy、二次函数bxaxy2和反比例函数0kxky在同一直角坐标系中的图象如图所示，A点的坐标为02，

，则下列结论中，正确的是（）A．kab2B．kbaC．0＞＞baD．0＞＞ka【解析】⑴B.⑵B．⑶D.【例2】⑴如图，抛物线2yaxbxc，OAOC，下列关系中正确的是（）A．1acbB．1abc

C．1bcaD．1acb）⑵如图，抛物线2yaxbxc与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，若12OBOCOA，则b的值为．【解析】⑴A．提示：把0c，代入2yaxbxc即可．⑵12．提示

：先把B0c，代入2yaxbxc，得1acb，再把0c，代入2yaxcxc即可．【例3】⑴函数2yaxbxc与xy的图象如图所示，有以下结论：①acb42＞0；

②01cb；③063cb；④当1＜x＜3时，012＜cxbx．其中正确的为．⑵已知二次函数2(0)yaxbxca的图象如图所示，有下列8个结论：①0abc；②bac；③420abc

；④23cb；⑤()abmamb，（1m的实数）；⑥20ab；⑦240bac，⑧22()acb，其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个CBAOyxxyOCABx=1-1OyxxyAOxy3311

O4【解析】⑴③④⑵C．对称轴在y轴的右边得0ab（由开口向下得0a，故0b），抛物线与y轴交于正半轴得0c，∴0abc，①不正确；当1x时，函数值为0abc，②不正确；当2x时，函数值420abc，③正确；其实

0x和2x到对称轴1x的距离相等，函数值相等得42abcc，∴2ba代入0abc，32bc，即23cb，④正确；当1x，∵1m，2maxyabcambmc，可知⑤正确；由对称轴12ba得20ab，故⑥正确；抛物线与x轴有

两个交点，故240bac，故⑦不正确；0abc，0abc，故220acb，故⑧不正确．对于二次函数20yaxbxca（maxy表示y的最大值，miny表示y的最小值）⑴若自变量x的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处

2bxa时，取到最值．⑵若2bmxna≤≤，如图②，当xm，maxyy；当xn，minyy．⑶若2bmxna≤≤，如图③，当xm，minyy；当xn，maxyy．⑷若mxn≤≤，且2bmna≤≤

，22bbnmaa,如图④，当2bxa，minyy；当xn，maxyy．x=-b2ax=-b2ax=-b2ax=-b2a④③②①【引例】⑴若x为任意实数，求函数221yxx的最小值；⑵若12x

≤≤，求221yxx的最大值、最小值；⑶若01x≤≤，求221yxx的最大值、最小值；思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值5⑷若20x≤≤，求221yxx的最大值、最小值；⑸若x为整数，求函数221yxx的最小值．【解

析】⑴套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224bxa时，y的最小值是24748acba．⑵由图象可知：当12x≤≤时，函数221yxx单调递增，当1x时，y最小，且

21112y，当2x时，y最大，且222217y．⑶由图象可知：当01x≤≤时，函数221yxx是先减后增，∴当14x，y最小，且78y．∵当0x时，20011y；当1

x时，211121y，∴当1x时，y最大，且2y．⑷由函数图象开口向上，且120<4x≤≤，故当2x时，y取最大值为11，当0x时，y取最小值为1．⑸∵112224bxa，当0x时，y取最小值为1．【点评】由此题我们可以得到：求二次函数2(0)

yaxbxca在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bxa是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】

⑴已知m、n、k为非负实数，且121nkkm，则代数式6822kk的最小值为．⑵已知实数xy，满足2330xxy，则xy的最大值为．⑶当3310122x≤≤时，二次函数223yxx的最小值为（）A．4B．154C．12D．12【解析】⑴∵m、n、k为非负实数

，且121nkkm，∴m、n、k最小为0，当n=0时，k最大为：21；∴210k，故最小值为2.5．⑵4．提示：233yxx，令222314qxyxxx，当1x，q的最大值为4．本题属于x为

全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶B．提示：二次函数的对称轴为1122bxa，且抛物线的开口向上，故12x时，y的最小值为154．【例5】如图，抛物线211yaxax经过点1928P，，且与抛物线221yaxax相交于典

题精练6AB，两点．⑴求a值；⑵设211yaxax与x轴分别交于MN，两点（点M在点N的左边），221yaxax与x轴分别交于EF，两点（点E在点F的左边），观察MNEF，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明

；⑶设AB，两点的横坐标分别记为ABxx，，若在x轴上有一动点0Qx，，且ABxxx≤≤，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于CD，两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值？其最大值为多少？【解析】⑴∵点1928P，在抛物

线211yaxax上，∴1191428aa，解得12a．⑵由⑴知12a，∴抛物线2111122yxx，2211122yxx．当2111022xx时，解得12x，21x．∵点M在点N的左边，∴2Mx，

1Nx．当2111022xx时，解得31x，42x．∵点E在点F的左边，∴1Ex，2Fx．∵0MFxx，0NExx，∴点M与点F关于y轴对称，点N与点E关于y轴对称．⑶∵102a．∴抛物线1y开口向下，抛物线2y开口向上．根据题意，得12CDyy2221

1111122222xxxxx．又21221112211122yxxyxx，消y可解得1222xx，，则当0x时，CD的最大值为2．【例6】⑴二次函数2yaxbxc的图

象的一部分如图所示，求a的取值范围yxPAOBMENFyxPAOBDQCMEFN7Oyx11⑵二次函数2yaxbxc的图象的一部分如图所示，试求abc的取值范围．-1-1Oyx【解析】⑴根据二次函数图象可知0a，又此二次函

数图象经过(10)，，(01)，则有0abc，1c，得(1)ba，∵0a，据图象得对称轴在y轴左侧，∴0b∴10a，∴1a于是有10a．⑵由图象可知0a．又顶点在y轴的右侧，在x轴的下方，则：02ba，2404acba，∴0b．又∵

当0x时，1yc当0y时，1x，∴0abc∴10ab∴10b．∴202abcabcbb∴220b，即20abc．8精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用【探究过程】【探究1】

数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴根据抛物线的开口方向判断a的正负性．⑵根据抛物线的对称轴的位置判断a与b之间的关系．⑶根据抛物线与y轴的交点，判断c的大小．⑷根据抛物线与x轴有无交点，判断24bac的正负性．⑸根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得

到关于abc，，的等式．⑹根据抛物线的顶点，判断244acba的大小．例.2yaxbxc的图象如图所示．设|||||2||2|Mabcabcabab，则（）Oyx1-1A．0MB．0MC．0MD．不能确定M为正，为负或为0分析：依题意得0a，012b

a，∴0b，20ab，20ab，又当1x时，0yabc，当1x时，0yabc，故()()(2)(2)2()0Mabcabcabababc，故选C

．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲)区间最值分三种类型:“轴定区间定”、“轴动区

间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22fxxax在[24]，上的最大值和最小值．分析：先求最小值．因为()fx的对称轴是xa，可分以下三种情况：⑴当2a时，()fx在[24]，上为增函数，所以min()(2)64fx

fa；⑵当24a≤≤时，()fa为最小值，2min()2fxa；⑶当4a时，()fx在[24]，上为减函数，所以min()(4)188fxfa．综上所述：2min64,(2)()2,(2

4)188,(4)aafxaaaa≤≤最大值为(2)f与(4)f中较大者：(2)(4)(64)(188)124ffaaa，9（1）当3a≥时，(2)(4)ff≥，则max()(2)64fxfa；（2）当3a时，(2)(4)ff，则max()(4

)188fxfa．故max64,(3)()88,(3)aafxaa≥点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对

称轴xa与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f与(4)f的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况．3、轴定区间动：例．若函数2()22fxxx当1txt≤

≤时的最小值为()gt，求函数()gt当[32]t，时的最值．分析：2()(1)1fxx，按直线1x与区间[1]tt，的不同位置关系分类讨论：若1t，则2min()()(1)1fxftt；若11tt≤≤，即01t≤≤，则min()(1)1fxf；若11t

，即0t，则2min()(1)1fxftt．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)ttgtttt≤≤1函数()gt在(0)，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1

)，内是增函数，又(3)(2)gg，故在区间[32]，内，min()1gt（当01t≤≤时取得），max()(3)10gtg．小结：（i）解此类问题时，心中要有图象；（ii）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间

变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大前提下，老师可以

针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x轴交点的横坐标．因此，可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程002acbxax的两个实根1x、2x21xx＜，acb42，方程对应的二次函数为

02acbxaxxf．1．当方程有一根大于m，另一根小于m时，对应二次函数xf的图像有下列两种情形：10方程系数所满足的充要条件：0＜maf；2．当方程两根均大于m时，对应函数xf的图像有下列两种情形：方程系

数所满足的充要条件：0＞，mab＞2，0＞maf；3．当方程两根均在区间nm，内，对应二次函数xf的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞，nabm＜＜2，0＞maf，0＞naf；4．当两根中仅有一根在

区间nm，内，对应函数xf的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件：0＜nfmf；5．当两根在区间nm，之外时：对应函数xf的图像有下列两种情形：11方程系数所满足的充要条件：0＜maf，0＜naf；6．当两根分别

在区间nm，、ts，内，且sn，对应函数xf的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞maf，0＜naf，0＜saf，0＞taf．小结：由函数图像与x轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式acb42的符号；

②对称轴abx2的位置分布；③二次函数在实根分布界点处函数值的符号．例．若方程01222mmxx的两个根均大于2，求实数m的取值范围．分析：令1222mmxxxf，如图得充要条件：

20124220124422＞＞mmmfmm，解得4316m＜．12训练1.已知：abc，且0abc，则二次函数2yaxbxc的图象可能是下列图象中的（）xy-1-21-

1yx1-11xy1xyABCD【解析】B．由abc，且0abc，可得0a，0c，且过10，点，由abc，且abc=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：abab，

∴112ba，∴11224ba．另一方法：∵ab，∴330ab，330ababc，从而得到420abc．训练2.已知二次函数2211ykxkx与x轴交点的横坐标为1x、2x12xx，则对于下列结论：⑴当

2x时，1y；⑵当2xx时，0y；⑶方程22110kxkx有两个不相等的实数根1x、2x；⑷11x，21x；⑸22114kxxk，其中所有正确的结论是______.（只需填写序号）【解析】⑴⑶⑷．当2x时，代入得1y

，故⑴正确；因为k的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2xx时，0y，故⑵不正确；联立方程22110ykxkxy可得22110kxkx，抛物线与x轴有两个交点，即方程

22110kxkx有两个不相等的实数根．当1x时，yk，若0k，0yk，若0k，0yk，故⑷正确．22114kxxk，故⑸不正确.训练3.如图所示，二次函数2(2)5yxax

a的图象交x轴于A和B，交y轴于C，当线段AB最短时，求线段OC的长．【解析】设1(Ax，0)，2(Bx，0)，思维拓展训练(选讲)CBAxOy13则1x，2x是方程2(2)50xaxa的两根，则12ABxx

222(2)4(5)824(4)8aaaaa当4a时，AB取最小值，即最短，此时，抛物线为221yxx，可求得C的纵坐标为1，即线段OC的长是1．训练4.小明为了通过描点法作出函数21yxx的图象，先取自变量x的7个值满足：213276x

xxxxxd，再分别算出对应的y值，列出表1：表1：x1x2x3x4x5x6x7xy13713213143记121myy，232myy，343myy，454myy，…；121smm，232smm，343smm

，…⑴判断1s、2s、3s之间关系；⑵若将函数“21yxx”改为“2(0)yaxbxca”，列出表2：表2：x1x2x3x4x5x6x7xy1y2y3y4y5y6y7y其他条件不变，判断1s、2s、3s之间关系，并说明理由；⑶小明为了通过描点法作出函数2(0)y

axbxca的图象，列出表3：表3：x1x2x3x4x5x6x7xy1050110190290420550由于小明的粗心，表3中有一个y值算错了，请指出算错的y值（直接写答案）．【解析】⑴123sss；⑵123sss．证明：2

22121111112myyaxdbxdcaxbxcadxadbd222322122myyadxadbdadxdadbd2234331222myyadxadbdadxdadbd2245441223myya

dxadbdadxdadbd22212111222smmadxdadbdadxadbdad同理22322smmad，23432smmad．∴123sss．⑶表中的420改为410．14题型一二次函数图象与

其解析式系数的关系巩固练习【练习1】⑴函数kyx与22(0)ykxkk在同一坐标系中图象大致是图中的（）BAxOyxOyxOyxOyDC⑵二次函数2yaxbxc的图象如图所示，则一次函数24ybxbac与反比例函数abcyx在同一坐标系内的图象大致为

（）yxO1-1AyxOByxOCyxODyxO【解析】⑴A．⑵D．【练习2】如图所示，二次函数2yaxbxc的图象开口向上，图象经点12，和10，且与y轴交于负半轴．⑴下列四个结论：①0a；②0b；③0c；④0abc，其中正确的结论的序号是．⑵给出下列四个结论：①0a

bc；②20ab；③1ac；④1a．其中正确的结论的序号是．【解析】⑴图象开口向上得0a；对称轴02ba可得0b；当0x时，0y，即0c；由1x时，0y，即0abc．故①

④．⑵由⑴可知0abc；对称轴12ba，∴20ab；∵点12，和10，在抛物线上，代入解析式得20abcabc两式相加得1ac，得1ac，∵0c，∴11c，即1a．复习巩固2-11Oyx15故②③④．【练习3】如

图，表示抛物线2yaxbxc的一部分图象，它与x轴的一个交点为A，与y轴交于点B．则b的取值范围是（）A．20bB．10bC．102bD．01b【解析】B．【练习4】二次函数20yaxbxca的图象大致如图所示，⑴判别a，b，c和

24bac的符号，并说明理由；⑵如果OAOC，求证：10acb【解析】⑴解：因为抛物线开口向上，0a．因为抛物线与y轴交于负半轴，0c．又因为抛物线对称轴在y轴的右侧，02ba，即a，b异号，由0a，得0b．因为抛物线

与x轴有两个交点，所以方程20axbxc有两个不相等的实根，所以其判别式240bac．⑵证明：由于C点坐标为0c，，而OAOC，所以A点坐标为0c，，把0Ac，代入2yaxbxc，得20acbcc．因为0c，所以1

0acb．题型二二次函数的最值巩固练习【练习5】已知：关于x的一元二次方程22(2)0xnmxmmn①.⑴求证：方程①有两个实数根；⑵若10mn，求证方程①有一个实数根为1；⑶在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a.当2x时，关于m的函数1ynxam

与2222yxanmxmmn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l与1y、2y的图象分别交于点C、D.当l沿AB由点A平移到点B时，求CD的最大值.【解析】⑴证明：22224nmmmnn.∵20n≥，∴0≥.∴方程①有两

个实数根.⑵解：由10mn，得1mn当x=1时，等号左边212nmmmn121210nmmmnnmmnm.等号右边=0.∴左边=右边.∴1x是方程①的一个实数根.⑶解：由求根公式，得22mnnx.-1-1BAOyxCBOAyxmy

12344321-1-2-3-3-2-1Oy2y1BACDlO-1-2-3-3-2-112344321ym16x=m或xmn∵1mn，∴am.当2x时，222122(1)22ynmmmmm，22222(

)()42(1)24ymnmmmmnmmmmm如图，当l沿AB由点A平移到点B时，22211273363()24CDyymmm由12yy，得222224mmmm解得m=2

或m=1.∴mA=2，mB=1.∵2<12<1，∴当m=12时，CD取得最大值274.【测试1】设二次函数20yaxbxca图像如图所示，试判断：24abcabcabcbac、、、、、的符号．【解析

】由图像可知0a，102ba，2404acba，2000abc，0abc，0abc，于是20000040abcabcabcbac，，，，，．【测试2】若01x，求

221yxx的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x时，函数221yxx是先减后增，∴当14x，y最小，且78y．∵当0x时，20011y当1x时，211121y

，∴当1x时，y最大，且2y．课后测xy01-1